1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

2 CONTENIDO Funciones trigonométricas de números realesArcos de referencia sobre el circulo unitario. Función sen(). Análisis de la función sen(). Función cos(). Análisis de la función cos(). Representación grafica de la función tan(). Análisis de la función tan(). Transformaciones de las funciones trigonométricas.

3 Las razones trigonométricas sobre triángulos rectángulos son:Funciones trigonométricas de números reales Una función es una regla que asigna a cada número real otro número real. Las razones trigonométricas sobre triángulos rectángulos son: co θ ca h sen θ= csc θ= cos θ= sec θ= tan θ= cot θ=

4 s longitud del arco del círculo en radianesFunciones trigonométricas de números reales Para una longitud de arco s en radianes sobre el círculo unitario con punto inicial (1,0) y punto final P(x,y), se define: P(x,y) x = cos s s y 1 y = sen s s longitud del arco del círculo en radianes x Trabajaremos inicialmente sobre longitudes de arcos subtendidos por ángulos de 0°, 30°, 45°, 60° 90°, 180°.

5 ARCOS DE REFERENCIA SOBRE EL CÍRCULO UNITARIOEn el primer cuadrante del círculo, están los arcos de referencia para 0, /6 , /4 ,/3 y /2,con sus posiciones (x,y) sobre el círculo así: (0,1) /2 1 /3, /4, /6 (1,0) 0 1 x

6 A partir de la asociación de ángulos de referencia con las coordenadas sobre la circunferencia de radio uno podemos asignar nombres especiales a cada una de las coordenadas del punto dado. Así, para cada uno de estos ángulos () que tiene asociado el punto con coordenadas ( x, y ) definimos las siguientes relaciones: seno de  , que se representa por sen () coseno de  que se representa por cos () tangente de  que se representa por tan () siempre que x  0 Así mismo, teniendo en cuenta que la circunferencia es de radio uno y que la ecuación asociada a ella está dada por podemos afirmar que

7 sen() = cos() = tan() = Ejemplo Si  =7/4 Los valores de las relaciones trigonométricas serán: sen() = cos() = tan() = 7/4

8 Función f() = sen() Por definición y=sen(),/2 /3, 1 /4 Por definición y=sen(), siendo y la ordenada del punto terminal de los arcos en el plano cartesiano. /6 1

9 Representación gráfica de la función f ()=sen()π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π sen() 1

10 Representación gráfica de la función f ()=sen()-π/6 -π/4 -π/3 -π/2 -2π/3 -3π/4 -5π/6 -π sen() – 1

11 Análisis de la función f () = sen()Dominio: Rango o recorrido: Cortes con los ejes Valores máximo y valor mínimo Intervalos en los que crece la función: Intervalos en los que decrece la función: Tipo de paridad: es una función impar R

12 Período de la función f() = sen()Menor longitud del intervalo en el cual la función repite su comportamiento. Para f() = sen(), P=2

13 Amplitud de la función f()=sen()valor máximo valor mínimo AMPLITUD La mitad de la distancia entre el valor máximo y el mínimo Para f() = sen(), A=1

14 Función f()=cos() Recordemos que, por definición:(0,1)/2 Recordemos que, por definición: x= cos(), siendo x la abscisa del punto terminal de los arcos en el plano cartesiano. 1 /3, /4 /6 (1,0) 0

15 Representación gráfica de la función f ()=cos()π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π cos() 1 -1

16 Representación gráfica de la función f ()=cos()-π/6 -π/4 -π/3 -π/2 -2π/3 -3π/4 -5π/6 -π cos() 1

17 Análisis de la función f () = cos()Dominio: Rango o recorrido: Cortes con los ejes Valor máximo y valor mínimo Intervalos en los que crece la función: Intervalos en los que decrece la función: Tipo de paridad: es una función par R

18 Período de la función f() = cos()Longitud menor del intervalo en la cual la función repite su comportamiento. Para f() = cos(), P=2

19 Amplitud de la función f()=cos()valor máximo valor mínimo AMPLITUD La mitad de la distancia entre el valor máximo y el mínimo Para f() = cos(), A=1

20 Representación gráfica de la función f(α)=tan (α)Si en el círculo unitario, al ser racional, tiene asíntotas verticales en x=0. En términos de las funciones esto es en

21 Análisis de la función f(α)=tan (α), en (- /2, /2)Dominio: Rango: R P=  R Crece para todo el dominio. Corte eje y y eje x (0,0) Asíntota vertical: x=/2 x= -/2

22 Transformación de funciones trigonométricasContracciones y dilataciones horizontales f(α)=Cos α g(α)=f(4 α) g(α)=Cos(4 α); f(α)=Tan α g(α)=f(α /4) g(α)=Tan(α /4); g(α) g(α) f(α) f(α) Periodo de g(α)=/2 Periodo de g(α)= 4

23 Transformación de funciones trigonométricasReflexiones sobre los ejes f (α)=Sen(α) g(α)=f (- α) g(α)=Sen(- α): f (α)=Tan (α) g(α)=-f (α) g(α)=- Tan(α); g(α) f(α) f(α) g(α) Reflexión sobre eje y Reflexión sobre el eje x

24 Desplazamientos horizontalesTransformación de funciones trigonométricas Desplazamientos horizontales Trazar g(α)=Sen(α +/4) a partir de f (α)=Sen α g(α)=f (α+/4) Desfase de /4 a la izquierda. f(α) g(α)

25 Transformación de funciones trigonométricasDilatación y contracción vertical g(t)=1/3 Cos(t); f (t)=Cos(t) g(t)=1/3f(t) g(t)=3 Sen(t); f (t)=Sen(t) g(t)=3f (t) g(t) f(t) f(t) g(t) Amplitud g(t)=1/3 Amplitud g(t)=3

26 Transformación de funciones trigonométricasDesplazamientos verticales Trazar g(t)=1+Cos(t) a partir de f (t)=Cos(t) g(t)=f (t)+1 g(t) 1 f(t)

27 Transformación de funciones trigonométricasGeneralidades: Si se tiene una función trigonométrica: La función: Expresada como transformación de f(t): Se tiene: d Desplazamiento vertical: Amplitud= Para seno y coseno: Período: Desplazamiento horizontal: Para tangente:

28 Transformación de funciones trigonométricasRepresentar gráficamente la función g(t)= -1/2 Cos( 2t-3) Si f (t)=Cos (t) g(t)= -1/2 f(2(t-3/2)) +1 ATENCIÓN: El orden de las transformaciones es: a. g(t)=f (2t) b. g(t)=f (2(t-3/2) ) c. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2)) d. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2)) +1

29 Transformación de funciones trigonométricasg(t)=-1/2f (2(t-3/2))+1 a. g(t)=f (2t) Contracción horizontal Periodo:  g(t)

30 Transformación de funciones trigonométricasb. g(t)=f (2(t-3/2)) Desplazamiento horizontal de 3/2 a la derecha Desface: 3/2

31 Transformación de funciones trigonométricasc. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2)) Contracción vertical ½ Reflexión sobre el eje x Crece(3/2) A=1/2 Decrece(2,7)

32 Transformación de funciones trigonométricasd. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2)) +1 Desplazamiento: 1 unidad arriba

33 Análisis de la función trazada: g(t)=-1/2 Cos(2t-3)+1P= Crece(3/2,2) Decrece(2,5/2) D: R R: [1/2,3/2] A=1/2 Desplazamiento 1 arriba Desfase 3/2 derecha No corta eje x No corta con eje y Ciclo fundamental=(3 /2,5 /2)