1 Fizyka II, lato 2016 1 Statystyki klasyczne i kwantowe

2 Fizyka II, lato 2016 2 Ze wzrostem liczby elementów układu fizycznego, przechodząc od atomów jednoelektronowych, poprzez wieloelektronowe, aż do cząsteczek i ciał stałych, szczegółowy opis zachowania układu staje się coraz bardziej złożony. W takim przypadku stosuje się podejście statystyczne. Problem wielu cząstek Jeden mol zawiera liczbę Avogadro N A = 6·10 23 cząsteczek. Jeżeli dodatkowo cząsteczki oddziaływują ze sobą, to opis zachowania takiego układu zarówno klasycznie poprzez korzystanie z zasad mechaniki Newtona jak i kwantowo rozwiązując równanie Schrödingera aby znaleźć funkcje falowe dla każdej cząsteczki nie jest możliwy.

3 Fizyka II, lato 2016 3 Elementy fizyki statystycznej Izolowany układ zawiera wielką liczbę klasycznych cząstek w stanie równowagi termodynamicznej w temperaturze T. Będziemy mogli obliczać średnią prędkość cząsteczek, średnią energię kinetyczną jeżeli znana jest określona funkcja rozkładu prawdopodobieństwa. Fizycznie mierzalne wielkości, które charakteryzują układ wielu cząstek mogą zostać obliczone jeśli znane jest prawdopodobieństwo, że w danej temperaturze T układ ma konkretną energię E. Aby osiągnąć i utrzymać ten stan równowagi cząstki muszą wymieniać między sobą energię. Podczas tych wymian energia będzie fluktuować wokół średniej wartości.

4 Fizyka II, lato 2016 4 funkcja gęstości prawdopodobieństwa Znajomość funkcji gęstości prawdopodobieństwa (funkcji rozkładu) pozwala obliczać wartości średnie liczba atomów lub cząsteczek (w jednostce objętości) o prędkościach zawartych w przedziale od do całkowita ilość W ujęciu statystycznym bierzemy pod uwagę, że cząsteczki mają różne prędkości i energie – rozkład prędkości lub energii. Elementy fizyki statystycznej

5 Fizyka II, lato 2016 5 Klasyczna i kwantowa fizyka statystyczna zbliżają się do siebie gdy temperatura układu rośnie. Klasyczne rozkłady prawdopodobieństwa to: rozkład Maxwella dla prędkości cząsteczek w gazie doskonałym rozkład Boltzmanna dla energii Efekty kwantowe dominują w układach wielu cząstek, w tym ciał stałych w temperaturze pokojowej. Elementy fizyki statystycznej Kwantowe rozkłady prawdopodobieństwa to: rozkład Bosego-Einsteina dla cząstek o spinie całkowitym rozkład Fermiego-Diraca dla cząstek o spinie połówkowym

6 Fizyka II, lato 2016 6 Rozkład Maxwella W 1860 James Clerk Maxwell wyprowadził wzór na gęstość prawdopodobieństwa dla klasycznego gazu cząsteczek nie oddziaływujących ze sobą, traktowanych jako punktowe. Założenie: funkcja rozkładu f zależy tylko od wartości prędkości v: Żaden kierunek nie jest uprzywilejowany, ruch w każdym z kierunków x,y i z odbywa się niezależnie co oznacza, że prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczki o składowej prędkości w kierunku x w przedziale od v x do v x +dv x jest niezależne od prawdopodobieństwa znalezienia składowej prędkości w kierunku y w przedziale od v y do v y +dv y, itd.

7 Fizyka II, lato 2016 7 stąd: Funkcja rozkładu h jest taka sama dla każdego kierunku co wynika z symetrii. Rozkład Maxwella Stałe C i B znajdujemy z warunku normalizacji

8 Fizyka II, lato 2016 8 Ostateczna forma rozkładu Maxwella: Funkcja rozkładu zależy tylko od wartości prędkości, a nie od jej kierunku Dla ustalonej temperatury, funkcja rozkładu maleje eksponencjalnie gdy energia kinetyczna cząsteczki K=mv 2 /2 rośnie, maleje e razy gdy K rośnie k B T-razy Rozkład Maxwella

