1 FUNCIONES ELEMENTALESTema 9 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

2 Matemáticas Aplicadas CS ISIMETRÍAS Tema * 1º BCS @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

3 Matemáticas Aplicadas CS ISIMETRÍAS SIMETRÍAS Sea la función y = f(x). Si se cumple que f(x) = f(-x)  Hay SIMETRÍA PAR Significa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas , eje Y. O sea que el eje de las y es eje de simetría de la función. Si se cumple que f(x) = - f(-x)  Hay SIMETRÍA IMPAR Significa que la función es simétrica respecto al origen de coordenadas O(0,0). O sea que lo dibujado en el primer cuadrante es idéntico a lo del tercer cuadrante. (Es la simetría respecto a un punto que se vió en 3º ESO) @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

4 Matemáticas Aplicadas CS IEjemplo 1 SIMETRÍA PAR f(x) = x2 f(x) = x2. Veamos si se cumple que; f(x) = f(-x) f(x) = x2 f(-x) = (-x)2 = x2  Hay SIMETRÍA PAR Lo mismo sucedería con: f(x) = x2 – 3 f(x) = x2 + 5 Pero no con: f(x) = x2 – 3.x f(x) = 2.x – 5 TABLA x y 1 4 y @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

5 Matemáticas Aplicadas CS IEjemplo 2 f(x) = x3. Veamos si se cumple que; f(x) = - f(-x) f(x) = x3 f(-x) = (-x)3 = - x3 - f(-x) = - (- x3 )= x3  Hay SIMETRÍA IMPAR Lo mismo sucedería con: f(x) = x3 – 3.x f(x) = x3 + 5.x Pero no con: f(x) = x3 + 2.x2 f(x) = x3 – 5 SIMETRÍA IMPAR f(x) = x3 TABLA x y 1 8 O @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

6 Matemáticas Aplicadas CS IEjemplo 3 f(x) = x4 – x2 Veamos si se cumple que; f(x) = f(-x) f(-x) = (-x)4 – (-x)2 f(-x) = x4 – x2  Hay SIMETRÍA PAR Lo mismo sucedería con: f(x) = x4 + 3 x2 f(x) = 2x6 + 5x2 – 3 Pero no con: f(x) = x4 – 3.x f(x) = 4x3 – 5x2 + 4 SIMETRÍA PAR f(x) = x4 – x2 TABLA x y -0,5 -0,19 0,5 -0,19 12 y @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

7 Matemáticas Aplicadas CS IEjemplo 4 f(x) = 4 / x Veamos si se cumple que; f(x) = - f(-x) f(-x) = 4 / (- x) = - 4 / x - f(-x) = - (- 4 / x)= 4 / x  Hay SIMETRÍA IMPAR Lo mismo sucedería con: f(x) = – 6 / x f(x) = 12 / x Pero no con: f(x) = 4 ( x + 2) f(x) = – 6 / (x – 3) SIMETRÍA IMPAR 4 f(x) = ----- x TABLA x y 4 2 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

8 Matemáticas Aplicadas CS IEjemplo 5: Sea f(x) = - x3 + 4x Tabla de valores x y -3 27 – 12 = 15 -2 8 – 8 = 0 -1 1 – 4 = – 3 0 – = 0 1 – = 3 2 – = 0 3 – = – 15 Vemos que presenta una simetría impar: f(x) = – f(– x) – x x = – [– (– x) (– x)] – x x = – [– (– x3) – 4.x)] – x x = – [x3 – 4.x)] x @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

9 Matemáticas Aplicadas CS IEjemplo 6 Sea f(x) = x /(x2 + 1) Dom f(x) = R Tabla de valores x y=f(x) -3 -0,30 -2 -0,40 -1 -0,50 0 0 1 0,50 2 0,40 3 0,30 Vemos que es función impar: f(x) = - f(-x) x /(x2 + 1) = - [(-x) /((-x)2 + 1)] x /(x2 + 1) = - [- x /(x2 + 1)] y , , x @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

