1 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade
2 Conteúdo Problema 5.82 Forças sobre superfícies submersasCentro de Gravidade de um Corpo Tridimensional: Centroide de um Sólido Centroides de Sólidos de Formatos Usuais Corpos Tridimensionais Compostos Problema Resolvido 5.12
3 Centroides de Superfícies Planas de Formatos Usuais
4 Exercício 5.82 A viga AB está submetida a duas cargas concentradas e apoiada no solo, o qual exerce uma carga distribuída, linear, como mostra a figura. a)Determine os valores de wA e wB correspondentes ao equilíbrio; b)Determine a distância a para a qual wA= 20 kN/m; c)Determine o valor correspondente de wB para o wA definido no item B.
5 Forças sobre superfícies submersasTodos vivemos imersos em fluídos, e nossos principais problemas de engenharia estarão sujeitos a esta condição. O ar é o fluido onde estamos imersos, que tem uma densidade (ρ) de ~1 kg/m3, que se traduz em peso específico (γ) determinado por 𝜌∗𝑔=𝛾 9,81 N/m3. (latitude 45°N, 0 msnm). A pressão hidrostática gerada pela coluna de fluido é 𝑃 𝑎𝑏𝑠 =ℎ∗𝛾, onde h é a profundidade de imersão. A unidade do SI para pressão é o Pa= N m 2 , mas esta é uma pressão muito baixa, então admite-se também o uso do bar=100 kPA porque é aproximadamente igual a 1atm= kPa.
6 Forças sobre superfícies SubmersasLogo se a pressão ao nível do mar é 1atm, estamos então imersos em uma atmosfera na profundidade de 1 atm 𝛾=10,33 km . O que é um modelo simplista porque o ar é um fluido compressível ,então sua densidade diminui com a queda de pressão, a gravidade reduz com a altitude e com a latitude, a composição também varia, já que nas altitudes mais elevadas a concentração é maior de gases mais leves. 80% da massa de ar está na camada denominada troposfera que varia entre 7 e 17 km de altitude, justamente no valor médio de nossa profundidade calculada pela pressão de 1 atm. Nesta camada voam aviões com propulsão a hélice. Porém, aviões com propulsão jato tem sustentação na estratosfera e ainda encontram oxigênio suficiente para utilizar com comburente em seus motores a reação, até uma altitude de 26 km (Lockheed SR-71 Blackbird). A atmosfera começa a ser sentida mecanicamente pelos veículos que reentram em nossa atmosfera retornando do espaço a 120 km de altitude e se torna intenso a 100 km, no limite conhecido como linha de Kármán.
7 Forças sobre superfícies SubmersasMesmo assim, se tivermos que projetar a porta de uma câmara de vácuo de vácuo de 1m*1m ela terá de suportar uma reação de: 𝐹=1 𝑎𝑡𝑚∗1 𝑚 2 =101,3 𝑘𝑁 Só que devida a baixa densidade do ar em nosso projetos de engenharia a pressão não varia significativamente. Quando precisamos projetar artefatos submersos, como uma barragem, seus complementos mecânicos como compartas de adução e vertedouro, o casco de um navio, um tanque de grande porte, a variação da pressão deve ser considerada porque o 𝜌 á𝑔𝑢𝑎 ≅1000 𝑘𝑔 𝑚 3 é 1000x maior que o do ar. Então uma barragem de água com 10,2 m de altura tem pressão manométrica de 0 Pa na superfície da água e ℎ∗𝛾=100 kPa ou 1 bar. Neste caso se a barragem tiver 10 de largura, os primeiros 0,1 de profundidade da coluna d'água exercerão 981 N de força na crista da barragem e os últimos 0,1 m de profundidade exercerão uma força de 100 kN na soleira da barragem. 𝑃 𝑎𝑏𝑠 = 𝑃 𝑚𝑎𝑛 +101,3 kPa
8 Do ponto de engenharia o projeto de máquinas submarinas é um desafio maior que o projeto de máquinas para o vácuo. Houveram 6 missões Apolo, entre julho de 1969 e dezembro de 1972, até a superfície da Lua que fica a km sobre o nível do mar, mas apenas uma missão tripulada ao fundo da fossa das Marinas em janeiro de bordo do batiscafo Trieste, que fica a penas 11 km sob o nível do mar.
9 Forças sobre superfícies SubmersasA pressão nas superfície submersa da barragem é uma carga distribuída, que varia linearmente de acordo com a profundidade. Considerando que esta barragem oferece uma face vertical de lados verticais paralelos, então podemos prever a carga distribuída por unidade de comprimento. Se considerarmos a pressão média e multiplicarmos pela altura, termos uma força por unidade4 comprimento horizontal da barragem.
