1 FUNCIONES BÁSICAS Tema : Ciclo 2006-02UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADA TÓPICOS DE MATEMÁTICA 1 (E. P. E.) SISTEMAS Ciclo Tema : FUNCIONES BÁSICAS

2 FUNCIÓN Una función es una regla o correspondencia que asigna a cada número de entrada un único número de salida. Al conjunto de número de entrada se llama dominio de f y se denota por Dom(f). Al conjunto de números de salida se llama rango de f y se denota por Ran(f).

3 f(x) = x + 2 Si x= 1 ==> f( 1) = 3 x= -4 ==> f(-4) = -2 EntradaPROCESO Entrada Salida Por ejemplo: f(x) = x + 2 Si x= 1 ==> f( 1) = 3 x= ==> f(-4) = -2

4 Una variable que representa los números de entrada para una función se llama variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente. Ejemplo Variable independiente A(r) =  r2 Variable dependiente

5 Dominio no especificadoConsidere una función: y = f(x) x: se denomina variable independiente (toma cualquier valor del dominio) y: se denomina variable dependiente (porque su valor depende de x) Si Dom(f) no se especifica, entonces, el Dom(f) es el conjunto más grande de valores de x para los que f(x) existe.

6 Ejemplo Determine el dominio de: a) b) c) d)

7 FUNCIONES BASICAS

8 4 3 c 2 1 Función Constante f(x) = c

9 4 3 2 b 1 -1 -2 -3 Función Afín f(x) = ax + b

10 Función Cuadrática 4 3 2 1 f(x) = x2

11 3 2 1 -1 -2 -3 Función Cúbica f(x) = x3

12 Función valor absoluto 4 3 2 1 -1 f(x) = |x|

13 Función raíz cuadrada 4 3 2 1 -1 f(x) = x

14 3 2 1 -1 -2 -3 Función Recíproca f(x) = 1/x

15 ECUACIÓN CUADRÁTICA Si: ax2+bx+c=0 , entonces: Resolver: 5x2-2x-7=0 (x-2)2+(x+1)2=(x+3)2

16 La función exponecial natural y = ex y la función logaritmo natural y = ln x1 y = ex y = ln x x y

17 i) epeq=e p+q ii) iii) (ep)r=eprDefinición: Si x es cualquier número real, entonces ln y = x si y sólo si e x = y Teorema Si p y q son números reales y r es un número racional,entonces i) epeq=e p+q ii) iii) (ep)r=epr

18 ECUACIÓN EXPONENCIAL Resolver: e 3x-1=e2 e3x-1=5 3e 3x-1=2ex+1 e2x+5 = 1

19 ECUACIÓN LOGARITMICA Resolver: Log2(2x-1)=4 Log(3x+5)=-2 Ln(x-2)=5

20 Funciones Seno y Coseno Ecuaciones trigonométricas

21 Introducción Puente Tacoma en el estado de Washington.El puente fue terminado y abierto al público en el año de 1940 y rápidamente se observó que se inducían grandes oscilaciones en la calzada cuando el viento soplaba a través del puente. Se le llamó puente galopante. El 07 de noviembre del mismo año el puente se derrumbó completamente debido a las grandes oscilaciones.

22 Conceptos previos 60° 187 m Determina la altura de la torre Eiffel, si los elementos que se conocen son el ángulo de elevación  y la longitud de la sombra proyectada sobre el piso.

23 Razones trigonométricasConceptos previos Razones trigonométricas sen() = cos() = tan() = Hipotenusa Cateto opuesto Cateto adyacente 

24 Triángulos rectángulos notablesConceptos previos L 45° Triángulos rectángulos notables 45° 30° 60° 2L  30° - 60°

25 Conceptos previos Ejercicio1 Si  es un ángulo agudo y cos() =3/4 , calcular los valores de las seis funciones trigonométricas de . Ejercicio 2 Calcular los valores de las funciones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.

26 Circunferencia unitariaConceptos Circunferencia unitaria La circunferencia unitaria es la circunferencia radio 1 centrado en el origen del plano xy. Su ecuación es: 1

27 Conceptos Definición de función Periódica.Una función f es periódica si existe un número T real positivo, tal que f(x+T)=f(x), para todo x del dominio de f. El mínimo número real positivo T, si existe se llama periodo de f.

28 La gráfica de la función y = sen(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 21

29 La gráfica de la función y = cos(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 21

30 ¿Qué relación podemos observar entre las gráficas de la función sen(x) y cos(x)?Podemos observar que la gráfica de la función sen(x) tiene un desfase de , con respecto a la gráfica de la función cos(x), es decir:

31 ¿Cómo varía la gráfica de la función sen(x), al cambiar los valores de los parámetros A , , ?Donde: |A| = Amplitud T = Periodo = f = Frecuencia = = Desfasamiento

32 ¿Cuál es el cambio que sufre la gráfica de la función y = sen(x), al variar parámetros tales como A, >0, ?

33 A = 1

34 A = 1.2

35 A = 1.8

36 A = 2

37 A = 1.8

38 A = 1

39 A = 0.8

40 A = 0.4

41 A = 0.6

42 A = 1

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53 1. A partir de la grafica de la función trigonométrica, trace la grafica de la función, sin localizar puntos.

54 2. Determine la amplitud y el período de la función f(x) = 2sen(x/2).3. Determine la amplitud, el período y trazar la gráfica de f(x) = 2sen(-3x).

55 Ecuaciones trigonométricas:Son aquella que contiene expresiones de trigonometría. Solución: Son los valores que puede tomar x para la cual la ecuación se convierte en una identidad. Nota: tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.

56 4. Determine las soluciones de la ecuación sen(x)=1/24. Determine las soluciones de la ecuación sen(x)=1/2. En el intervalo [0, 2pi). 5. Determine las soluciones de cos(2x)=0 6. Resolver la ecuación sen(t)*tan(t)=sen(t)

57 Combinación de una suma en la cual intervienen las funciones sen(x) y cos(x).Sean a y b números reales y a>o. Entonces la función f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx), se puede escribir en términos del coseno de x, como sigue f(x) = A.cos(Bx-C) Donde

58 7. Si f(x) = sen(x) + cos(x), utilizar la formula f(x) = A7. Si f(x) = sen(x) + cos(x), utilizar la formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación trazar la gráfica de f. 8. Si , utilizar la formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación trazar la gráfica de f. 9. Si , utilizar la formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación trazar la gráfica de f.