9 Fizyka II, lato 2016 9 rozkład Maxwella pozwala znaleźć wartości średnie: Rozkład Maxwella wyprowadza się dla prędkości ale można również obliczyć rozkład szybkości g(v) opisuje prawdopodobieństwo, że cząsteczka będzie miała prędkość zawartą pomiędzy v i v+dv Rozkład Maxwella

10 Fizyka II, lato 2016 10 Wykres rozkładu szybkości cząsteczek w gazie Prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczki o zerowej prędkości jest małe; podobnie dla bardzo dużych prędkości Maksimum rozkładu występuje dla szybkości zbliżonej do średniej Rozkład Maxwella

11 Fizyka II, lato 2016 11 Rozkład Boltzmanna Rozkład Maxwella jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnej zasady: Prawdopodobieństwo, że pojedyncza cząsteczka ze zbioru cząsteczek w równowadze w temperaturze T ma energię E jest proporcjonalna do: czynnik Boltzmanna Energia E może być funkcją prędkości cząsteczki (energia kinetyczna dla punktów materialnych), ale może zawierać energię rotacyjną (E=Iω 2 /2) lub oscylacyjną (E=kx 2 /2) dla cząsteczek o określonym kształcie.

12 Fizyka II, lato 2016 12 Dla gazu w równowadze, możemy rozważać liczbę cząsteczek (lub gęstość) o energiach w przedziale od E do E+dE. n(0) jest stałą Cząsteczki wymieniają energię w zderzeniach. Całkowita ilość (lub gęstość) molekuł wynosi: sumowanie występuje po wszystkich możliwych energiach Rozkład Boltzmanna

13 Fizyka II, lato 2016 13 Statystyki kwantowe Fermiego-Diraca dla fermionów Bosego-Einsteina dla bozonów Najbardziej zadziwiającą własności mikroświata jest nierozróżnialność cząstek. W skali atomowej nie można rozróżnić składników tego samego rodzaju np. dwóch elektronów. Każdy elektron ma taką samą masę, ładunek, spin. Spektroskopia dostarcza dowodów, że nawet jeżeli istnieje nieskończona liczba stanów wzbudzonych dla atomu wodoru, to wszystkie atomy wodoru mają taki sam zestaw stanów wzbudzonych i takie samo widmo emisyjne.

14 Fizyka II, lato 2016 14 Identyczne cząstki znajdują się w polu o tym samym potencjale (w przeciwnym przypadku można by jej rozróżnić). Przy braku oddziaływania pomiędzy cząstkami: Z tych samych powodów istnieją dwie klasy funkcji niezależnych od czasu: symetryczne u S i antysymetryczne u A Dla układu dwóch cząstek: Nierozróżnialność cząstek

15 Fizyka II, lato 2016 15 Symetryczne funkcje falowe są niezmiennicze względem zamiany cząstek i opisują bozony: Bozonami są cząstki, których całkowity moment pędu z uwzględnieniem spinu jest liczbą całkowitą. Nierozróżnialność cząstek Bozonami są: foton, cząstka α, atom wodoru.

16 Fizyka II, lato 2016 16 Antysymetryczna funkcje falowa zmienia znak przy zamianie cząstek i ma zastosowanie do fermionów: Nierozróżnialność cząstek Fermionami są cząstki, których całkowity moment pędu z uwzględnieniem spinu wynosi 1/2, 3/2, 5/2 Fermionami są: elektron, proton, neutron.

17 Fizyka II, lato 2016 17 Zakaz Pauliego W atomie wieloelektronowym w tym samym stanie kwantowym może znajdować się co najwyżej jeden elektron. Uogólniony zakaz Pauliego (symetria wymiany ) : Wolfgang Pauli (1900-1958), sformułował tę zasadę w 1925 r. Funkcja falowa układu wielu cząstek jest antysymetryczna ze względu na zamianę dwóch identycznych fermionów i symetryczna ze względu na zamianę dwóch identycznych bozonów. Dwa identyczne fermiony nie mogą być w tym samym stanie kwantowo-mechanicznym (nie mogą mieć jednakowych wszystkich liczb kwantowych z uwzględnieniem spinu). Później stwierdził, że zakaz ten reprezentuje ogólną własność elektronów, a nie tylko elektronów w atomach.

