1 FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA MIRAR, VER y RECONOCER

2 A MODO DE PRESENTACIÓN Como dice Ian Stewart en sus muy recomendables  Cartas a una joven matemática, si cada cosa que tiene matemáticas en su interior llevara una etiqueta roja, todo el mundo se vería colorado. La vida está llena de Mates ¡que estén las Mates llenas de vida! Cada mirada una foto, cada foto un concepto, cada concepto un mundo: DISFRUTA

3 Con una MIRADA ENAMORADAHay muchas FORMAS MATEMÁTICAS de mirar las cosas. Como la de esta espiral doble, que lleva geometría, funciones, fantasía y arte. 

4 VIENDO más allá de los tópicosLa idea de que las matemáticas son cuadriculadas nace de una realidad, la capacidad de las maths para clasificar, organizar, codificar y localizar realidades, pero se convierte en caricatura y tópico por ignorancia o temor. Las Mats son imaginación, creatividad, fantasía, libertad. Sin eso no se habrían conseguido los grandes logros de la historia. Foto del montaje Family / Origin of the Beginning del artista holandés Levi van Veluw con personas reales recubiertas de tacos de madera.

5 Que se vacían en los arcos para hacerse luz y color.RECONOCIENDO al ver Círculos construidos sobre sus radios, que se apoyan en el centro para llegar hasta la circunferencia, en una explosión de color en Tailandia. Foto Chiang Mai. Que se vacían en los arcos para hacerse luz y color.

6 ENCARNANDO las formas Nos ha salido redondo,hagamos un círculo, las matemáticas unen y la vida se expresa en términos matemáticos.

7 CREANDO los conceptos El radio de una circunferencia es la mitad del diámetro. Por eso para calcular la longitud de la circunferencia en vez de  l = 2 π r algunos prefieren usar  l = τ r, donde la letra tau τ es el doble de 

8 CONSTRUYENDO la realidad¿Cómo se forman las rectas, los puntos, las figuras, los planos? ¿Están ahí o son una construcción de la mente?

9 La RELATIVIDAD de la miradaUna circunferencia puede estar respecto a otra en posición exterior, tangente o interior como nos muestran (casi) estas llantas de rueda de carro de la hermosa foto de Pam Jones. Aunque también podrían cortarse en dos puntos, ser tangentes interiores y concéntricas.

10 Una mirada GEOMETRIZANTEJuega a BuscaMates, encontrando en esta foto un ángulo agudo, un cono, un cuadrado, 2 curvas paralelas, 3 coronas circulares, 5 círculos tangentes dos a dos, un gran rombo, un plano y su vector asociado, una curva polinómica y su simétrica respecto al eje de abscisas, varios máximos y mínimos relativos y un máximo absoluto, la mediatriz de un segmento… y que lo que tu ojos puedan encontrar. Porque la vida está llena de mates.

11 Cuerpos, figuras y FORMASLa belleza de las formas y la fascinación de la geometría, tanto en los poliedros  naturales, como en los artesanales.

12 Equiláteros, isósceles y COJOSTiene tres lados iguales y tres ángulos iguales, por eso es equilátero y  equiángulo. Los lados pueden medir cualquier cosa, pero los ángulos siempre 60º. Por eso todos ellos son SEMEJANTES entre sí. Maravillas de las mates. 

13 LOS NÚMEROS: construcciones mentalesTodo el mundo sabe lo que es cinco. Se dice de muchas maneras, cinco, cinq, fünf, חמש, pięć, પાંચ, y se expresa con muchos símbolos 5,  V,  101, ••••• ,  ✫, pero ¿qué es cinco? Para los matemáticos es lo que tienen en común todos los conjuntos con ese número de elementos. Como los de cada una de estas fotografías y otras muchas realizadas por Sarah Hyndman que durante los 366 días de 2012 fotografió un logo olímpico al día. ¿Qué es cinco? Lo que queda en tus ojos tras ver el increíble video  Olympic logo a day, el cardinal de los conjuntos de cinco elementos.

