1 FUNCIONES Facultad de Ingeniería Civil y ArquitecturaDocente: Mg. Orlando Morales Rodríguez
2 TEMARIO Concepto de función Análisis de funciones I II III IVReconocimiento de funciones -En diagrama Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 -En tabla de valores Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 -En gráfico cartesiano Ejemplos 1 – 2 – 3 Clasificación de funciones -función sobreyectiva o subyectiva -función inyectiva -función biyectiva Elementos característicos de una función
3 FUNCIÓN Una relación definida entre dos conjuntos es función si y sólo si a cada elemento del conjunto de partida le hace corresponder uno y sólo uno del conjunto de llegada. Conjunto de partida: Dominio Conjunto de llegada: Codominio ANTERIOR
4 Cada elemento del dominio debe tener imagen.Las condiciones que debe reunir una relación para ser función, pueden resumirse en estas dos: EXISTENCIA Cada elemento del dominio debe tener imagen. UNICIDAD La imagen de cada elemento del dominio debe ser única.
5 El DOMINIO o conjunto de partida son los valores que toma la variable independiente (x).El Codominio son los valores que puede tomar la variable dependiente (y). La IMAGEN es el subconjunto del CODOMINIO que se relaciona con el DOMINIO. Puede coincidir con este. Dominio (x) Dominio (x) Dominio (x) Dominio (x) Codominio (y) Codominio (y) 1 2 3 4 5 7 A B C D E Imagen Imagen
6 f función f m a. n b. p c. q A= Dom f A B uno y sólo uno de B.Esta relación es función porque cada elemento de A está relacionado con uno y sólo uno de B. Al correspondiente de un elemento del dominio se lo llama imagen de ese elemento.
7 Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R1= {(x,y) / (x,y) Є AxB ^ y = x+1} I R1 = {(0,1),(1,2),(2,3)} Para cada elemento x Є A, excepto 3, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R1 Para el elemento 3ЄA, no existe imagen Є B tal que el par (3,y) Є R1 A 0. B 1. -1 3. Por lo tanto podemos afirmar que NO ES FUNCIÓN, ya que no cumple con la condición de existencia. 2 1 3 2
8 y las siguientes relaciones definidas de A en BSean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R2= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y2 = x2} II R2 = {(0,0)(1,1)(1,-1)(2,2)(3,3)} Para cada elemento x Є A, excepto 1, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R2 Para el elemento 1 Є A, existen dos elementos 1 y -1 Є B tal (1,1) Є R2 y (1,-1) Є R2. A B 0. 1. 2. 3. 1 -1 2 3 Por lo tanto se puede afirmar que la relación NO ES FUNCIÓN, ya que no cumple la condición de unicidad para un elemento del dominio.
9 Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R3= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = x} III R3 = {(0,0) (1,1) (2,2) (3,3)} Para todo elemento x Є A, en este caso sin excepción, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R3. A B 0. 1. 2. 3. 1 2 3 Por lo que puede asegurarse que la relación cumple con las condiciones de FUNCIÓN. -1
10 Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R4= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = 3} IV R4 = {(0,3) (1,3) (2,3) (3,30)} Para todo elemento x Є A, sin excepción también, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y) Є R4. A B 0. 1. 2. 3. 1 -1 2 Podemos afirmar que es FUNCION, ya que cumple con las condiciones de unicidad y existencia. 3
11 a 1 2 3 b SI NO Reconocimiento de funciones 1 En diagrama Es función?ANTERIOR SI NO CONTINUAR
12 CORRECTO La relación del diagrama 1 es funciónporque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR
13 INCORRECTO La relación del diagrama 1 es función ANTERIOR
14 a 1 b 2 c SI NO Reconocimiento de funciones 2 En diagrama Es función?CONTINUAR ANTERIOR SI NO