18 Fizyka II, lato 2016 18 Konsekwencje zakazu Pauliego Elektrony w nieskończonej studni potencjału Poziom energetyczny n=1 odpowiada najniższej energii i jest stanem podstawowym pojedynczego elektronu. n=1 n=2 Uwzględniając spin, można umieścić dwa elektrony w każdym stanie o danym n (n=1), jeden elektron o spinie „do góry”, i jeden o spinie „w dół”. Trzeci elektron musi znaleźć się na poziomie o n=2 na podstawie zakazu Pauliego. Zakaz ten odgrywa istotną rolę w budowie atomów, cząsteczek i jąder oraz w technologii urządzeń półprzewodnikowych i laserów. Metale zawierają wiele „swobodnych” elektronów. Występowanie wielu identycznych cząstek nazywamy materią zdegenerowaną.

19 Fizyka II, lato 2016 19 Przykłady degeneracji W fizyce spotykamy się z tym zjawiskiem dla metalach. Elektrony walencyjne w metalu zachowują się jak zdegenerowany system fermionów w niskich temperaturach. To zachowanie tłumaczy wiele doświadczalnie obserwowanych własności metali: przewodnictwa cieplnego, przewodnictwa elektrycznego i ich zależności temperaturowych. Przeciwdziałanie ściskaniu (ciśnienie kompresji), będące konsekwencją zakazu Pauliego odgrywa istotną rolę w astrofizyce tłumacząc ewolucje gwiazd (mechanizm powstawania białych karłów, gwiazd neutronowych i czarnych dziur) Konsekwencje zakazu Pauliego

20 Fizyka II, lato 2016 20 Energia Fermiego Przypadek 1D dla nieskończonej studni potencjału N bozonów – nie stosuje się zakaz Pauliego. N bozonów zajmuje poziom n=1 Stan podstawowy S tan wzbudzony W pierwszym stanie wzbudzonym N-1 bozonów zajmuje poziom n=1 i jeden bozon jest w stanie n=2. Całkowita energia stanu podstawowego: średnia energia na cząsteczkę: Energia Fermiego ma zastosowanie do fermionów i jest konsekwencją zakazu Pauliego. Energia stanu wzbudzonego

21 Fizyka II, lato 2016 21 Z powodu zakazu Pauliego nie można umieścić wszystkich N-fermionów (elektronów) w jednym stanie. Wszystkie poziomy do n=N/2 są obsadzone w stanie podstawowym. Biorąc pod uwagę fakt, że energie pojedynczych elektronów E n =n 2 E 1, energia N-cząstek w stanie podstawowym wynosi: Energia Fermiego E F jest ważnym parametrem struktury elektronowej półprzewodników i metali. Jest zdefiniowana jako energia najwyższego poziomu energetycznego wypełnionego elektronami w stanie podstawowym. Energia Fermiego Przypadek 1D dla nieskończonej studni potencjału

22 Fizyka II, lato 2016 22 dla dużych n przybliżamy jako n 3 /3 Suma może zostać obliczona jako Gdy n jest duże i równe N/2: Średnia energia na cząstkę w stanie podstawowym: W przypadku bozonów średnia energia przypadająca na cząsteczkę była stała, dla fermionów rośnie ona z liczbą cząstek jak N 2 Przy konstrukcji stanu podstawowego o N fermionach, najwyższy zapełniony poziom energetyczny, czyli energia Fermiego E F odpowiada n=N/2 i w przypadku jednowymiarowym wynosi: Energia Fermiego

23 Fizyka II, lato 2016 23 Dozwolone stany energetyczne odpowiadają każdej trójce liczb całkowitych (n 1,n 2,n 3 ) Energia Fermiego Wyliczamy wszystkie możliwe stany energetyczne pojedynczej cząstki w trójwymiarowej nieskończonej studni, którą tworzy sześcian o długości boku L. Przypadek trójwymiarowy Energia pojedynczej cząstki w 3D jest sumą energii dozwolonych w każdym kierunku: Możliwość wystąpienia degeneracji energetycznej jest podstawową różnicą pomiędzy przypadkiem trójwymiarowym a jednowymiarowym.

