1 Francisco J. Sánchez Sesma Investigador TitularDepartamento de Matemáticas Facultad de Ciencias, UNAM 19 de agosto de 2010 Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones Francisco J. Sánchez Sesma Investigador Titular

2 Contenido 1. Coda  Ondas con difracción múltiple  Ruido2.   Difracción (scattering) multiple  Regimen difusivo 3.   Equipartición  Im [función de Green] = correlaciones 4. Ejemplos 5.   Autocorrelación = Im [función de Green en la fuente] 6. Los casos de un estrato y un semiespacio 7. Conclusiones

3 Coda sísmica, ruido sísmico ambiental - Campos ‘aleatorios’, Campos difusosComunmente se acepta que el ruido obscurece y que no contiene información útil. De hecho, la intuición sugiere que la difracción (scattering) múltiple de las ondas las hace ininteligibles.

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5 Observaciones a distancias entre 150 y 800 km

6 Regímenes de propagación y decaimiento de la densidad de energía

7 Teoría de Transferencia Radiativa (RTT)Originada en astrofísica por Chandrasheckar (1960) y otros. Fue introducida por Wu (1985) en sismología y desarrollada por Aki, Zeng, Sato, Mayeda, Margerin, Gusev y otros. Sato H y M Fehler (1998). Wave propagation and scattering in the heterogeneous Earth, Academic Press, Cambridge, Mass. Dmowska R, H Sato y M Fehler (2008) (Eds) Vol. 50 of Advances in Geophysics, Academic Press, Cambridge, Mass. Predicción de RTT para un campo elástico difusivo Dispersión (Scattering) Múltiple  Equipartición

8 SPAC (Auto Correlación ESPacial )Keiiti Aki ( ) En 1957 K. Aki mostró que el promedio azimuthal del coeficiente de correlación espacial de un campo escalar está dado por aquí J0 = función de Bessel de primera especie y orden cero. De esta manera se Puede “invertir” c(ω).

9 SPAC En este método se buscan las velocidades de las ondas superficiales para encontrar la estructura. Se supone que el ruido es estacionario. Se usan arreglos espaciales para hacer el promedio azimutal. Si además el ruido es isótropo, se puede obtener el mismo resultado con sólo dos estaciones apilando las correlaciones por largos periodos de tiempo. Considérese una onda plana: y Coherencia r q qo x P Q

10 SPAC Promedio de correlaciones t Función de Green t

11 tan parecidas son estas entre sí. Considérense dos series xi, yi donde La correlación es una operación entre series de valores para determinar qué tan parecidas son estas entre sí. Considérense dos series xi, yi donde i=0,1,2...N-1. La correlación r con el retraso d se define como: Valores medios

12 Promedios de Correlacionesr/c r/c

13 Formalmente, el mismo resultado en 3D (Sánchez-Sesma y Campillo, 2006)El caso vectorial 2D (P-SV) Suma de ondas planas P y SV: x z r y θ P n S m Correlación : Equipartición (2D): Promedio Azimutal: Finalmente (equipartición) Formalmente, el mismo resultado en 3D (Sánchez-Sesma y Campillo, 2006)

14 Promedio de las correlacionesde las fluctuaciones en P y Q Respuesta impulsiva del sistema entre P y Q

15 Teorema de Fluctuación-disipaciónPromedio de las correlaciones de las fluctuaciones en P y Q Respuesta impulsiva del sistema entre P y Q Teorema de Fluctuación-disipación F (Einstein, 1905)

16 Principio de Equipartición para Ondas ElásticasEn un regimen difusivo todos los “modos” están exitados en la misma proporción donde εn son variables aleatorias independientes Para un sólido elástico infinito ¡ Independiente de los detalles del ¨scattering ¨..! ¡ Independiente de la posición en un espacio completo con ¨iluminación¨ homogénea !

17 Margerin, Campillo & van Tiggelen (2001)

18 50 m apertura Campillo et al. (1999); Shapiro et al. (2000)

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20 Teorema de Representación de tipo correlaciónWeaver & Lobkis (2004), Wapenaar (2004), Van Manen, Curtis & Robertson (2006) Equipartición !

21 Fuentes: Fuerzas puntuales Q P Receptores Fluctuaciones de densidad 5%

22 Gij con 50, 100 & 500 fuerzas, 100 difractores

23 Experimentos con ruido térmicoR. L. Weaver and O. I. Lobkis, Ultrasonics without a source: Thermal fluctuation correlations at MHz frequencies, Phys. Rev. Lett. 87, (2001) O. I. Lobkis and R. L. Weaver, On the emergence of the Green’s function in the correlations of a diffuse field, J. Acoust. Soc. Am., 110, (2001) R. L. Weaver and O. I. Lobkis, Elastic wave thermal fluctuations, ultrasonic waveforms by correlation of thermal phonons, J. Acoust. Soc. Am., 113, (2003)