15 INCORRECTO La relación del diagrama 2 no es funciónporque a un elemento de C le corresponden dos elementos de D. ANTERIOR
16 CORRECTO La relación del diagrama 2 no es funciónporque a un elemento de C le corresponden dos elementos de D. ANTERIOR
17 1 a 2 b 3 SI NO Reconocimiento de funciones 3 En diagrama Es función?CONTINUAR ANTERIOR SI NO
18 INCORRECTO La relación del diagrama 3 no es funciónporque un elemento de E no tiene correspondiente en F. ANTERIOR
19 CORRECTO La relación del diagrama 3 no es funciónporque un elemento de E no tiene correspondiente en F. ANTERIOR
20 1 a b c d 2 3 SI NO Reconocimiento de funciones 4 En diagramaH 1 a b c d 2 3 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO
21 CORRECTO La relación del diagrama 4 es funciónporque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR
22 INCORRECTO La relación del diagrama 4 es funciónporque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR
23 1 2 3 a b SI NO Reconocimiento de funciones 5 En diagrama Es función?J 1 2 3 a b Es función? ANTERIOR SI NO CONTINUAR
24 CORRECTO La relación del diagrama 5 es funciónporque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR
25 INCORRECTO La relación del diagrama 5 es funciónporque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR
26 1 2 3 4 a b c d SI NO Reconocimiento de funciones 6 En diagramaK L 1 2 3 4 a b c d Es función? ANTERIOR SI NO CONTINUAR
27 CORRECTO La relación del diagrama 6 es funciónporque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR
28 INCORRECTO La relación del diagrama 6 es funciónporque cumple con las condiciones de existencia y unicidad. ANTERIOR
29 SI NO En tabla de valores 1 Es función? x y -3 -6 4 8 4 ANTERIOREs función? 4 ANTERIOR CONTINUAR SI NO
30 INCORRECTO La relación 1 no es función porque 4 tiene dos imágenes.ANTERIOR
31 CORRECTO La relación 1 no es función porque 4está relacionado dos veces. ANTERIOR
32 SI NO En tabla de valores 2 Es función? x y -3 8 4 8 8 ANTERIOR8 Es función? ANTERIOR SI NO CONTINUAR
33 CORRECTO La relación 2 es función. ANTERIOR
34 INCORRECTO La relación 2 es función. ANTERIOR
35 SI NO En tabla de valores 3 Es función? x y -3 6 4 8 ANTERIOR8 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO
36 CORRECTO La relación 3 es función. ANTERIOR
37 INCORRECTO La relación 3 es función. ANTERIOR
38 En tabla de valores 4 x y -3 4 -6 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO
39 INCORRECTO La relación 4 no es función porque 0 no tiene imagen.ANTERIOR
40 CORRECTO La relación 4 no es función porque 0 no tiene imagen.ANTERIOR
41 SI NO En gráfico cartesiano 1 O Es función? y p n m a b c x ANTERIORCONTINUAR SI NO
42 CORRECTO La relación del gráfico 1 es función. ANTERIOR
43 INCORRECTO La relación del gráfico 1 es función. ANTERIOR
44 SI NO En gráfico cartesiano 2 O Es función? y p n m a b c x ANTERIORCONTINUAR SI NO
45 INCORRECTO La relación del gráfico 2 no es funciónporque c no tiene imagen. (No cumple la condición de existencia.) ANTERIOR
46 CORRECTO La relación del gráfico 2 no es funciónporque c no tiene imagen. ANTERIOR
47 SI NO En gráfico cartesiano 3 O Es función? y p n m a b c x ANTERIORCONTINUAR
48 CORRECTO La relación del gráfico 3 es función. ANTERIOR
49 INCORRECTO La relación del gráfico 3 es función. ANTERIOR
50 Clasificación de las funcionesFunción sobreyectiva o suryectiva Una función f de A en B se sobreyectiva, si y sólo si para todo y perteneciente a B existe un elemento x perteneciente a A, tal que f(x) = y. Ejemplo: Dados: A = {-1,0,1,2,} ; B = {0,1,4,} y f : A → B / f(x) = x2 tenemos: A B f 0. -1. 1. 2. 1 4 ANTERIOR CONTINUAR Observamos que el conjunto imagen coincide con B, es decir, todos los elementos de B reciben por lo menos una flecha.