14 Diez CIFRAS, infinitos NÚMEROSRepresentamos todos los números con unas pocas cifras, exactamente 10 cuando es en base 10. Con los ojos llenos de mates uno ve un  5  donde alguien hizo un hermoso diseño de azulejos al pie de una escalera. Pero ¿qué es cinco, número o cifra?

15 Hasta el infinito y más allá.Números para CONTAR y ORDENAR Hasta el infinito y más allá. Los números naturales tienen un comienzo, el 1 (el 0 no es ningún principio), y cada uno tiene su siguiente, como se definen con los Axiomas de Peano.

16 numeración posicional (en base 10).Un SISTEMA decimal y posicional Un 1 seguido de un 3 dan 13, en numeración posicional (en base 10). Otro gran logro del lenguaje matemático.

17 ¿Quién da ? El universalmente conocido signo más para la adición o suma. La idea de añadir es simple y a lo largo de la historia se han usado muchos símbolos o abreviaturas. En el siglo XV se usaban en Europa la P de plus = más en latín (y la M de minus = menos para restar Los signos  +  y  −  actuales se cree que provienen del libro de Aritmética Mercantil Behende und hüpscheenung auff allen Kauffmanschafft, obra de Johannes Widmann en 1489, aunque también se dice que el  +  viene de las cruces que hacían con algún tipo de tiza los empleados de las aduanas para indicar los paquetes revisados.

18 Mats: en busca de VERDADESNo importa cuantos pájaros haya sobre el hielo. El total de imágenes será siempre par. Demostración  visual de una propiedad matemática. Así cuando queremos escribir un número par genérico o desconocido ponemos 2n, siendo n un  número natural, claro.

19 Postulados, axiomas y TEOREMASTeorema de Pick: Es un curioso y sorprendente resultado con el que se puede conocer el área de una región poligonal cuyos vértices están en una cuadrícula contando simplemente el nº de vértices y el de puntos de la cuadrícula que están dentro del polígono. Lo tiene todo para que mires, pruebes y veas las maravillas de las matemáticas.

20 PRINCIPIOS: algunos hereditariosLos números naturales incluyen en su definición el principio de inducción, algo así como que si cada uno empuja al siguiente, todos quedarán empujados. Siempre que empiece alguien, claro. Esa es la idea básica para formalizar los números naturales y una de las bases de la demostración matemática.

21 FRACCIONANDO la realidad1 cuerno de 2, la mitad de los cuernos, 1/2, ¿tiene medio cuerno? No, tiene la mitad de los cuernos, en decimales 0’5 del total de cuernos que debía. Son números racionales, de razón = a/b (de donde vienen las proporciones),  fracciones y decimales que sirven para conocer y calcular con partes no enteras de las cosas.

22 Particiones (¿se puede?) de la UNIDADDos y media (¡de lo mismo, claro!), que es igual que 2½  ó  2’5 , en europa,  y  2.5  en notación americana. Matemáticas refrescantes que alegran la vista. 

23 ¿EXPRESIONES decimales o naturales?Siguiendo con números racionales, después de una fracción un decimal. En la foto de Joélisa vemos a uno (o una) con tres, que no es lo mismo que 1’3 o 1.3. Estos son partes de uno y no partos de una.

24 Las FORMAS de los númerosInsiste Ian Stewart en que multiplicar no es sumar muchas veces y que no debe enseñarse así. Porque un producto puede ser un cuadro cartesiano y suponer un cambio de dimensión, como nos muestra la hermosa foto de Tamas Mészáros.

25 Los NÚMEROS de las formasLa espiral áurea es una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento es φ, el número de oro. Está relacionada con la sucesión de Fibonacci y puede encontrarse exacta o aproximadamente en losgirasoles, en la concha del nautilus o en espirales galácticas.