10 Matemáticas Aplicadas CS IEjemplo Ejemplo 8 SIMETRÍA CON EJE X SIMETRÍA CON EJE X x = y NO ES UNA FUNCIÓN NO ES UNA FUNCIÓN y y x x @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

11 FUNCIONES LINEALES Y FUNCIONES AFINESTema * 1º BCS @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

12 Matemáticas Aplicadas CS IFUNCIONES LINEALES Sea la ecuación y = x , y = 2.x , y = 3.x , y = x / 2, y = x/3 , etc... Todas las ecuaciones anteriores tienen la forma: y = m.x donde m es un número real y se llama pendiente. Todas las funciones que se pueden expresar de la forma f(x) = m.x Reciben el nombre de FUNCIONES LINEALES, porque su gráfica es una línea recta. Se llaman también de primer grado porque su polinomio característico es de primer grado. y=f(x) f (b) f (a) α a b x El ángulo α es la inclinación de la recta. La pendiente es m = tg α @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

13 Matemáticas Aplicadas CS IPENDIENTE y=f(x) Sabemos que la pendiente de una recta es: m= tag α Siendo α el ángulo que forma con el eje de abscisas. Si conocemos dos puntos por donde pasa la recta: tag α = (y2 - y1)/(x2 - x1) O sea: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) También es la Tasa de Variación Media entre P y Q. (Tema 10) Q(x2,y2) y2 y2,- y1 P(x1,y1) y1 α x2,- x1 x x x @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

14 Matemáticas Aplicadas CS IFUNCIONES AFINES Sean las ecuaciones: y = 2x , y = 2x + 3 , y = 2x - 4 Todas las ecuaciones anteriores tienen la forma: y = m.x + n donde m, la pendiente, es la misma. Representadas gráficamente vemos que nos dan rectas PARALELAS. La diferencia entre ellas es el valor de n, llamada ORDENADA EN EL ORIGEN, por ser el valor que toma y cuando x=0 f (0) = n Todas las funciones que se pueden expresar de la forma: f (x) = m.x + n Reciben el nombre de FUNCIONES AFINES y=f(x) α f (a) α a x α m = tg α = f(a) / a @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

15 PASO DE TABLA A EXPRESIÓNEjemplo 1 Una función lineal viene dada, entre otros, por dos puntos: P1=(4, 3), P2=(5, -7) Obtener su expresión algébrica. Resolución: m= (– 7 – 3)/( 5 – 4) = –10 y=mx+n  3 = – n  n = 43 Luego: f(x) = -10.x + 43 Otra resolución: Por la ecuación punto-pendiente: (y – y1)=m.(x – x1) y – 3 = – 10.(x – 4) y = – 10.x Tabla de valores x y 4 3 Expresión f (x) = -10.x + 43 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

16 Matemáticas Aplicadas CS IEjemplo 2 Una función lineal viene dada, entre otros, por dos puntos: P1=(7, 3), P2=(4, -2) Obtener su expresión algébrica. Resolución: Por la ecuación punto-pendiente: m= (– 2 – 3)/( 4 – 7) = 5/3 (y – y1)=m.(x – x1)  y – 3 = 5/3.(x – 7) y = 5/3.x – 35/  Luego: f(x) = (5/3).x – (26/3) Ejemplo 3 P1=(0, 3), P2=(4, 0) m= (0 – 3)/( 4 – 0) = – ¾ = – 0,75 y – y1 = m.(x – x1)  y – 3 = – 0,75.(x – 0)  y = – 0,75.x + 3 Luego: f(x) = – 0,75.x + 3 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

17 Matemáticas Aplicadas CS ICASUÍSTICA Todas las funciones que se pueden expresar como y = mx + n son líneas rectas. Veamos algunas particularidades: Si m= 0 y = n  Función constante. Recta paralela al eje de abscisas. Si n=0 y m = 1 y = x  Bisectriz del primer cuadrante. Si n=0 y m = -1 y = - x  Bisectriz del segundo cuadrante. Si es de la forma x = k Recta paralela al eje de ordenadas. x = k NO es una función. y=f(x) y = 5 y = - x y = x x x = 4 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I