51 Como puede verse la imagen es el conjunto R, por lo tanto Codom=ImgEn otras palabras para que una función sea sobreyectiva, el codominio y la imagen deben coincidir. Recordemos que el codominio son todos los R, excepto que se nos comunique lo contrario. R R y Dominio Codominio x Como puede verse la imagen es el conjunto R, por lo tanto Codom=Img ES SOBREYECTIVA
52 Función inyectiva Una función f de A en B es inyectiva, si y sólo si, cualesquiera que sean x1 y x2 Є A, si x1 ≠ x2 entonces f(x1) ≠ f(x2). Ejemplo: Dados: A = {0,1,2,3}, B = {1,3,5,7,9,} y f : A → B / f(x) = 2x tenemos: A f B 1. 3. 5. 7. 9. 0. 1. 2. 3. ANTERIOR Para que una función sea inyectiva, cada elemento del codominio debe ser imagen de a lo sumo un elemento del dominio
53 Una función f de A en B es biyectiva, si y sólo si, f es sobreyectivaFunción biyectiva Una función f de A en B es biyectiva, si y sólo si, f es sobreyectiva e inyectiva. Ejemplo: Dados: A = {0,1,2,3} , B = {1,2,3,4} y f : A → B / f(x) = x tenemos: A B 0. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. ANTERIOR Observamos que en este caso la relación es uno a uno.
54 Para determinar si la gráfica como la que vemos aquí corresponde o no a una función, podemos ayudarnos con el trazado de líneas auxiliares verticales, y analizar si alguna de ellas corta a la grafica en mas de una oportunidad. Y X Todas las rectas verticales cortan a la grafica en solo una oportunidad cada una, por lo que podemos asegurar que cumple la condición de existencia y unicidad, por lo tanto es FUNCION.
55 Veamos ahora esta gráfica, tracemos como antes rectas verticales para ver si cumple con las condiciones: y x Como se puede ver, algunas rectas verticales cortan a la gráfica en mas de una oportunidad, con lo que no se cumple la condición de existencia
56 Veamos ahora esta gráfica, el dominio esta definido comoObservar que el grafico termina en 5 y NO continua mas allá de ese valor. y x 5 Al trazar las rectas auxiliares verticales, podemos ver que hay algunas que no cortan a la grafica, por lo tanto en esos valores del dominio, no hay imagen, lo que nos permite afirmar que NO ES FUNCION, ya que no cumple la condición de existencia
57 Si al grafico anterior le modificamos el dominio, tal que DOM: ,y trazamos ahora rectas verticales,(recordar que solo debo estudiar las condiciones en el dominio, y por lo tanto trazar rectas verticales solo en el intervalo ) y x 5 Veremos que TODAS las rectas cortan a la gráfica SOLO en un punto, por lo tanto, podemos afirmar que este gráfico corresponde a una función.
58 Elementos característicos de una gráficaVeremos ahora como reconocer algunas características de las graficas: Dominio: recorrido de la función sobre el eje x Imagen: recorrido de la función sobre el eje y Puntos máximos: son aquellos donde alcanza su mayor valor, pueden ser relativos o absolutos Puntos mínimos: son aquellos donde alcanza su menor valor, pueden ser relativos o absolutos Raíces o ceros: son los valores donde la función corta al eje x Intervalos de positividad: son los valores de x donde la función toma valores positivos Intervalos de negatividad: son los valores de x donde la función toma valores negativos
59 Intersección con el eje y: (0;3)Dom: [-8;5] Y Img: [-5;6] Punto mínimo relativo (3;-4) 6 Pto. Mínimo absoluto: (-4;-5) Ptos. Máximos relativos (1;4),(-8;1) 4 Pto. Máximo absoluto: (5;6) Raíces:{-6;-2;2;4} Intersección con el eje y: (0;3) 1 3 -4 -8 -6 -2 1 2 4 5 X -4 -5 Intervalos de negatividad: (-6;-2)U(2;4) Intervalos de positividad:[-8;-6)U(-2;2)U(4;5]