1 FUNCIONES CIRCULARES

2 Introducción VIERNES 01-06-2007Muchos fenómenos se pueden modelar como una función periódica. Algunos ejemplos de ellos son: VIERNES

3 Introducción Electrocardiogramas: VIERNES

4 Introducción Movimientos pendulares VIERNES

5 Introducción Temperaturas diarias: VIERNES

6 Como medir un ángulo VIERNES 01-06-2007Los angulos pueden ser medidos en radianes, grados sexagesimales, grados centesimales, etc. Para nuestros cálculos mediremos los ángulos en radianes, grados sexagesimales (De aquí en adelante lo llamaremos simplemente grados). VIERNES

7 Como medir un ángulo En grados: VIERNES

8 Como medir un ángulo En radianes: VIERNES

9 Como medir un ángulo 45º p/4 GRADOS RADIANES VIERNES 01-06-2007Equivalencia de ángulos: 45º p/4 GRADOS RADIANES VIERNES

10 Como medir un ángulo a q GRADOS RADIANES VIERNES 01-06-2007Relación entre los sistemas de medición: a q GRADOS RADIANES VIERNES

11 Como medir un ángulo a q 360 2p VIERNES 01-06-2007Relación entre los sistemas de medición: a q 360 2p VIERNES

12 Como medir un ángulo 45º p/4 GRADOS RADIANES VIERNES 01-06-2007Ejemplo: 45º p/4 GRADOS RADIANES VIERNES

13 Como medir un ángulo 45º 45 q 360 2p GRADOS VIERNES 01-06-2007Ejemplo: 45º 45 q 360 2p GRADOS VIERNES

14 Como medir un ángulo (2p) (45) (90p) q (360) (360) p q 4Ejemplo (2p) (45) (90p) q (360) (360) p q 4 VIERNES

15 Ejercicios Encuentre el valor del ángulo 60º en radianes. Encuentre el valor del ángulo 120º en radianes. Encuentre el valor del ángulo 4p/3 en grados. Encuentre el valor del ángulo p/6 en grados. VIERNES

16 Sistema coordenado rectangularUn sistema coordenado bidimensional es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en un plano. VIERNES

17 Sistema coordenado rectangularEste sistema, también llamado cartesiano, está formado por dos rectas perpendiculares entre sí. Las rectas son llamadas ejes de coordenadas. La intersección entre las rectas es un conjunto cuyo único elemento es un punto llamado origen del sistema cartesiano. VIERNES

18 Sistema coordenado rectangularORIGEN R E C T A 1 VIERNES

19 Sistema coordenado rectangularLa RECTA 1 recibe el nombre de EJE X La RECTA 2 recibe el nombre de EJE Y. Eje y Eje x VIERNES

20 Sistema coordenado rectangularABSCISAS: ubicadas a la derecha y a la izquierda del eje Y, respecto del origen, y son positivas y negativas, respectivamente. ORDENADAS: ubicadas arriba y abajo del eje X, respecto del origen, y son positivas y negativas, respectivamente. VIERNES

21 Sistema coordenado rectangularLos ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) Eje x TERCER CUADRANTE (III) CUARTO CUADRANTE (IV) VIERNES

22 Angulo en posición normalDiremos que un ángulo esta en POSICION NORMAL si su vértice coincide con el origen de un sistema coordenado rectangular (Vértice del ángulo) y uno de sus lados esta sobre el lado positivo del eje x (Lado inicial del ángulo). El otro lado del ángulo lo denominaremos Lado terminal del ángulo. VIERNES

23 Angulo en posición normalEje x Eje y a LADO TERMINAL VERTICE LADO INICIAL VIERNES

24 Angulo en posición normalEje x Eje y a VERTICE LADO INICIAL LADO TERMINAL VIERNES

25 Angulo en posición normalEl lado terminal nos indicara el cuadrante al cual pertenece el ángulo. Eje x Eje y En este ejemplo el ángulo pertenece al primer cuadrante. LADO TERMINAL a VIERNES

26 Angulo en posición normalEl lado terminal nos indicara el cuadrante al cual pertenece el ángulo. Eje x Eje y En este ejemplo el ángulo pertenece al tercer cuadrante. a LADO TERMINAL VIERNES

27 Generación de angulos P a VIERNES 01-06-2007Dado un punto P en el plano, podemos generar un ángulo en posición normal. Eje x Eje y P En este ejemplo el ángulo pertenece al segundo cuadrante. a VIERNES

28 Generación de ángulos a P VIERNES 01-06-2007Dado un punto P en el plano, podemos definir un ángulo en posición normal. Eje y En este ejemplo el ángulo pertenece al cuarto cuadrante. a Eje x P VIERNES

29 Generación de triángulosDado un punto P en el plano, podemos generar un triángulo rectángulo. Eje x Eje y En este ejemplo el triángulo pertenece al primer cuadrante. P a VIERNES

30 Generación de triángulosDado un punto P en el plano, podemos generar un triángulo rectángulo. Eje x Eje y P En este ejemplo el triángulo pertenece al segundo cuadrante. a VIERNES

31 Circunferencia unitaria¿Se acuerdan de la ecuación de la circunferencia? Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii !!! VIERNES

32 Circunferencia unitariaSi la circunferencia tiene centro ( h , k ), y radio r , la ecuación es VIERNES

33 Circunferencia unitariaSi la circunferencia tiene centro (0,0), y radio 1, la ecuación es VIERNES

34 Circunferencia unitariaEje y 1 Eje x VIERNES

35 Ejercicios Convierta a radianes los siguientes ángulos: 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º LUNES

36 Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007 Partes del DABC A C B HIPOTENUSACATETO CATETO LUNES

