1 FUNCIONES 1º BACHILLERATO

2 Dominios: y = cos 2 𝑥 2 −2 D = R-{ - 2 , 2 }y = tag 1 𝑥−2 = 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥−2 𝑐𝑜𝑠 1 𝑥−2 D = (R-{2})∩(R-{2}) – {x∈𝑅/ 𝑐𝑜𝑠 1 𝑥−2 = 0} = R-{2} – {x∈𝑅/ 1 𝑥−2 = 𝜋 2 + k𝜋} = R-{2, 1 𝜋 2 +𝑘𝜋 +2}

3 PROPIEDADES GLOBALES

4 3- Puntos de corte con los ejes de coordenadas: 1- Dominio = 𝑥∈𝑅/𝑓(𝑥)∈𝑅} (i.e. valores de x (de izquierda a derecha) que tienen imagen) 2- Imagen o recorrido = {y ∈𝑅/𝑦=𝑓(𝑥)} (i.e. valores de y (de abajo a arriba) que proceden de alguna x) 3- Puntos de corte con los ejes de coordenadas: Eje x: y = 0 Eje y: x = 0 4- Continuidad: una función es continua si se representa de un solo trazo. En los puntos donde haya que levantar el lápiz del papel se dice que la función es discontinua. Tipos de discontinuidad en x = x0 ∈𝑫 - Evitable: si ∄ f(x0) o lim 𝑥→ 𝑥 0 𝑓(𝑥)≠𝑓( 𝑥 0 ) - De salto finito: si lim 𝑥→ 𝑥 0+ 𝑓(𝑥)≠ lim 𝑥→ 𝑥 0− 𝑓(𝑥) y ambos son números reales - De salto infinito: si alguno de los límites laterales en x es ±∞

5 6- Periodicidad: f(x) es periódica de periodo T (T positivo) si5- Simetría: 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠, 𝑜 𝑝𝑎𝑟, 𝑠𝑖 𝑓 −𝑥 =𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠, 𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑠𝑖 𝑓 −𝑥 =−𝑓(𝑥) ∀𝑥∈𝐷 (i.e.. f(x) es par si al doblar respecto del eje de ordenadas la gráfica coincide y es impar si al doblar respecto de ambos ejes la gráfica coincide 6- Periodicidad: f(x) es periódica de periodo T (T positivo) si f(x+kT) = f(x) ∀𝑥∈𝐷, con k∈𝑍. (i.e.: si la gráfica se repite en intervalos de longitud T) 7- Monotonía: - f(x) es estrictamente creciente en x ϵ (a,b) ∈𝐷 ↔ ∀ x1 y x2 ϵ (a,b) con x1 < x2 → f(x1) < f(x2) - f(x) es estrictamente decreciente en x ϵ (a,b) ∈𝐷 ↔ ∀ x1 y x2 ϵ (a,b) con x1 f(x2)

6 - f(x) tiene un Máximo absoluto en x = x0 ∈𝐷 si 8- Extremos relativos: - f(x) tiene un Máximo relativo en x = x0 ∈𝐷 si ∃ un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x0) sea el mayor valor que alcanza la función. - f(x) tiene un mínimo relativo en x = x0 ∈𝐷 si ∃ un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x0) sea el menor valor que alcanza la función. 9- Extremos absolutos: - f(x) tiene un Máximo absoluto en x = x0 ∈𝐷 si f(x0) es el mayor valor que alcanza la función - f(x) tiene un mínimo absoluto en x = x0 ∈𝐷 si

7 10- Concavidad: 11- Puntos de inflexión:- f(x) es cóncava hacia el eje positivo de las Y en x ϵ (a,b) ∈𝐷 𝑒𝑛 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 ↔ 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑥 𝛜 𝐚,𝐛 𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛. - f(x) es cóncava hacia el eje negativo de las Y en x ϵ (a,b)∈𝐷 𝑒𝑛 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 ↔ 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑥 𝛜 𝐚,𝐛 𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛. 11- Puntos de inflexión: f(x) tiene un punto de inflexión en x = x0 ∈𝐷 si existe un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x) tenga un tipo de concavidad a cada lado de x0.

8 12- Asíntotas: - f(x) tiene una asíntota vertical en x = x0 si al aproximarse x a x0, f(x) se aproxima a ±∞ - fx) tiene una asíntota horizontal en y = y0 si al aproximarse x a +∞ o -∞, f(x) se aproxima a y0 - f(x) tiene una asíntota oblicua en y = mx + n si al aproximarse x a +∞ o -∞, f(x) se aproxima a la recta oblicua

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16 D= (-∞,1)∪ 1,∞ I = R Puntos cortes ejes: (0,0) Continuidad: continua en R-{1}, en x = 1 DSI No simétrica No periódica Monotonía: crece de (-∞,1), decrece de (1,3), crece de (3,∞) Extremos relativos: m.r (3,6.5) Extremos absolutos: no hay Concavidad: hacia abajo (-∞,0), ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 0,1 , ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 1,∞ Puntos de inflexión: (0,0) Asíntotas: - verticales: x = 1 - oblicuas: y = x+2