26 CÁLCULO: la potencia del algoritmoEn 1970 se decía en la Facultad de Ciencias de Zaragoza que el área de Matemáticas contaba con una calculadora mecánica que hacía sumas, restas, productos y hasta divisiones, a golpe de palanca. En el 71 un alumno lucía en clase de Astronomía una calculadora de bolsillo, casi de mochila, con luminosos números, que hacía también las 4 reglas, lo que no le libraba de trabajar con las tablas de logaritmos y trigonométricas, como los demás. Ya en 1979 tuve la suerte de adquirir mi primera Texas Instrument, con senos y logaritmos, con luces más pequeñas, batería y cargador. Un lujo que me acompañó muchos años. Nostalgias que aparecen al mirar la preciosa foto de Daniel Secches.

27 Mats, ¡algo más que CÁLCULO!Una calculadora de madera que suma, resta, multiplica y divide  introduciendo los números con golpes y dando los resultados con sonidos. Una interesante experiencia para pasar un buen rato y refrescar la idea de estas operaciones, separando el cálculo de las tablas de resultados. Volviendo luego a los resultados de memoria o con calculadoras y ordenadores. Porque ¿cómo toctoreará esto 5 − 7? ¿O 5 ÷ 7  ó  3.457 * ?. Es obra del diseñador suizo Khalil Klouche que lo montó con un micrófono en cada cuadrante y un prototipo electrónico de Arduino y un electroimán en el interior, para una exposición en el MUDAC.

28 A hombros de GIGANTES El estudio de las mates es una función creciente: Cuanto más haces, más aprendes. El equipo del Apollo 11 empezó el viaje a la luna con escaleras y tuvieron que pasarse a las ecuaciones para poder llegar. Y cada vez hay más matemáticos haciendo matemáticas. 

29 THALES, el padre de la geometríaEl teorema de Thales de Mileto dice que trazando paralelas a los lados de un triángulo se obtienen triángulos semejantes, lo que dicho de otro modo es que las paralelas, como los estantes de la imagen, producen segmentos proporcionales. Es el 1º Teorema (llamado de intersección en inglés), porque Thales tiene  otro muy bonito para dibujar triángulos rectángulos sobre una circunferencia. 

30 PITÁGORAS el padre de la aritmética¿Como harian Pitágoras y los suyos los triángulos rectangulos y las hipotenusas?  ¿Serian ASI SUS Herramientas?. Foto de la serie Forjado de Harold Ross

31 El hombre que MIDIÓ LA TIERRAPara seleccionar los números primos en la criba de Eratóstenes se van tachando los números de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5… con lo que se quitan todos los compuestos, los múltiplos, y quedan sólo los primarios, los primos.

32 En TODOS los tiempos, en TODOS los pueblosHay una tradición de aprender a los pies del maestro, escuchando con respeto sus enseñanzas. Leonhard Euler fue el más prolífico matemático, tocó todas las ramas de las Mats, hizo descubrimientos revolucionarios, nos dejó más de 80 tomos de escritos y tuvo gusto y acierto inventando y simplificando notaciones. Aprendamos de él. En la foto de Ndeur un zapato de papel formado por poliedros. ¿Cumplirá la fórmula de Euler para los poliedros convexos caras + vértices = aristas + 2 ?

33 ¡SÓLO CINCO!, sólidos y platónicosLa cosa estaba ahí, pero costó siglos verlo: la cantidad de caras, vértices y aristas se relacionan con una fórmula sencilla. Vale para los poliedros convexos, sin entrantes, no para los poliedros cóncavos, como los estrellados y otros. Y no es necesario que sean regulares, como sí lo son los sólidos platónicos de la fotografía.

34 Somos REALIZADORES = Hacedores de RealidadMuchas veces los matemáticos van por delante. Ideas que parecen un divertimento pasan a un estudio matemático, quizás muchos años después alguien le encuentra un sentido físico y tras otro montón de tiempo un ingeniero le da utilidad práctica, hasta que se fabrica y llega a todo el mundo. Así ocurrió con el movimiento de vibración de una cuerda,que pudo ser puesto en ecuaciones, que se usaron luego para inventar la radio. O con el Álgebra de ceros y unos de Boole, primera base teórica de los ordenadores.

