1 Función de transferencia de procesos muestreados

2 Transformada z El muestreador ideal está definido como un muestreador que abre y cierra de manera instantánea, en tiempo cero cada T segundos. En donde la señal de pulsos unitarios que representa la acción del muestreador es sustituida por un tren de impulsos unitarios que modela mejor el comportamiento del muestreador.

3 Transformada z Dicho tren de impulsos se define comoLa salida del muestreador ideal es comenzando el muestreo en t=0.

4 Transformada z La transformada de Laplace de la señal muestreada esLas gráficas muestran las señales de entrada y salida de un muestreador ideal.

5 Transformada z La transformada de Laplace no es una función de transferencia racional de ‘s’. Cuando aparecen términos de la forma que no son únicamente factores multiplicativos, es probable que surjan dificultades al tratar de determinar la transformada inversa de Laplace. Por lo tanto, es deseable transformar la función irracional F*(s) en una racional F(z).

6 Transformada z Para poder llevar acabo esta representación, se transforma la variable compleja ‘s’ en otra que denominaremos variable compleja ‘z’. Una selección obvia para esta transformación es

7 Transformada z En donde F(z) se conoce como la transformada z de f*(t)

8 Transformada z A continuación se muestra la relación de los planos s y z.

9 Transformada z Todos los puntos que están en el semi-plano izquierdo del plano s corresponden a puntos dentro del circulo unitario del plano z. Todos los puntos en el semi-plano derecho del plano s corresponden a puntos fuera del circulo unitario del plano z. Todos los puntos sobre el eje imaginario del plano s, corresponden a puntos sobre el circulo unitario |z|=1 del plano z.

10 Transformada z Transformada z de una función escalón

11 Transformada z Transformada z de una función exponencial

12 Transformada z Propiedades de la transformada z Linealidad

13 Transformada z Propiedades de la transformada zCorrimiento a la derecha (retraso en el tiempo de n periodos de muestreo) Se observa que la variable (1/z) corresponde a un retraso de un periodo de muestreo en el dominio del tiempo; por lo tanto (1/z) se considera como un operador de retraso en los sistemas de control digital.

14 Transformada z Propiedades de la transformada zCorrimiento a la izquierda (adelanto en el tiempo de n periodos de muestreo)

15 Transformada z Ejemplo: Función escalón atrasada un periodoFunción escalón adelantada un periodo

16 Transformada z Propiedades de la transformada z Traslación compleja

17 Transformada z Ejemplo: Obtener la transformada z deDe las tablas de transformadas se obtiene la transformada z de f(t)

18 Transformada z Usando la propiedad de la traslación compleja

19 Transformada z Propiedades de la transformada z Valor inicialSi la transformada en z de f(t) es F(z) y existe el límite de F(z) cuando z tiende a infinito, entonces

20 Transformada z Propiedades de la transformada z Valor finalSi la transformada en z de f(t) es F(z) y existe el límite de F(kT) cuando k tiende a infinito, entonces

21 Transformada z Ejemplo:Encontrar la transformada z, el valor inicial y el valor final de la siguiente función del tiempo

22 Transformada z Su transformada z:

23 Transformada z Su valor inicial: Su valor final:

24 Transformada z Propiedades de la transformada z Convolución

25 Cálculo algebraico de la transformada zEn el análisis de sistemas lineales es común que la función de transferencia F(s) ya esté dada, y lo que tenga que determinarse sea la transformada z, F(z). Por lo que a continuación se presenta un desarrollo para obtener F(z) directamente de F(s) sin pasar por f(t).

26 Transformada z La transformada z se obtiene de la siguiente ecuaciónPolo simple:

27 Transformada z Polo múltiple:

28 Transformada z Ejemplo: Presenta dos polos simples

29 Transformada z

30 Transformada z Ejemplo: Polo de multiplicidad 2

31 Transformada z inversaTransformada en z inversa Potencias crecientes de División directa Fracciones parciales Método de la formula de inversión

32 Transformada z inversaPotencias crecientes de De la definición de transformada z En general tenemos que

33 Transformada z inversaIgualando términos tenemos:

34 Transformada z inversaIgualando los coeficientes de las potencias crecientes de De los resultados anteriores se deduce que

35 Transformada z inversaEjemplo: aplicando la formula:

36 Transformada z inversaDivisión directa Se realiza directamente la división y se encuentra una serie de potencias de cuyos coeficientes corresponden a f(kT).

37 Transformada z inversaEjemplo:

38 Transformada z inversaFracciones parciales Usualmente se expande F(z)/z Cuando F(z) tiene polos diferentes

39 Transformada z inversaEjemplo:

40 Transformada z inversa

41 Transformada z inversaCuando F(z) tiene polos repetidos

42 Transformada z inversaAislando A3

43 Transformada z inversaAislando A2

44 Transformada z inversaMétodo de la formula de inversión De la teoría de variable compleja: Esta es una integral de contorno sobre una trayectoria cerrada C que encierra el origen y todos los polos de F(z).

45 Transformada z inversadonde pi son los polos de Polo simple Polo múltiple

46 Transformada z inversaEjemplo:

47 Transformada z inversaEjemplo: un polo simple en un polo en Para el polo simple

48 Transformada z inversaPara el polo múltiple

49 Transformada z modificadaLa transformada z modificada Los comportamientos entre los puntos de muestreo pueden ser investigados usando la transformada z modificada. Esta es la transformada z ordinaria, solamente retrasada mT segundos, lo cual es una fracción del periodo de muestreo, ya que 0 < m < 1

50 Transformada z modificadaLa transformada z modificada aplicando la propiedad de corrimiento

51 Transformada z modificadaObtener la transformada z modificada de

52 Transformada z modificadaTransformada z modificada inversa La mayor ventaja de la transformada z modificada es que proporciona información sobre una función del tiempo entre los instantes de muestreo. La transformada inversa de F(z,m) da los valores de f(t) entre los instantes de muestreo para cierto valor de m.

53 Transformada z modificadaLa función F(z,m) se puede desarrollar en una serie de potencias en mediante la división directa Retomando el ejemplo anterior, el desarrollo de F(z,m) es el siguiente El coeficiente del termino en la serie infinita representa el valor de f(t) entre los

54 Transformada z modificadainstantes de muestreo t=(k-1)T y t=kT, donde k=1,2,... y 0

55 Transformada z modificadaEn general, la respuesta entre dos instantes de muestreos consecutivos se obtiene asignando valores a m entre 0 y 1

56 Realizar tareas 1 y 2