24 (Weaver and Lobkis, Ultrasonics, 40, 435-439, 2002)

25 (Weaver and Lobkis, Ultrasonics, 40, 435-439, 2002)Autocorrelacion de ruido Pulso / ecos (Weaver and Lobkis, Ultrasonics, 40, , 2002)

26 Campillo & Paul Science (2003)

27 Origen oceánico del ruido sísmico

28 Comparación entre sismos y respuestas reconstruidas con correlaciones

29 Comparación entre sismos y respuestas reconstruidas con correlaciones

30 Estabilidad de los mapas: 2 conjuntos diferentes de registros

31 Tras el origen del ruido sísmico

32 Tras el origen del ruido sísmicoDistribución anisotrópica de fuentes: Correlación cruzada asimétrica Tras el origen del ruido sísmico Distribución isotrópica de fuentes: Correlación cruzada simétrica

33 Origen aparente del ruido Promedio de la altura de olasinvierno verano

34 Datos sísmicos de la Misión Appolo 17 (from Larose, 2005) Larose et al (2006)

35 Ruido inducido Vasconcelos et al. (EOS 2008)

36 Auto-correlación Si fuente y receptor coinciden xA = xBEl promedio de las correlaciones es proporcional a Im[Gij(xA,xB)] Si fuente y receptor coinciden xA = xB Densidad de Energía en el punto xA Auto-correlación

37 A partir del Teorema de Representación Sánchez-Sesma et al, WAVE MOTION (2008)

38 Semiespacio. Problema SH antiplano

39 Auto-correlación

40 Auto-correlación

41 Estrato 2D. Ondas SH antiplanasFuente y receptor x h z

42 Estrato 2D. Ondas SH antiplanas

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44 F-1{ixIm[G(0,0; ω)]}

45 Semiespacio Elástico. OndasP-SV y de Rayleigh

46 Semiespacio Elástico. OndasP-SV y de Rayleigh

47 Semiespacio Elástico 3DPerton et al (2009) – JASA Este resultado en 3D muestra dos formas en las cuales la equipartición puede ocurrir: (1) à la Maxwell o (2) à la Weaver

48 Energía función de GreenCOMO CONSECUENCIA DE LA IDENTIDAD Energía función de Green

49 Estrato sobre semiespacio Im[Gij(0,0)] Solución 3DIm[G22] =Im[G11] Im[G33]

50 Resultados de un experimento en TexcocoH/V ~ √ Im[G11]/Im[G33] ? 0.47Hz H/V frec [Hz] Frec [Hz] Im[G22] =Im[G11] Im[G33] ¡ efecto 3D ! Estrato sobre semi- espacio

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52 Conclusiones La coda y el ruido sísmicos califican como campos difusivos La técnica SPAC de Aki (1957) es el antecedente de la recuperación de la función de Green (o respuesta impulsiva) Con iluminación de fondo y equipartición: se demuestra que: Si P y Q coinciden se obtienen interesantes resultados sobre la densidad de energía en un campo difusivo que son útiles para visualizar el medio y establecer las características de su respuesta dinámica.

53 Reflexiones finales La idea del Universo en el siglo XIX era un ejemplo de orden. Laplace postulaba que el futuro era previsible si se conociesen en un momento dado las posiciones y veloci- dades de todas las partículas. Unas pocas leyes permitían explicar el mundo. En el siglo XX Heisenberg alteró el sueño determinista con su principio de incertidumbre. No se conocerían posiciones solamente probabilidades. Poincaré, en una visionaria anticipación de la teoría del caos, demostró que aun las más pequeñas incertidumbres en las condiciones iniciales pueden hacer que los sistemas evolucionen de manera impredecible.

54 Reflexiones finales A partir del artículo seminal de Albert Einstein en 1905 sobre el movimiento browniano se ha establecido que la respuesta determinista de un sistema está relacionada con las fluctuaciones térmicas. Esto se ha generalizado a una gran variedad de problemas. Se ha descubierto recientemente que las fluctuaciones pueden servir para sintetizar ondas deterministas generadas por una fuente puntual. Precisamente la correlación cruzada de las fluctuaciones observadas en el campo acústico entre dos puntos permite establecer el tiempo de viaje de las ondas entre esos puntos. Esto abre las puertas al uso de fuentes virtuales.

55 Reflexiones finales En muchas aplicaciones la extracción de la respuesta de un sistema a partir del ruido es robusta aun cuando las fuentes de ruido son limitadas y con distribución irregular. Tal vez esto se debe a la estabilidad de la propagación de ondas. Nuestra idea del Universo ha pasado de ser determinsta a aceptar el azar, pero no de manera simplista; los campos generados por fuentes aleatorias pueden ser usados para visualizar y monitorear sistemas que incluyen el subsuelo hasta estructuras como edificios, presas y puentes. El azar no está opuesto al determinismo; es ya una nueva via de acceso a la respuesta determinista del mundo físico.

56 ¡ Gracias por su atención !