1 Formas canonicas de sistemas LTISistemas dinamicos Formas canonicas de sistemas LTI

2 Contenido La forma canonica diagonalTransformacion de coordenadas y controlabilidad Transformacion de coordenadas y observabilidad Descomposicion canonica controlable Descomposicion canonica observable Descomposicion canonica

3 La forma canonica diagonal

4 La forma canonica diagonalSean 1, 2,  + j, y   j los valores propios de A y v1, v2, v3, v4, los vectores propios correspondientes. Definiendo Entonces tenemos

5 La forma canonica diagonalAplicando la siguiente transformacion de similaridad a la matriz diagonal J

6 Transformacion de coordenadas y controlabilidad

7 Cambio de coordenadas y controlabilidadSea el par (A,B) controlable Rango completo La controlabilidad es una propiedad invariante frente al cambio de coordenadas

8 La clase de los los sistemas controlablesSe sabe que para todo par (A,B) controlable entonces la matriz de controlabilidad Q es de rango completo. ¿Existe una forma simple unica que represente a todos los sistemas controlables? La respuesta es SI

9 Forma canonica del controladorSi el par (A,B) es controlable entonces existe una transformacion de coordenadas T con la propiedad como se demuestra a continuacion

10 Forma canonica del controlador, En virtud de la suposicion de controlabilidad, la matriz de controlabilidad Q es no singular y entonces existe un unico vector fila h el cual resuelve la ecuacion lineal con

11 Forma canonica del controladorDefiniendo la matriz no singular Para demostrar que T es una matriz no singular, observese la matriz

12 Forma canonica del controladorYa que por suposicion Q es no singular, entonces T es tambien no singular y z = Tx es una transformacion de coordenadas lineal

13 Forma canonica del controladorPor el teorema de Caley-Hamilton Sea el polinomio caracteristico de la matriz A:

14 Forma canonica del controlador¿Pero que nos dice realmente esta estructura? Bien, definamos una variable escalar x = x1 y con, Entonces, notamos que, La ecuacion matricial se reduce a la ecuacion escalar

15 ESTO ES IMPORTANTE Entonces, cuando estudiamos el sistema lineal SISO controlable podemos hacer siempre un cambio de coordenadas que convierta al sistema en uno de orden n cuya variable de estado es un escalar  Tambien es claro que si, en forma inversa, uno comienza con un sistema escalar de orden n uno puede llevarlo a la forma (A,B,C,D) con el par (A,B) en la forma canonica del controlador. (A,B,C,D) sistema escalar de orden n sistema escalar de orden n (A,B,C,D)

16 Otras formas canonicas controlablesExisten otras formas canonicas alternativas para el par controlable (A,B). La forma canonica de controlabilidad o forma canonica primera de Luenberger-Brunovsky:

17 Otras formas canonicas controlablesInvestigar otras formas canonicas alternativas para el par controlable (A,B).

18 Transformacion de coordenadas y observabilidad

19 Cambio de coordenadas y observabilidadSea el par (A,C) observable Rango completo La observabilidad una propiedad invariante frente al cambio de coordenadas

20 Forma canonica del observadorSi el par (A,C) es observable entonces existe una transformacion de coordenadas T con la propiedad

21 Forma canonica del observadorManipulando las ecuaciones del sistema en la forma canonica del observador es posible llegar a la siguiente expresion: Asi, un sistema observable puede ser llevado a la forma de una ecuacion diferencial para la salida en terminos de la entrada y sus derivadas. donde bn esta definido por D = [bn].

22 Otras formas canonicas observablesUna forma alterna de la forma canonica del par observable (A,C) es la forma canonica de observabilidad o forma canonica primera de Luenberger-Brunovsky.

23 Otras formas canonicas observablesInvestigar otras formas canonicas alternativas para el par observable (A,C).

24 Descomposicion canonica controlable

25 Descomposicion canonica controlableSi el par (A,B) no es controlable, entonces existe una matriz invertible T y un entero positivo p < n, con la propiedad de que

26 Descomposicion canonica controlableSea rank[Q] = p < n, y sean: U1 una matriz de nxp cuyas columnas formen una base para el espacio columna de Q , y U2 una matriz nx(n-p) cuyas columnas con las de U1 formen una base para Rn, es decir el espacio columna de [U1 U2] = Rn. Sea la transformacion de estado [U1 U2]z = x, Demostracion

27 Descomposicion canonica controlablePor construccion, U1 es A-invariante, y [U1 U2] es una base en Rn, entonces, existen matrices , tal que Por lo tanto, Demostracion

28 Descomposicion canonica controlablePor construccion, U1 contiene a B, entonces, existe una matriz B1 pxm tal que B = U1B1 o, Por lo tanto, Forma controlable de Kalman LQQD

29 El subsistema controlablees controlable. Es decir, Esto resulta de la forma como se construyeron las matrices A11 y B1

30 La funcion de transferenciaLa funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema controlable Esto implica que solo el subsistema controlable afecta la relacion de entrada-salida (IO) del sistema original

31 La funcion de transferenciaDemostracion: La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema controlable Demostracion

32 Ejemplo

33 Esta ecuación es controlable y tiene la misma matriz de transferenciaEjemplo Esta ecuación es controlable y tiene la misma matriz de transferencia

34 Descomposicion canonica observable

35 Descomposicion canonica observableSi el par (A,C) no es observable, entonces existe una matriz invertible T y un entero positivo p < n, con la propiedad de que

36 El subsistema observablees observable. Es decir, Esto se puede deducir de la dualidad Demostracion

37 La funcion de transferenciaLa funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema observable Esto implica que solo el subsistema observable afecta la relacion de entrada-salida (IO) del sistema original

38 Descomposicion canonica

39 Descomposicion canonicaIdea: Aplicar la descomposición controlable Aplicar la descomposición observable al subsistema controlable Aplicar la descomposición observable al subsistema no controlable Sistema:

40 Primer paso Aplicar la descomposición controlable

41 Paso 2 Aplicar la descomposición observable al subsistema controlable

42 Paso 3 Aplicar la descomposición observable al subsistema no controlable

43 La descomposicion canonicaPropiedades de la descomposicion canonica: El sistema es controlable y observable Las dimensiones de los bloques no cambian Las propiedades de los modos no cambian

44 La descomposicion canonica

45 La descomposicion canonicaResumen 1) 2) G(s) es invariante bajo la transformacion de estado del subsistema controlable y obserbable

46 La descomposicion canonicaResumen 3) Los subsistemas controlable y observable son la esencia de la dinamica del sistema 4) es el descriptor de orden minimo de la funcion de transferencia

47 Fuentes A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007 Marino and Tomei, “Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive, & Robust”, Prentice-Hall, 1995.

48 FIN