17 D = R I = [0,2] Cortes ejes: (0,1), (1,0) Continua en R No simétrica No periódica Monotonía: crece (−∞,−1), decrece (-1,1), crece (1,∞) Extremos relativos: M.r. (-1,2), m.r. (1,0) Extremos absolutos: M.a. (-1,2) , m.a. (1,0) Concavidad: hacia arriba de (-∞, −1.5), hacia debajo de (-1.5,0), hacia arriba (0,1.5), hacia abajo (1.5,∞) Puntos inflexión: x = -1.5, x = 0, x = 1.5 Asíntotas: horizontal: y = 1

18 FUNCIONES ELEMENTALES

19 FUNCIONES POLINÓMICAS DE 1º GRADO y = mx + nD = R Representación: recta Basta calcular dos puntos para representarla m = pendiente 𝑚>0, 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚<0, 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚=0, 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 n = lugar donde corta al eje Y

20 Ejemplos: Tienes ejemplos de rectas en los archivos de geoegebraY en la siguiente página Web

21 FUNCIONES POLINÓMICAS DE 2º GRADO – CUADRÁTICAS: y = ax2Representación: parábola Basta calcular el vértice (0,0), el eje de simetría ( x = 0) y un punto para representarla 𝑎>0, 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎<0, 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 cuanto mayor es su valor, más cerrada es la parábola

22 Ejemplos: Tienes ejemplos de y = ax2 en los archivos de geogebraY en la siguiente página Web

23 Traslaciones: y = a(x+𝑘)2 Traslación horizontal𝑘>0, ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑘<0, ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 y = ax2 +𝑐 Traslación vertical 𝑐>0, ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑐<0, ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 y = a(x +𝑘)2 +𝑐 Traslación horizontal y vertical

24 Ejemplos: Tienes ejemplos de parábolas desplazadas en los archivos de geogebra Y en la página:

25 y = ax2 + bx + c Es una parábola elemental trasladadaPara representarla se puede: Poner como: y = a(x +𝑘)2 +𝑐 Ó Calcular el vértice (-b/2a, f(-b/2a)), y sabiendo que el eje de simetría es x = -b/2a, calcular otro punto de la gráfica. Si corta a los ejes de coordenadas, también se pueden calcular estos puntos.

26 Ejemplo: representar y = x2 – 4x + 7ó Vértice (-b/2a = 2, f(2) = 3), eje de simetría x = 2, imagen de otro punto (3, 4)

27 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: y = 𝒌 𝒙D = R – {0} Representación: hipérbola 𝑘>0, 1º 𝑦 3º 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑘<0, 2º 𝑦 4º 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 cuanto mayor es su valor, más cerrada es la hipérbola. Asíntota vertical: x = 0 Asíntota horizontal: y = 0

28 Ejemplos: Tienes ejemplos de hipérbolas en los archivos de geogebraY en la página:

29 Traslaciones: D = R– {x que anulen al denominador}y = 𝑘 𝑥+𝑏 y = 𝑘 𝑥 +𝑐 y = 𝑘 𝑥+𝑏 +𝑐 Al desplazarse una hipérbola, cambian sus asíntotas Desplazamiento vertical: cambio A.H, y = c Desplazamiento horizontal: cambio A.V, x = -b

30 Ejemplos: Tienes ejemplos de hipérbolas desplazadas en los archivos de geogebra Y en la página:

31 y = 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑 también es una hipérbola Pero, estudiaremos las más simples, que son de la forma y = 𝑎𝑥+𝑏 𝑥+𝑐 Ejemplo: y = 𝑥+2 𝑥−3 = 𝑥−3

32 FUNCIÓN RADICAL PAR: y = 𝒙D = R+ Representación: Ejemplos: en los archivos de geogebra y en: (solo traslados horizontales o verticales)

33 FUNCIÓN EXPONENCIAL: y = ax , a>0, ≠𝟏D = R Representación: 0<𝑎<1, 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑎>1, 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 Pasa por el punto (0,1) Asíntota horizontal : y = 0

34 Ejemplos: Traslaciones: se debe observar el cambio de corte con el eje Y y el cambio de asíntota cuando ocurra Tienes ejemplos de traslaciones de la función exponencial en los archivos de geogebra

35 FUNCIÓN LOGARÍTMICA: y = logax, a>𝟎,≠𝟏D = (0,∞) Representación: 0<𝑎<1, 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑎>1, 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 Pasa por el punto (1,0) Asíntota vertical: x = 0

36 Ejemplos: Traslaciones: se debe observar el cambio de corte con el eje X y el cambio de asíntota cuando ocurra - Tienes ejemplos de funciones logarítmicas trasladadas en los archivos de geogebra

37 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASFUNCIÓN SENO: y = sen x Dominio R Periódica de período T = 2𝜋

38 FUNCIÓN COSENO: y = cos xDominio R Periódica de período T = 2𝜋

39 FUNCIÓN TANGENTE: y = tag xDominio R – { 𝜋 2 +k𝜋, k∈𝑅} Periódica de período T = 𝜋 Asíntotas verticales: x = 𝜋 2 +k𝜋, k∈𝑅

40 Traslaciones: No varía el período.En la tangente varían las asíntotas verticales - Tienes ejemplos de traslaciones de funciones trigonométricas en los archivos de geogebra Y en:

41 Deformaciones: En el caso de que y = f(ax) o y = f(x/a), el período varía, quedando dividido o multiplicado por a, respectivamente. En el caso de que y = af(x), no varía el período Tienes ejemplos de funciones trigonométricas deformadas en los archivos de geogebra Y en: