1 Fórmula de Euler Repaso de Conceptos: Geometría diferencial Curva alabeada (Gausa) : x=x(t) y=y(t) z=z(t)

2 Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores: tangente

3 Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores: tangente normal

4 Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores: tangente normal

5 Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores: definen el plano osculador

6 Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores: definen el plano normal a la curva

7 Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores: definen el plano rectificante (perpendicular a los anteriores)

8 Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores: definen el plano rectificante (perpendicular a los anteriores)

9 Fórmula de Euler

10

11 Elemento de arco

12 Fórmula de Euler Radio de flexión

13 Fórmula de Euler Radio de torsión

14 Fórmula de Euler

15

16

17

18 surgen de la flexión (limitando los desarrollos de )

19 Fórmula de Euler surgen de la flexión (limitando los desarrollos de )

20 Fórmula de Euler En la tercera entra la torsión con la convención de signo mencionada

21 Fórmula de Euler Una superficie alabeada surge de introducir dos parámetros en las ecuaciones

22 Fórmula de Euler Una superficie alabeada surge de introducir dos parámetros en las ecuaciones Ejemplo: el elipsoide de rotación se podria expresar en función de φ, λ con las expresiones ya vistas, para h=0.

23 Fórmula de Euler Una superficie alabeada surge de introducir dos parámetros en las ecuaciones Ejemplo: el elipsoide de rotación se podria expresar en función de φ, λ con las expresiones ya vistas, para h=0.

24 Fórmula de Euler Una superficie alabeada surge de introducir dos parámetros en las ecuaciones Ejemplo: el elipsoide de rotación se podria expresar en función de φ, λ con las expresiones ya vistas, para h=0. Para un parámetro constante se tiene una curva sobre la superficie

25 Fórmula de Euler Una superficie alabeada surge de introducir dos parámetros en las ecuaciones Ejemplo: el elipsoide de rotación se podria expresar en función de φ, λ con las expresiones ya vistas, para h=0. Para un parámetro constante se tiene una curva sobre la superficie φ= cte (un paralelo) λ= cte (un meridiano)

26 Fórmula de Euler Si tuviéramos dos secciones normales principales (la del meridiano si lo es, la del paralelo no, pero sí la de la sección normal al meridiano) podríamos expresar la curvatura de una sección cualquiera en función de la dirección con respecto a una de ellas (p.ej. el acimut desde el meridiano).

27 Fórmula de Euler Si tuviéramos dos secciones normales principales (la del meridiano si lo es, la del paralelo no, pero sí la de la sección normal al meridiano) podríamos expresar la curvatura de una sección cualquiera en función de la dirección con respecto a una de ellas (p.ej. el acimut desde el meridiano). Aplicándole a cada una de ellas la expresión de y’ vista antes queda

28 Fórmula de Euler Si tuviéramos dos secciones normales principales (la del meridiano si lo es, la del paralelo no, pero sí la de la sección normal al meridiano) podríamos expresar la curvatura de una sección cualquiera en función de la dirección con respecto a una de ellas (p.ej. el acimut desde el meridiano). Aplicándole a cada una de ellas la expresión de y’ vista antes queda

29 Fórmula de Euler

30 M: radio de curvatura de flexión del meridiano (elemento de arco Sm) N: radio de curvatura de flexión de la sección normal perpendicular al meridiano. RA: radio de curvatura de flexión para una sección que corresponde a un acimut A

31 Fórmula de Euler M: radio de curvatura de flexión del meridiano (elemento de arco Sm) N: radio de curvatura de flexión de la sección normal perpendicular al meridiano. RA: radio de curvatura de flexión para una sección que corresponde a un acimut A Considerando la ecuación de la elipse

32 Fórmula de Euler Nos queda

33 LÍNEA GEODÉSICA Y CORTES NORMALES LINEA GEODESICA: Por definición son aquellas en las cuales el plano osculador contiene permanentemente la normal a la superficie. Al no girar hacia los costados son la menor distancia entre dos puntos sobre la superficie. El meridiano y el ecuador son líneas geodésicas, aún sobre el elipsoide, no así los paralelos

34 LÍNEA GEODÉSICA Y CORTES NORMALES Dif. Angular: 0,02” para lados de 150 Km en lat.=45º y A=45º Además considerar la altura del punto visado que es de 0,5” en altura ~ 5000m

35 LÍNEA GEODÉSICA Y CORTES NORMALES

36 Radio medio a una latitud  A partir de la formula de euler:

37 Radio medio a una latitud  A partir de la formula de euler:

38 Radio medio a una latitud  A partir de la formula de euler:

39 Radio medio a una latitud  A partir de la formula de euler: haciendo

40 Radio medio a una latitud  A partir de la formula de euler: haciendo

41 Radio medio a una latitud  A partir de la formula de euler: haciendo

42 Radio medio a una latitud  A partir de la formula de euler: haciendo entonces

43 Teorema de Meusnier Nota: Este teorema vale cuando tenemos una sección no normal (como el paralelo)

44 Teorema de Meusnier Definición: El radio de curvatura de una sección es la proyección ortogonal (sobre el plano de la misma) del radio de la sección normal correspondiente.

45 Teorema de Meusnier Definición: El radio de curvatura de una sección es la proyección ortogonal (sobre el plano de la misma) del radio de la sección normal correspondiente.

46 Teorema de Meusnier Definición: El radio de curvatura de una sección es la proyección ortogonal (sobre el plano de la misma) del radio de la sección normal correspondiente. Este teorema tiene una aplicación para interpretar el valor de N

47 Teorema de Meusnier r= resulta de proyectar N sobre el plano del paralelo

48 Teorema de Meusnier r= resulta de proyectar N sobre el plano del paralelo cP o = radio de la sección normal.

49 Teorema de Meusnier Demostración :

50 Teorema de Meusnier Demostración : MPoN: Arco de sección oblicua

51 Teorema de Meusnier Demostración : MPoN: Arco de sección oblicua APoB: Arco de sección normal

52 Teorema de Meusnier Demostración : Los radios de curvatura de la sección oblicua (bajo ángulos θ) y el de la normal se pueden expresar en función de sus correspondientes cuerda y flecha.

53 Teorema de Meusnier Demostración : Los radios de curvatura de la sección oblicua (bajo ángulos θ) y el de la normal se pueden expresar en función de sus correspondientes cuerda y flecha.

54 Teorema de Meusnier Demostración :

55 Teorema de Meusnier Demostración :

56 Teorema de Meusnier Demostración :

57 Teorema de Meusnier Demostración :

58 Teorema de Meusnier Demostración : aplicando la regla de L’Hopital

59 Teorema de Meusnier Demostración : Aplicando este principio a la sección oblicua

60 Teorema de Meusnier Demostración : Aplicando este principio a la sección oblicua

61 Teorema de Meusnier Demostración : Aplicando este principio a la sección oblicua pero para P 0 I  0 MN  AB

62 Teorema de Meusnier Demostración : Aplicando este principio a la sección oblicua pero para P 0 I  0 MN  AB

63 Teorema de Meusnier Demostración : Aplicando este principio a la sección oblicua pero para P 0 I  0 MN  AB Teorema de Meusnier

64 Arco de paralelo Arco de meridiano

65 Arco de paralelo Arco de meridiano

66 Arco de paralelo Arco de meridiano