10 Forças sobre superfícies Submersas𝑃 𝑚𝑎𝑥 =𝛾∗ℎ=100 kPa 𝑃 𝑚𝑒𝑑 = 𝑃 𝑚𝑎𝑥 2 =50 kPa 𝑅= 𝑃 𝑚𝑒𝑑 ∗ℎ=510 kN m 𝑦 𝑅 = 2 3 ∗ℎ=6,8 m 𝐹=0∴ 𝑅 𝐶 + 𝑅 𝑆 +𝑅=0 𝑀 0 =0∴ 𝑦 𝑅 ∗𝑅=ℎ∗ 𝑅 𝑆 𝑅 𝑆 = 𝑦 𝑅 ∗𝑅 ℎ =340 kN m 𝑅 𝐶 =𝑅− 𝑅 𝑆 =170 kN m
11 Forças sobre superfícies SubmersasNo caso de uma comporta inclinada sujeita a pressão, sua estrutura deverá suportar além da pressão da coluna d’água também o peso da coluna sobre sua face submersa. ℎ𝑐=2,04 m 𝛼=30° 𝑃 𝑚𝑖𝑛 =𝛾∗ℎ𝑐=20 kPa 𝑃 𝑚𝑒𝑑 = 𝑃 𝑚𝑖𝑛 +𝑃 𝑚𝑎𝑥 2 =60 kPa 𝑅 𝑝 = 𝑃 𝑚𝑒𝑑 ∗ ℎ−ℎ𝑐 𝐴 𝐵𝐹𝑆 = 𝑃 𝑚𝑎𝑥 ℎ 2 =510 kN m 𝐴 𝐵𝐷𝐸 = 𝑃 𝑚𝑖𝑛 ℎ 2 =20.4 kN m 𝑦 𝐵𝑝 = 𝑦 𝑅𝑝 = 2 3 ∗ℎ∗ 𝐴 𝐵𝐹𝑆 − 2 3 ∗ℎ𝑐∗ 𝐴 𝐵𝐷𝐸 𝐴 𝐵𝐹𝑆 − 𝐴 𝐵𝐷𝐸 =7,03 m
12 Forças sobre superfícies SubmersasPara determinar a carga vertical precisamos determinar o centro de massa da coluna d’água sobre a comporta 𝐷𝑆=ℎ−ℎ𝑐=8,16 m 𝐶𝐵=𝐷𝑆∗ tan 𝛼 =4,71 m 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 =ℎ𝑐∗𝐶𝐵=9,61 m 2 𝐴 𝐴𝑆𝐷 = 𝐷𝑆∗𝐶𝐵 2 =19,2 m 2 𝑦 𝐵𝑎 = ℎ𝑐 2 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 + ℎ𝑐+ 𝐷𝑆 3 𝐴 𝐴𝑆𝐷 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 + 𝐴 𝐴𝑆𝐷 =3,51m 𝑥 𝐵𝑎 = 𝐶𝐵 2 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 + 2𝐷𝑆 3 𝐴 𝐴𝑆𝐷 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 + 𝐴 𝐴𝑆𝐷 =2,88m
13 Forças sobre superfícies SubmersasPara determinar a carga vertical precisamos determinar o centro de massa da coluna d’água sobre a comporta 𝑅 𝑝𝑒 = 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 + 𝐴 𝐴𝑆𝐷 𝛾=283 kN m 𝑃 𝑚𝑒𝑑 = 𝑃 𝑚𝑎𝑥 + 𝑃 𝑚𝑖𝑛 2 =60 kPa 𝑅 𝑝 = 𝑃 𝑚𝑒𝑑 ∗𝐷𝑆=490 kN m 𝑅= 𝑅 𝑝𝑒 2 + 𝑅 𝑝 2 =565 kN m β=𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑟 𝑝𝑒 𝑅 𝑝 =30° 𝑀 𝐴 =0∴ 𝑅 𝑆 = 𝑅 𝑥 𝐵𝑎 𝑦 𝑅 −ℎ𝑐 𝐶𝐵 2 + 𝐷𝑆 2 =345,6 kN m 𝐹=0∴ 𝑅 𝐴 =𝑅− 𝑅 𝑆 =219,9 kN m
14 Forças sobre superfícies SubmersasCaso a comporta seja curva o procedimento é semelhante, devido a forma o peso da coluna d’água sobre a comporta muda e a direção não pode mais ser definida pela normal a comporta 𝑟=ℎ−ℎ𝑐=8,16 m 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 =ℎ𝑐∗𝑟=16,65 m 2 𝐴 𝐴𝑆𝐷 = 𝜋∗ 𝑟 2 4 =52,3 m 2 𝑦 𝐵𝑎 = ℎ𝑐 2 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 + ℎ𝑐+ 4𝑟 3𝜋 𝐴 𝐴𝑆𝐷 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 + 𝐴 𝐴𝑆𝐷 =4,42 m 𝑥 𝐵𝑎 = 𝑟 2 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 + 𝑟− 4𝑟 3𝜋 𝐴 𝐴𝑆𝐷 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 + 𝐴 𝐴𝑆𝐷 =4,55m 𝑅 𝑝𝑒 = 𝐴 𝐶𝐴𝐷𝐵 + 𝐴 𝐴𝑆𝐷 𝛾=676 kN m 𝑅= 𝑅 𝑝𝑒 2 + 𝑅 𝑝 2 =835 kN m β=𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑟 𝑝𝑒 𝑅 𝑝 =54,1° 𝑅 𝐴 = 𝑅 𝑝 =490 kN m 𝑅 𝑆 = 𝑅 𝑝𝑒 =676 kN m
15 Centro de Gravidade de um Corpo Tridimensional: Centroide de um SólidoCentro de gravidade G: As relações obtidas são independentes da orientação do corpo, Para corpos homogêneos,
16 Centroides de Sólidos de Formatos Usuais
17 Corpos Tridimensionais CompostosO momento gerado pelo peso total de um corpo concentrado em seu centro de gravidade G é igual à soma dos momentos dos pesos das partes que compõem o corpo, Para corpos homogêneos,
18 Problema Resolvido 5.12 SOLUÇÃO:O elemento de máquina pode ser obtido somando-se um paralelepípedo retangular a um quarto de círculo e então subtraindo-se dois cilindros de diâmetro igual a 2,5 cm. Determine o centro de gravidade do elemento de máquina de aço. O diâmetro de cada furo é de 2,5 cm.
19 Problema Resolvido 5.12
20 Problema Resolvido 5.12