35 ¿AUTOLIMITARSE o ponerse límites?Contemplando esta magnífica foto de la luna descansamos un poco de los puros conceptos y nos adentramos en la magia de las matemáticas, la fascinación por comprender el cosmos que llevó a Galileo, Kepler, Newton y tantos otros a acercarse más y más al conocimiento de las leyes que rigen el Universo.  

36 Teoría de Conjuntos, ¿quién te quiere?Unir dos conjuntos es añadir los elementos de ambos. No es sumar cantidades, sí juntar elementos. 

37 ¿INCOMPATIBLES o independientes?Cuando dos conjuntos no tienen nada en común se dicen disjuntos. Así parece que ocurre aquí entre los marrones y los colorines en esta extraordinaria foto del Sony World Photography Awards 2013

38 El RIGOR está al final del procesoTambién en matemáticas cerrado es lo que contiene todo dentro y la clausura o cierre de un conjunto es ampliarlo mínimamente para que todo quede en casa, es decir, para que se cumpla la propiedad de que se trata. Hay clausura topológica, que define puntos frontera, pero también hay la algebraica, de relaciones y de subgrupos normales.

39 El ARTE de la decoración se llama MatsNos gustan las regularidades, las formas repetidas, los patrones, lo que se estudia en matemáticas como movimientos, transformaciones y teselaciones. Por la armonía de las formas, la lógica del desarrollo y la belleza del resultado son una práctica ideal para hacer con hijos y alumnos diseñando los patrones sobre un papel cuadriculado. Lo parasarán bien. Pero, eso sí, no les digas que son matemáticas.

40 MODELIZANDO la realidadSi una pelota flota sobre la cascada ¿cual es la probabilidad de que aparezca en cada una de las ramificaciones? Algo más sencilla es la máquina con la que el polímata, antropólogo, geógrafo, explorador, inventor, metereólogo, estadístico y psicólogo británico Francis Galton estudió probabilidades, dejando caer bolas por una tabla con clavos que iban separando caminos.  Se utiliza para estudiar la distribución binomial y su relación con la distribución normal demostrando el teorema del límite central. Lo mejor es ver en acción la máquina de Galton, llamada también Quincunx, por el nombre de la moneda romana de 5 onzas, por la disposición de los clavos en forma del 5 de un dado o con el más castizo de Tresbolillo, como la disposición con que se siembran las plantas en triángulos equiláteros.

41 La VIDA también se diseña con MatsDe lo más grande a lo más pequeño la naturaleza está llena de mates, a veces aún difíciles de describir y analizar, a veces en formas que requieren teorías avanzadas, como los espacios hiperbólicos o los fractales y a veces en formas básicas, como los cristales o este grano de polen seleccionado entre las magníficas fotografías microscópicas de Rob Kesseler. Su forma, un dodecaedro, 12 caras, pentágonos regulares. Cuando más conocemos más grande es el asombro ante la belleza, regularidad y optimización de todo lo que nos rodea.

42 Una sola CARA, un solo BORDELa cinta de Moebius causa asombro y fascinación porque muestra claramente una figura en el espacio que tiene una sola cara. Y no sólo en geometría sino también en el arte como muestra la foto de esta escultura del diseñador Max Bill.

43 El precio de la CONTINUIDADEl concepto de velocidad media es sencillo, basta dividir lo que andas entre lo que tardas, pero para afinar más y trabajar con velocidad instantánea hubo que inventar las derivadas y todo el cálculo infinitesimal de  Newton y Leibnitz, con sus épsilons, infinitésimos, ímites y funciones continuas, basado todo en los números reales, indispensables para ello. 

44 Geometría Analítica: adiós a EuclidesLa geometría analítica expresa rectas con ecuaciones, con lo que se desarrollan de otra manera ideas y teoremas, se facilitan los cálculos y se obtienen precisos resultados. No importa la dimensión, con ecuaciones todo funciona de manera similar, con 2 variables en 2D o 3 variables en 3D . Es tanta la potencia del método que nos olvidamos de visualizar las cosas.

