1 Filosofía de la Ciencia: el conocimiento La situación a principios del s. XIX Immanuel Kant (Königsberg 1724-1804). La mente humana no es una simple receptora de percepción sino que la origina activamente. La representación hace posible el objeto, no al revés. Uno ve lo que quiere ver. La mente humana no es una simple receptora de percepción sino que la origina activamente. La representación hace posible el objeto, no al revés. Uno ve lo que quiere ver. La percepción debe ser procesada y reconocida o no sería nada para nosotros. La percepción debe ser procesada y reconocida o no sería nada para nosotros. Podemos adquirir un conocimiento científico aunque no conocemos “la cosa en sí” Podemos adquirir un conocimiento científico aunque no conocemos “la cosa en sí” Conocimiento “sintético a priori” matemático, de espacio y tiempo Conocimiento “sintético a priori” matemático, de espacio y tiempo Esto va a contrastar con geometrías no euclidianas (Poincaré) Esto va a contrastar con geometrías no euclidianas (Poincaré)
2 Filosofía de la Ciencia: el conocimiento Johann Carl Friedrich Gauss (Brünswick 1777- Gotinga 1855). El príncipe de las matemáticas Niño prodigio. Llegó a ser uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos Niño prodigio. Llegó a ser uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos Estudia en la Universidad de Gotinga. Estudia en la Universidad de Gotinga. Construcción de 17-ágono regular con regla y compás. Construcción de 17-ágono regular con regla y compás. Doctorado de Universidad de Helmstedt: Disertación- Teorema Fundamental del Álgebra. Doctorado de Universidad de Helmstedt: Disertación- Teorema Fundamental del Álgebra. Trabaja en Astronomía (órbitas de asteroides) Trabaja en Astronomía (órbitas de asteroides) En Geografía, proyecciones, mapas y geodesia (geometría diferencial- análisis aplicado a la geometría) En Geografía, proyecciones, mapas y geodesia (geometría diferencial- análisis aplicado a la geometría) En Física se interesa por mecánica, magnetismo y fluidos En Física se interesa por mecánica, magnetismo y fluidos Maestro de muchos matemáticos Maestro de muchos matemáticos
3 Filosofía de la Ciencia: el conocimiento Johann Carl Friedrich Gauss (Brünswick 1777- Gotinga 1855). Desde temprano se interesa en la geometría no- euclidiana que niega el 5° postulado Desde temprano se interesa en la geometría no- euclidiana que niega el 5° postulado Se cuenta que midió los ángulos internos de un triángulo entre picos de los Alpes para comprobar si realmente miden 180° Se cuenta que midió los ángulos internos de un triángulo entre picos de los Alpes para comprobar si realmente miden 180° Nunca publicó al respecto porque temía “el clamor de los boecios” Nunca publicó al respecto porque temía “el clamor de los boecios” Pero incentivó a Bolyai a trabajar en ella Pero incentivó a Bolyai a trabajar en ella Sólo porque póstumamente se encontraron cartas de él sobre la geometría no euclidiana, ésta gana respetabilidad la entre comunidad matemática Sólo porque póstumamente se encontraron cartas de él sobre la geometría no euclidiana, ésta gana respetabilidad la entre comunidad matemática
4 “Geometrías de la imaginación” Axiomas o postulados de Euclides (~300 a.C) 1. Toda línea puede ser extendida infinitamente. 2. Por dos puntos distintos pasa una y sola una línea. 3. Una y solamente una circunferencia puede ser construida si conocemos su centro y su radio. 4. Todos los ángulos rectos son congruentes. 5. Dada una línea y un punto exterior a ella, podemos construir una y solamente una paralela a la línea dada que pasa por el punto.
5 “Geometrías de la imaginación” Versión original del 5° Postulado 5.Si una recta secante intercepta a un par de rectas de manera que los ángulos del mismo lado de la recta secante e interiores al par de rectas suman menos que dos ángulos rectos, entonces si prolongamos esas líneas rectas del mismo lado de los ángulos mencionados, se cortarán.