24 Fizyka II, lato 2016 24 Mając N fermionów (N jest duże) wypełniamy poziomy energetyczne w sześcianie (2 fermiony w danym stanie) zaczynając od najniższej energii. Energia ostatniego fermionu, który umieścimy w strukturze energetycznej będzie energią Fermiego E F Jaka jest liczba stanów o energii mniejszej od pewnej ustalonej wartości E? Jak będziemy to wiedzieć, to przyjmiemy, że liczba stanów jest równa N/2 co odpowiadać będzie E=E F Ile jest takich trójek liczb całkowitych n 1, n 2, n 3, które spełniają warunek: Energia Fermiego Przypadek trójwymiarowy

25 Fizyka II, lato 2016 25 Trójki liczb całkowitych (n 1,n 2,n 3 ) przedstawiamy graficznie jako punkty w sieci regularnej (sześcian) Dla dużej liczby N (oraz E F ) zakładamy, że: Energia Fermiego Przypadek trójwymiarowy gdzie R jest promieniem kuli Fermiego

26 Fizyka II, lato 2016 26 tylko dodatnie n więc 1/8 objętości Każdy punkt sieci sześciennej jest oddalony od kolejnego punktu wzdłuż jednej osi o odległość jednostkową. Sieć jest utworzona z sześcianów o jednostkowej objętości. Liczbę punktów sieci można obliczyć porównując z objętością kuli Fermiego. Ostatecznie: Definiując gęstość lub koncentrację elektronów: otrzymujemy: Przypadek trójwymiarowy Energia Fermiego

27 Fizyka II, lato 2016 27 Wielkość momentu pędu elektronu dla energii Fermiego (pęd Fermiego) Długość fali de Broglie odpowiadająca pędowi Fermiego wynosi: średnia odległość między fermionami a Najmniejsza odległość na jaką mogą się zbliżyć dwa fermiony jest w przybliżeniu równa połowie długości fali de Broglie’a odpowiadającej energii Fermiego: Energia Fermiego Przypadek trójwymiarowy

28 Fizyka II, lato 2016 28 Rozkład Fermiego-Diraca Założenia: cząstki są nierozróżnialne cząstki nie oddziałują ze sobą spełniony jest zakaz Pauliego w jednym stanie energetycznym opisanym przez zespół liczb kwantowych może znajdować się jedna cząstka (dwie ze względu na spinową liczbę kwantową)

29 Fizyka II, lato 2016 29 Rozkład Fermiego-Diraca Średnia liczba N(E) cząstek o spinie ½ o danej energii E jest dana wzorem: Aby wyjaśnić znaczenie fizyczne stałych β i μ trzeba rozważyć znane przypadki szczególne. W granicy dużych energii, rozkład musi przechodzić w rozkład klasyczny Boltzmanna. Dla bardzo dużych energii E, średnie obsadzenie poziomów jest tak małe, że wpływ drugiej cząstki a zatem i zakaz Pauliego nie odgrywają dużego znaczenia. Zatem:

30 Fizyka II, lato 2016 30 dla różnych temperatur T W niskich temperaturach czyli dla β ∞, N(E) może przyjąć tylko dwie wartości. Jeżeli E>μ to N(E)=0, jeżeli E

31 Fizyka II, lato 2016 31 Przyjmując: i – liczba poziomów (przedziałów energii), n i –liczba cząstek na i-tym poziomie, g i – liczba dostępnych stanów, E i – energia i-tego stanu, N-całkowita liczba cząstek, E-całkowita energia układu N cząstek w danej temperaturze T Rozkład Fermiego-Diraca funkcja rozkładu Fermiego-Diraca

32 Fizyka II, lato 2016 32 Interpretacja energii Fermiego: W temperaturze T=0K poziom energii Fermiego jest to poziom odcięcia. Oznacza to, że wszystkie poziomy o energii mniejszej od energii Fermiego są na pewno obsadzone; natomiast poziomy o energii większej niż energia Fermiego są puste. Rozkład Fermiego-Diraca

33 Fizyka II, lato 2016 33 a) przypadek E  E F T=0K: b) przypadek E > E F T=0K: Dla T  0 oraz dla E=E F funkcja rozkładu f(E F ) = ½. Rozkład Fermiego-Diraca

34 Fizyka II, lato 2016 34 Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca określa prawdopodobieństwo obsadzenia poziomu E i w temperaturze T Rozkład Fermiego-Diraca Celem opisu jest znalezienie odpowiedzi na pytanie jaki jest rozkład cząstek między różnymi poziomami E i, tak aby energia całkowita była stała, czyli aby spełnione były warunki:

35 Fizyka II, lato 2016 35 Określimy funkcje gęstości stanów  i, określa ona liczbę stanów w jednostkowym przedziale energii:

36 Fizyka II, lato 2016 36 -cząstki są nierozróżnialne -cząstki nie oddziałują ze sobą -nie jest spełniony zakaz Pauliego Założenia: Funkcja rozkładu Bosego- Einsteina ma postać: Rozkład Bosego-Einsteina

37 Fizyka II, lato 2016 37 Rozkład Bosego-Einsteina W przeciwieństwie do fermionów, dowolna liczba bozonów może znajdować się w tym samym stanie kwantowym. Występuje tendencja do gromadzenia się bozonów w danym stanie kwantowym. Einstein przewidział to zjawisko w pracy o promieniowaniu ciała doskonale czarnego (1917), na wiele lat przed sformułowaniem równania Schrödingera i zanim pojawiła się koncepcja symetrycznych funkcji falowych. Einstein pokazał, że prawdopodobieństwo przejścia ze stanu zawierającego n fotonów do stanu zawierającego n+1 fotonów jest proporcjonalne do n+1.

38 Fizyka II, lato 2016 38 Dla fotonów μ=0, bo ich liczba nie zawsze jest zachowana Jeżeli liczba N bozonów ma być stała to: Rozkład Bosego-Einsteina

39 Fizyka II, lato 2016 39 Zastosowania teorii Elektronowe ciepło właściwe dla metali Prawo Dulonga i Petita przewiduje dla ciał stałych, że molowe ciepło właściwe w stałej objętości jest stałe i wynosi c v =3R=6cal/mol·K gdzie R jest uniwersalną stałą gazową. Zależność od temperatury, dla niższych temperatur przewiduje teoria Debye’a (przyczynek atomowy, drgania sieci, fonony)

40 Fizyka II, lato 2016 40 Zastosowania teorii Elektronowe ciepło właściwe dla metali W metalach, elektrony wnoszą przyczynek do ciepła właściwego tylko w niskich temperaturach a w normalnych temperaturach przyczynek elektronowy jest zbyt mały w porównaniu z wkładem atomowym aby ten efekt zaobserwować. Dzieje się tak dlatego, że tylko część elektronów (o energii bliskiej energii Fermiego) bierze udział w przewodnictwie. Jest to całkowicie kwantowy efekt. T F -temperatura Fermiego jest rzędu 60 000 K

41 Fizyka II, lato 2016 41 Zastosowania Kondensacja Bosego-Einsteina Gdy temperatura spada poniżej temperatury krytycznej T c coraz większa liczba bozonów „kondensuje” do stanu podstawowego. W temperaturze zera bezwzględnego wszystkie cząstki kondensują do stanu podstawowego. Ten efekt, który występuje nawet gdy nie występuje bezpośrednie oddziaływanie między bozonami, nazywa się kondensacją Bosego-Einsteina. Cornell, Ketterle, Weiman

42 Fizyka II, lato 2016 42 Zastosowania Nadciekłość helu W 1908, Heike Kamerlingh Onnes skroplił hel w temperaturze 4.2 K. W 1928 Willem Hendrik Keesom odkrył, że w T c =2.17 K występuje przejście do nowej fazy helu. Własności nowej fazy: Ciekły hel wrze gdy jest oziębiany powyżej T c. Gdy temperatura spada poniżej T c, wrzenie ustaje. Powyżej T c ciekły hel zachowuje się jak każdy lepki płyn. Poniżej T c przepływ przez wąskie kanały nie napotyka na przeszkody jakby lepkość ciekłego helu była zerowa. Poniżej T c ciekły hel „wspina” się po ścianach naczynia; tworzy fontanny

43 Fizyka II, lato 2016 43 W temperaturze T c atomy helu zaczynają tworzyć kondensat. Dokladnie w temperaturze T c udział atomów w kondensacie jest mały. Gdy T maleje do zera, udział ten wzrasta do jedności. Kondensat wykazuje nadciekłość. Poniżej T c można potraktować hel jako mieszaninę dwóch cieczy: normalnej nadciekłej Względna gęstość zmienia się z temperaturą pomiędzy T=0 i T=T c. Zastosowania Nadciekłość helu