45 JUGANDO con las MatemáticasSuceso imposible es el que no puede ocurrir, como encontrar un número negativo entre los naturales, meter una canasta en un partido de fútbol o sacar un 7 en un dado del 1 al 6. No hay ninguna probabilidad: P(∅)=0. También es imposible tirar 12 dados y que queden como en la foto. Pero esa es otra historia.

46 Combinatoria, lógica y azar del artista belga Paul Bury.Las Mats TAMBIÉN CUENTAN Todas las ordenaciones posibles de 2 esferas y 2 cubos en las 6 primeras filas y 2 de las 8 permutaciones de 1 figura de un tipo y 3 del otro. Combinatoria, lógica y azar en la obra  6 Boules, 16 Cubes sur 8 Rangées  del artista belga Paul Bury.

47 Ideas que CAMBIAN mundosSí/no, punto/raya, on/off, 0/1. Con dos signos se puede hacer un lenguaje. Con un interruptor se puede gestionar si pasa la corriente (on, 1, si) o no pasa (off, 0, no). Así que la electricidad puede hablar, y escribir con un sistema 0/1 en base 2 y actúar en circuitos electrónicos off/on. Ideas simples, en búsqueda se cómo son las cosas, desarrolladas en investigación básica que de dos dígitos sacó todo un mundo digital. ¡Y la que se montado con esto!

48 INTEGRANDO y diferenciandoLa integral definida junta rectángulos, calcula áreas… y hasta puede unir elefantes.

49 Un paciente ACERCAMIENTOUna impresionante recta vertical a la que una curva se acerca, se acerca, se acerca, sin llegar a tocarla nunca. Es una asíntota vertical. Una atracción permanente, un amor imposible. Foto de Petra,

50 La GESTACIÓN de nuevas ideasUna matriz es un cuadro de datos organizados en filas, 9 en este caso, y columnas, 13 aquí. Permite la ordenación y manejo de datos por categorías, una idea simple y enormemente útil cuando las cosas no caben ya en tu cabeza. Su invención y uso fue determinante en economía, funciones y espacios n-dimensionales y el álgebra de matrices se aplica ya en todas las ramas de las mates, las ciencias y la programación de ordenadores.

51 En busca de la NORMALIDADLa estatura de la población, la longitud de los granos de maíz, las notas de una clase y otras muchas cosas más se distribuyen de una forma que se llama normal. Hay pocos en los extremos y muchos en el centro, como ilustra la campana de Gauss. La realidad nunca es exacta y perfecta, pero cuanto más casos se observen más se acerca a este modelo  y se pueden predecir resultados con porcentajes y tablas de valores. Aunque lo normal es preferir verlo desde Santorini, isla griega de la foto.

52 Foto del elenco del ballet de la Ópera de Paris.Orden, recurrencia y ARMONÍA También llamado de Pascal, el triángulo de Tartaglia recoge de una forma asombrosa y simple los números combinatorios, los coefcientes de las potencias de un binomio, la serie de Fibonacci, números triángulares, poligonales y otras regularidades como su conexión con el fractal de Sierpinski que se explican en Pascal’s triangle web. Foto del elenco del ballet de la Ópera de Paris.

53 Giro, dilatación…y AUTOSEMEJANZAen Apophysis por Pan Amos con el título In a spin, en una vuelta. Diseño fractal creado

54 LENGUAJES: verbal, gráfico y simbólicoEntre los gráficos estadísticos e infografícos más usados están el diagrama de barras, el de sectores llamado popularmente de quesitos, el pictograma y el polígono de frecuencias, como el de la foto donde Jim Van Raemdonck y el equipo de Phoebe De Corte crean infografías fisicamente a tamaño real para un Informe Anual. Hay histogramas, polígonos y quesitos, merece la pena ver el proceso.

55 “Para todos los pueblos, para todos los tiempos”Después de muchos siglos en que cada uno iba por su lado, la implantación del sistema métrico decimal en la primera Conferencia General de Pesos y Medidas en París, 1889, supuso un gran impulso a la ciencia, la técnica y el comercio. A partir de tres magnitudes básicas (longitud, masa y tiempo) y sus unidades (metro, kilogramo, segundo), se racionalizaron las medidas, se unificaron los prefijos, se facilitó los intercambios y todo el mundo fue adoptando la base 10.