6 “Geometrías de la imaginación” 5° Postulado = Axioma de las paralelas ¿Es posible demostrar el 5° Postulado a partir de las nociones comunes y demás postulados de Los Elementos? ¿Es posible demostrar el 5° Postulado a partir de las nociones comunes y demás postulados de Los Elementos? Si se puede demostrar, es dependiente de los otros y se puede quitar (sobra) Si se puede demostrar, es dependiente de los otros y se puede quitar (sobra) Si no, es independiente Si no, es independiente
7 “Geometrías de la imaginación” 5° Postulado: ¿Qué pasa si se niega (si se dice que es falso? Por el teorema del ángulo externo, que dice que en un triángulo los ángulos externos son mayores que los ángulos internos remotos Por el teorema del ángulo externo, que dice que en un triángulo los ángulos externos son mayores que los ángulos internos remotos No puede haber un triángulo con dos ángulos rectos No puede haber un triángulo con dos ángulos rectos Luego, dada una línea y un punto exterior a ella, podemos construir una paralela a la línea dada que pasa por el punto. Luego, dada una línea y un punto exterior a ella, podemos construir una paralela a la línea dada que pasa por el punto. Pero, podría haber más de una Pero, podría haber más de una
8 “Geometrías de la imaginación” 5° Postulado: Antecedentes En Los Elementos, éste aparece por primera vez en la proposición 29 prescindiéndose de él en las 28 anteriores. Lo tratan de demostrar: En Los Elementos, éste aparece por primera vez en la proposición 29 prescindiéndose de él en las 28 anteriores. Lo tratan de demostrar: Proclo (Griego del siglo V ) Proclo (Griego del siglo V ) Nasir ed Din et Tusi (Nasiraddin) (Persa siglo XIII) Nasir ed Din et Tusi (Nasiraddin) (Persa siglo XIII) Wallis (Inglés, 1616-1703) Wallis (Inglés, 1616-1703) G. Saccheri (Italiano 1667-1733) G. Saccheri (Italiano 1667-1733) Lambert (Alemán 1728-1777) Lambert (Alemán 1728-1777) Legendre (Francés 1752-1833) Legendre (Francés 1752-1833) Otros. Otros.
9 “Geometrías de la imaginación” Encuentran resultados que parecen imposibles si se niega el 5° Postulado Paralelas que no son equidistantes (Proclo) Paralelas que no son equidistantes (Proclo) Los triángulos semejantes tienen que ser congruentes (Wallis) Los triángulos semejantes tienen que ser congruentes (Wallis) No existen ni rectángulos ni cuadrados (Saccheri) No existen ni rectángulos ni cuadrados (Saccheri) Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo puede no cortar el otro lado (Legendre) Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo puede no cortar el otro lado (Legendre) La suma de los ángulos de un triángulo es menor a dos rectos (Legendre) La suma de los ángulos de un triángulo es menor a dos rectos (Legendre) No existen triángulos de áreas arbitrariamente grandes (Gauss) No existen triángulos de áreas arbitrariamente grandes (Gauss)
10 “Geometrías de la imaginación” Encuentran resultados que parecen imposibles si se niega el 5° Postulado Saccheri fue el primero en dar una demostración por reducción al absurdo. Fallida. Saccheri fue el primero en dar una demostración por reducción al absurdo. Fallida. Lambert emprendiendo el mismo camino no encontró contradicción lógica. No proclamó haberlo demostrado. Lambert emprendiendo el mismo camino no encontró contradicción lógica. No proclamó haberlo demostrado. Legendre cae en la vieja equivocación: sustituir de el postulado por uno equivalente Legendre cae en la vieja equivocación: sustituir de el postulado por uno equivalente
11 El amanecer de la Geometría No Euclidiana Una idea finalmente se les ocurrió casi simultáneamente a tres matemáticos: El quinto postulado de Euclides es independiente de los demás, y al sustituirlo por un axioma contrario una geometría nueva podría desarrollarse.
12 Padres de la Geometría No Euclidiana Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777-1855) Comenzó su estudio del postulado de las paralelas en 1792 a la edad de los 15 años. Nunca publicó al respecto. Janos Bolyai (Hungría, 1802-1860) En 1832 publicó sus resultados en el apéndice a un tratado de Geometría de su padre Farkas Bolyai Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (Rusia, 1792-1856) 23 de Febrero de 1826 leyó una memoria sobre la teoría de las paralelas en una sesión de la facultad de física y matemáticas. En 1829 publicó su contenido en una revista de la Universidad de Kazán (Rusia) En 1930 publicó en la Academia de San Petersburgo.
13 Geometría Hiperbólica Paralelas que no son equidistantes (Proclo) Los triángulos semejantes tienen que ser congruentes (Wallis) No existen ni rectángulos ni cuadrados (Saccheri) Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo puede no cortar el otro lado (Legendre) La suma de los ángulos de un triángulo es menor a dos rectos (Legendre) No existen triángulos de áreas arbitrariamente grandes
14 Geometría Hiperbólica ¿Qué implicaciones filosóficas tiene el hecho de haber 2 geometrías igualmente válidas lógicamente?
15 El disco de Poincaré
16 Geometría esférica (elíptica) El camino más corto entre dos puntos sobre el globo terráqueo está sobre una círculo máximo. Las líneas “rectas” son círculos máximos. Todas las “rectas” se intersectan. No existen paralelas.
17 Modelos Curvatura positiva Curvatura negativa Curvatura cero
18 Relatividad General El espacio tiene 4 dimensiones: el espacio-tiempo El espacio tiene 4 dimensiones: el espacio-tiempo El recorrido de los rayos de luz son “rectas” El recorrido de los rayos de luz son “rectas” La masa y la energía curvan el espacio – tiempo. La masa y la energía curvan el espacio – tiempo. Los planetas y demás cuerpos viajan por líneas “rectas” (geodésicas) en el espacio – tiempo. Los planetas y demás cuerpos viajan por líneas “rectas” (geodésicas) en el espacio – tiempo.