37 Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007Notar que el ángulo a esta formado por un cateto y la hipotenusa A HIPOTENUSA CATETO C B LUNES

38 Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007Nota que el ángulo b esta formado por un cateto y la hipotenusa A HIPOTENUSA C B CATETO LUNES

39 Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007Notar que el ángulo recto esta formado “SOLO” por catetos. A CATETO C B CATETO LUNES

40 Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007Cateto adyacente y cateto opuesto A ANALICEMOS a HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE CATETO C B CATETO OPUESTO LUNES

41 Triángulo Rectángulo LUNES 04-06-2007Cateto adyacente y cateto opuesto A ANALICEMOS b HIPOTENUSA CATETO OPUESTO C B CATETO ADYACENTE CATETO LUNES

42 Definiciones TrigonométricasEn el DABC rectángulo, definimos: LUNES

43 Definiciones TrigonométricasEn el DABC rectángulo, definimos: LUNES

44 Ejemplo Encuentre el seno y coseno de a, según el DABC rectángulo: C B A 5 3 4 LUNES

45 Ejemplo LUNES 04-06-2007 Por definición tenemos:El largo del cateto opuesto a a es 4 y el largo de la hipotenusa es 5. LUNES

46 Ejemplo Finalmente: LUNES

47 Ejemplo LUNES 04-06-2007 Análogamente, por definición tenemos:El largo del cateto adyacente a a es 3 y el largo de la hipotenusa es 5. LUNES

48 Ejemplo Finalmente: LUNES

49 Definiciones TrigonométricasEn el DABC rectángulo, definimos: LUNES

50 Definiciones TrigonométricasEn el DABC rectángulo, definimos: LUNES

51 Ejercicio Encuentre las seis definiciones trigonométricas para a y b en el DABC definido de la siguiente manera: A C B 3 4 5 LUNES

52 Relación de Thales LUNES E D B C A D ABC 4 5 6 3

53 Relación de Thales D ABC B C A 10 8 6 LUNES

54 Relación de Thales Analicemos el 10 8 6 D ABC B C A LUNES

55 Relación de Thales LUNES E D B C A 4 5 3

56 Relación de Thales Analicemos el 4 5 3 E D B LUNES

57 Ejercicio Realizar el análisis del para los triángulos definidos anteriormente. E D B C A LUNES

58 Ejercicio MIERCOLES 06-06-2007Encuentre las seis definiciones trigonométricas para a y b en el DABC definido de la siguiente manera: A C B 6 5 61 MIERCOLES

59 Trigonometría en el planoLa trigonometría, definida en el plano, sufre algunas variaciones en las definiciones, particularmente en los signos. Todos las definiciones estarán basadas en las relaciones trigonométricas expuestas en clases anteriores. Solo trabajaremos con triángulos rectángulos definidos de la siguiente manera: MIERCOLES

60 Trigonometría en el planoPRIMER CUADRANTE a MIERCOLES

61 Trigonometría en el planoSEGUNDO CUADRANTE a MIERCOLES

62 Trigonometría en el planoTERCER CUADRANTE MIERCOLES

63 Trigonometría en el planoCUARTO CUADRANTE MIERCOLES

64 Trigonometría en el planoLa trigonometría, definida en el plano, sufre algunas variaciones en las definiciones, particularmente en los signos. MIERCOLES

65 Trigonometría en el planoCambios en el seno Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES

66 Trigonometría en el planoCambios en el coseno Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES

67 Ejercicio MIERCOLES 06-06-2007Defina los cambios de signos para las definiciones trigonométricas restantes, en cada cuadrante. Complete la tabla. sen cos tg ctg sec csc I + II - III IV MIERCOLES

68 Trigonometría en el planoCambios en la tangente Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES

69 Trigonometría en el planoCambios en la cotangente Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES

70 Trigonometría en el planoCambios en la secante Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES

71 Trigonometría en el planoCambios en la cosecante Eje y SEGUNDO CUADRANTE (II) PRIMER CUADRANTE (I) a a Eje x TERCER CUADRANTE (III) a CUARTO CUADRANTE (IV) a MIERCOLES

72 Trigonometría en el planoFinalmente, la tabla queda de la siguiente manera. sen cos tg ctg sec csc I + II - III IV MIERCOLES

73 Trigonometría en el planosen cos tg ctg sec csc I + II - III IV MIERCOLES

74 Trigonometría en el planoTODAS SIN TACOS TERCER CUADRANTE (III) CUARTO (IV) SEGUNDO (II) PRIMER (I) SIN TODAS TA COS MIERCOLES

75 Ejercicio a MIERCOLES 06-06-2007Encuentre todas las definiciones trigonométricas para el ángulo a. a - 3 2 (0,0) MIERCOLES

76 Trigonometría en el planoDado el punto en el plano, P=(a,b), podemos generar un ángulo en estado normal (a) y un triangulo rectángulo. Luego, podemos encon-trar todas las definiciones trigonométricas para a. P b a a MIERCOLES

77 Trigonometría en el planoEncuentre todas las definiciones trigonomé-tricas para el ángulo a, si P=(6,3). P 3 a 6 MIERCOLES

78 Trigonometría en el plano¿Que sucede si el punto está en el segundo cuadrante? MIERCOLES

79 Trigonometría en el planoq a (0,0) MIERCOLES

80 Trigonometría en el planoEncuentre todas las definiciones trigonomé-tricas para el ángulo a, si P=(-3,2). P 2 a (0,0) - 3 MIERCOLES

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