56 La RESOLUCIÓN DE PROBLEMASUna mañana, exactamente al amanecer, un monje budista emprendió la ascensión de una elevada montaña. El sendero que utilizó, de no más de un metro de ancho, daba vueltas y revueltas en torno a la montaña, hasta un resplandeciente cerro en la cima. El monje fue subiendo con velocidad variable, deteniéndose muchas veces a descansar y a comer frutos secos que llevaba consigo. Alcanzó el templo poco antes de la puesta del sol. Tras varios días de ayuno y meditación, emprendió el viaje de regreso a lo largo del mismo sendero, partiendo al amanecer, caminando igualmente con velocidad variable y haciendo muchas pausas a lo largo del camino. Su velocidad media en el descenso fue, como era de esperar mayor que en el ascenso. Demostrar que hay un punto del camino por el que el monje pasó en ambos viajes exactamente a la misma hora del día.

57 Sin COMPLEJOS, aunque sean imaginariosEn una situación cada vez más compleja no está de más tener un amigo imaginario.

58 Las FUNCIONES de las matemáticasCuando uno se acerca a dividir por cero las cosas se complican. Hay que buscar el límite en el cero. La gráfica ayuda, pero no es definitiva. La curva oscila infinitas veces entre -1 y 1. El Dr. Conroys lo ilustra muy bien, usando el Teorema del Sandwich. Foto del puente de Meydan en Dubai por Elia Locardi, el futuro es ahora.

59 ¿Dónde está la in-FORMACIÓN?Como las abejas, que emplean el Cálculo Diferencial para determinar la forma de la celdilla que permite su construcción con un MÍNIMO de cera, para formar un hogar hay que saber cómo hacerlo. Y aquí el talento, como con las mates, no es suficiente!

60 FILOTAXIA: las leyes del crecimientoLos girasoles están llenos de mates, la estructura de sus semillas sigue la sucesión de Fibonacci: 0, 1, 1,2, 3, 5,  8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 … como puede apreciarse en la extraordinaria animación Nature by numbers de  Cristobal Vila y muy bien documentado en su web eterea estudios, que no nos cansamos de ver y recomendar.

61 De lo DISCRETO a lo continuoLa sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … no sólo está presente en los girasoles o en la pauta de reproducción de conejos, sino que su encanto resuena en obras humanas como espirales y logotipos o en este mueble diseñado y realizado por utopia architecture.

62 inspirado tantas matemáticas.Otros MUNDOS, otras DIMENSIONES Una escalera  imposible, que recuerda la obra de Maurits Cornelis Escher el artista holandés cuyos mundos han  inspirado tantas matemáticas. Foto Infinity Stairs.

63 La MÚSICA DE LAS ESFERASEl astrolabio esférico o esfera armilar, del latín armilla=círculo, estaba formado por el ecuador, meridianos y paralelos y servía para observar el movimiento de las estrellas en relación a la tierra y el sol.

64 Vivimos en un universo VIBRATORIOEl cielo está lleno de mates y hoy las nubes toman forma de dos curvas, las gráficas del seno y del coseno, que son iguales, aunque desplazadas. 

65 CURVAS: agua, luz y armoníaEn el espacio de 3 dimensiones se estudian y dibujan hermosas  curvas y superficies en coordenadas  cartesianas,  cilíndricas o esféricas. Por ejemplo la curva de Viviani. 

66 IRRACIONALES, pero necesariosUna selección de números irracionales situados en un reloj que, naturalmente no marca las horas ‘exactas’ sino otras muy especiales, con infinitos decimales. Por ejemplo el nº e está un poco antes del 3 y el nº π un poco después. Por cierto que no se llaman números irracionales porque no sean razonables, se razonan muy bien, sino porque no se pueden poner como una razón (n/m) Lospitagóricos les llamaron incomensurables, porque rompían sus ideas sobre la medida de los números, pero desde hace siglos son números bien definidos y controlados, aunque siguen siendo incómodos para los estudiantes.