19 La forma del Universo Universo cerrado: Geometría esférica Universo abierto: Geometría hiperbólica Universo plano: Geometría euclidiana
20 El destino del Universo Un universo cerrado podría colapsar en una singularidad, un “Big Crunch.” Un universo cerrado podría colapsar en una singularidad, un “Big Crunch.” Un universo plano podría aproximarse a un estado estático. Un universo plano podría aproximarse a un estado estático. Un universo abierto podría tender a tener una tasa de expansión constante, podría continuar expandiéndose a una tasa exponencial por siempre. Un universo abierto podría tender a tener una tasa de expansión constante, podría continuar expandiéndose a una tasa exponencial por siempre.
21 El rigor en el cálculo (Análisis) Antecedentes Problemas desde su nacimiento Problemas desde su nacimiento Cantidades infinitesimales e infinitas Cantidades infinitesimales e infinitas Curvas divididas en átomos o infinitesimales indivisibles Curvas divididas en átomos o infinitesimales indivisibles Cantidades desvanecentes Cantidades desvanecentes D’Alembert apoya la noción de Newton sobre la de Leibniz como límite de un cociente pero habla de que 0/0 puede tomar cualquier valor. D’Alembert apoya la noción de Newton sobre la de Leibniz como límite de un cociente pero habla de que 0/0 puede tomar cualquier valor.
22 El rigor en el cálculo (Análisis) Antecedentes Euler usa erróneamente la serie geométrica para afirmar que: para afirmar que:
23 El rigor en el cálculo (Análisis) Siglo XIX: Carl Gauss (Brunswick 1777-1855) Carl Gauss (Brunswick 1777-1855) Bernardo Bolzano (Praga 1781-1848) Bernardo Bolzano (Praga 1781-1848) Agustin Cauchy (Paris 1789-1857) Agustin Cauchy (Paris 1789-1857) Karl Weierstrass (Ostenfelde 1815-1897) Karl Weierstrass (Ostenfelde 1815-1897)
24 El rigor en el cálculo (Análisis) Ampliación del concepto de función Ampliación del concepto de función no necesita expresión analítica, no necesita expresión analítica, puede estar definida a trozos, discontinua puede estar definida a trozos, discontinua continua pero no diferenciable. continua pero no diferenciable. Bolzano y Cauchy: primeras definiciones de límite Bolzano y Cauchy: primeras definiciones de límite definen derivada como el límite que conocemos hoy. definen derivada como el límite que conocemos hoy. Cauchy define dy = y’ dx Cauchy define dy = y’ dx Bolzano (1817) intenta demostrar el Teorema del Valor Intermedio (le falta definición de los reales). Bolzano (1817) intenta demostrar el Teorema del Valor Intermedio (le falta definición de los reales). Cauchy insiste en definir la integral como límite de una suma Cauchy insiste en definir la integral como límite de una suma Primera demostración del teorema Fundamental del Cálculo Primera demostración del teorema Fundamental del Cálculo
25 El rigor en el cálculo (Análisis) Weierstrass Weierstrass Límite: definición - (1841-56) Límite: definición - (1841-56) muestra que una función continua alcanza su mínimo en un conjunto cerrado y acotado muestra que una función continua alcanza su mínimo en un conjunto cerrado y acotado Series: Series: Gauss (1812) es de los primeros en investigar la convergencia de series,. Gauss (1812) es de los primeros en investigar la convergencia de series,. Cauchy: criterios de la raíz n-ésima y del cociente. Cauchy: criterios de la raíz n-ésima y del cociente. Pero los matemáticos tendrán dificultad en dejar de usar series divergentes en sus pruebas hasta finales del siglo Pero los matemáticos tendrán dificultad en dejar de usar series divergentes en sus pruebas hasta finales del siglo
26 Los números reales Georg Cantor (S.Petersburgo 1845-1918 Halle) Georg Cantor (S.Petersburgo 1845-1918 Halle) 1872 publica artículo donde define los irracionales como sucesiones convergentes de racionales. 1872 publica artículo donde define los irracionales como sucesiones convergentes de racionales. La publicación de Dedekind sobre los reales es del mismo año La publicación de Dedekind sobre los reales es del mismo año 1873 (Bolzano 1851) Teoría de conjuntos de Cantor comienza a dar fruto. Prueba que: 1873 (Bolzano 1851) Teoría de conjuntos de Cantor comienza a dar fruto. Prueba que: los racionales son enumerables los racionales son enumerables los reales no son enumerables los reales no son enumerables los algebraicos son enumerables (Liouville 1851 había probado que existían los números trascendentes) los algebraicos son enumerables (Liouville 1851 había probado que existían los números trascendentes) 1880 Teoría de Conjuntos recibe oposición fuerte y enemistad de Leopold Kronecker 1880 Teoría de Conjuntos recibe oposición fuerte y enemistad de Leopold Kronecker