67 REDES: una estructura enriquecedoraLa distribución de alimentos, el tráfico, Internet usan la teoría matemática de redes. ¿Se ha desarrollado todo esto porque ya habían esas mates o son las mates las que avanzan viendo lo que hace falta? Las dos cosas. La realidad y la abstracción matemática se retroalimentan, a veces empuja una, a veces la otra. Porque también la naturaleza se organiza en redes, como en esta preciosa foto de LinderRox.

68 La RELATIVIDAD de la geometríaEl matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobacheski desarrolló hacia 1830 una geometría hyperbólica en la que el quinto postulado de Euclides no es cierto, haciendo que por un punto exterior a una recta pasaran al menos 2 paralelas. Algo que parecería sólo un juego de elucubraciones matemáticas, al romper con la geometría intuitiva del espacio tridimensional en que nos movemos, tuvo aplicaciones inesperadas, como tantas veces ocurre con las matemáticas. Esta vez fue muy pronto y dio paso ni más ni menos que la geometría necesaria para desarrollar la teoría de la relatividad de Albert Einstein.

69 Un problema para usar bolíGRAFOSLeonard Euler resolvió el problema de si se podía recorrer los 7 puentes de la ciudad rusa de Kaliningrado sin pasar dos veces por el mismo puente. Lo consiguió abstrayendo la situación a regiones y conexiones, puntos y líneas, iniciando con ello la teoría de grafos, que tiene grandes aplicaciones en informática, mapas conceptuales, biología, ciencias de la computación y telecomunicaciones. Foto de la ciudad suiza de Berna, donde EINSTEIN descubrió la RELATIVIDAD.

70 Geometría SAGRADA Foto de un terrario geodésico.

71 ¿Qué hace bella a una FORMA?La naturaleza es rica en fractales y juegos de espejos, como en este hermoso baile de simetrías presentado por la artística mano de renako. La matemática tiene una fuerte inclinación hacia la belleza, y también se ha preguntado por su secreto: SIMETRÍA, AUTOSEMEJANZA, LEVEDAD, COMPLETITUD …

72 EN 4D: ampliando nuestra miradaLa Kleinsche Fläche o Superficie de Klein, llamada habitualmente botella de klein = Kleinsche Flasche amplía la idea de que una superficie tiene dos dimensiones aunque viva en un espacio de tres, como muestra la banda de Möbius. La botella de Klein no tiene interior ni exterior y se dibuja, se diseña y se fabrica cortándose a sí misma, aunque la idea es que está en un espacio de 4 dimensiones sin autoinserción. 

73 En mats también hay PRIORIDADESPara pensar y actuar ordenada y eficazmente nada mejor que usar los paréntesis.

74 Mirando cara a cara al INFINITOSi un genio te ofrece tres deseos dile que te bastan dos: el 1º lo que quieras y el 2º otros dos deseos. Eso es recursividad.

75 PRODUCTO de la creatividad humanaCon dos elementos obtenemos un tercero formado por ambos, algo así como un hijo, producto de los padres y con sus dos apellidos.

76 El INFINITO que se deja atraparCuando algo  se repite a intervalos regulares decimos que sigue un período y el estudio o seguimiento de la cosa se simplifica mucho, tanto con datos como con gráficas, y funciona con números y  funciones.

77 El que ES-PERA, necesita PAZyCIENCIAClaro, para Entender hay que Escuchar, Experimentar, Entrenar, Ensayar, Expresar, eeeeeeh? Dos grandes de la enseñanza de las Mats, el húngaro  George Polya y el español  Pedro Puig Adam dan sus recomendaciones sobre cómo enseñar y aprender las Mats en base a plantear y resolver problemas. ¡Suerte! 

78 La insoportable levedad de un PUNTOLas Maths, como la circunferencia, admite un acercamiento tangencial que no es menospreciable. Con él puedes deducir la direción del acercamiento que te conduce directamente hasta su CORAZÓN. ¡Que es el TUYO!