1 Funciones

2 El concepto de función De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

3 El concepto de función Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.Una función de A en B es una asociación de un único elemento de B con todos y cada uno de los elementos de A. El conjunto A es llamado el dominio de la función. El conjunto B se llama contradominio ó codominio de la función.

4 El concepto de función Todos los elementos del dominio tiene que tener asociado un elemento del contradominio A un elemento del dominio se le asociara un único elemento del contradominio Elementos del contradominio pueden tener asociados más de un elemento del dominio

5 Ejemplos de funciones Conjunto de seres humanos

6 Ejemplos de funciones Conjunto de seres humanos

7 Ejemplos de funciones A cada ser humano se le asocia su padre biológico Conjunto de seres humanos Conjunto de seres humanos

8 Ejemplos de funciones A cada ser humano se le asocia su padre biológico Conjunto de seres humanos Conjunto de seres humanos Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico

9 Definición de función

10 El rango de una función

11 Definición de función a b c d e

12 Definición de función Dominio a b c d e

13 Definición de función Codominio Dominio a b c d e

14 Definición de función a b Codominio Dominio c d e Rango

15 Esto no es función

16 A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominioEsto no es función A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio

17 Esto no es función B A parcial nabla raiz existe

18 Esto no es función A parcial nabla raiz existe B

19 Definición de funcion real de una variable realDefinimos una función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).

20 Definición de funcion real de una variable realSe llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.

21 Funcion real de una variable real

22 Funciones reales de una variable realUna función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales. Su rango es también un subconjunto de los reales.

23 El dominio de una funciónEl subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f). Nota El dominio de una función puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. 2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

24 Ejemplo de función: Relación líneal

25 Ejemplo de función: Relación línealx f(x) 2 1 5 -1 8 -2 -4 3 11 -3 -7 4 14 -10 17 -5 -13 x f(x) 0.10 2.30 1.76 7.28 -3.45 -8.35 8.97 28.91 2.34 9.02 13.33 41.99 1.41 6.23 16.77 52.31 -44.44 0.01 2.03

26 Ejemplo de función: la función exponencial

27 Ejemplo de función: la función exponencialf(x) 0.10 11.88 144, -3.45 8.97 7, 2.34 13.33 615, 6.99 1, -91.23 2.22 0.50 -12.45 x f(x) 0.00 1.000 1.00 2.718 -1.00 0.368 2.00 7.389 -2.00 0.135 3.00 20.086 -3.00 0.050 4.00 54.598 -4.00 0.018 5.00 -5.00 0.007

28 Ejemplo de función: la función exponencial

29 Ejemplo de función: la función exponencialln(x) 0.10 -2.303 0.01 -4.605 0.20 -1.609 0.02 -3.912 0.30 -1.204 0.03 -3.507 0.40 -0.916 0.04 -3.219 0.50 -0.693 0.05 -2.996 0.60 -0.511 0.06 -2.813 0.70 -0.357 0.07 -2.659 0.80 -0.223 0.08 -2.526 0.90 -0.105 0.09 -2.408 1.00 0.000

30 Representación gráfica de las funciones reales de una variable real

31 Ejemplo de función: Relación líneal

32 Ejemplo de función: la función exponencial

33 Ejemplo de función: la función logaritmo

34 Ejemplo de función: El valor absoluto

35 Operaciones con funcionesSuma y diferencia

36 Operaciones con funcionesProducto

37 Operaciones con funcionesEl cociente

38 Operaciones con funcionesLa composición

39 Operaciones con funciones La composición. Ejemplo 1

40 Operaciones con funciones La composición. Ejemplo 2

41 Operaciones con funciones La composición. Ejemplo 3

42 La función identidad

43 La función identidad

44 Funciones inyectivas

45 Funciones inyectivas

46 Funciones inyectivas

47 Operaciones con funcionesLa función inversa

48 La función inversa

49 Las funciones trigonométricas

50 Las funciones trigonométricas

51 Las funciones trigonométricas

52 Las funciones trigonométricas

53 El seno

54 El seno

55 El coseno

56 El coseno

57 La tangente

58 La tangente

59 El arco seno o seno inverso

60 Límites

61 El concepto de límite El concepto de “límite” describe el comportamiento de una función cuando su argumento se “acerca” a algún punto o se vuelve extremadamente grande

62 El concepto de límite

63 Límite. Ejemplo1

64 Límite. Ejemplo1

65 Límite. Ejemplo1

66 Límite. Ejemplo1 13

67 Límite. Ejemplo1

68 Límite. Ejemplo 1

69 Límite. Ejemplo 2

70 Límite. Ejemplo 2

71 Límite. Ejemplo 2

72 Límite. Ejemplo 2

73 Límite. Ejemplo 3

74 Límite. Ejemplo 3

75 Límite. Ejemplo 3

76 Límite. Ejemplo 4

77 Límite. Ejemplo 4

78 Límite. Ejemplo 4

79 Límite. Ejemplo 5

80 Límite. Ejemplo 5

81 Límite. Ejemplo 5

82 Límite. Ejemplo 5

83 El límite por la izquierda

84 El límite por la derecha

85 El límite por la derecha y por la izquierda: Ejemplo

86 El límite por la derecha y por la izquierda: Ejemplo

87 El límite por la derecha y por la izquierda: Ejemplo

88 El límite por la derecha y por la izquierda

89 Límite. Ejemplo1 En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales

90 Límite. Ejemplo 2 En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales

91 Límite. Ejemplo 3 En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 5 son 25 y 11 respectivamente

92 Límite. Ejemplo 4 En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 0 son +∞ y -∞ respectivamente

93 Propiedades de los límites

94 Propiedades de los límites

95 Propiedades de los límites

96 Funciones continuas

97 Funciones continuas De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente. De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”

98 Funciones continuas

99 Funciones continuas. Ejemplo 1Esta función es continua

100 Funciones continuas. Ejemplo 2Es discontinua en x=-2 Es continua en todos los otros puntos del dominio

101 Funciones continuas

102 La derivada

103 El cambio, motor fundamental del UniversoLa velocidad: Como cambia la posición con el tiempo La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición La inflación: Como cambian los precios con el tiempo El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?

104 El cambio, motor fundamental del UniversoLas funciones “describen” la evolución de las variables dinámicas de los sistemas

105 ¿Cómo cambian las funciones?x f(x) 20 1 24 -1 22 2 34 -2 30 3 50 -3 44

106 ¿Cómo cambian las funciones?

107 ¿Cómo cambian las funciones?¿Cómo cambia la función? Cuando va de 0 a 1 crece en 4 Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece) Cuando va de 1 a 2 crece en 10 Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)

108 ¿Cómo cambian las funciones?

109 ¿Cómo cambian las funciones?¿Cómo cambia la función? Cuando va de 0 a 2 crece en 14 Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)

110 ¿Cómo cambian las funciones?

111 ¿Cómo cambian las funciones?

112 ¿Cómo cambian las funciones?

113 ¿Cómo cambian las funciones?La recta azul es la secante a la curva

114 ¿Cómo cambian las funciones?La recta azul es la tangente a la curva

115 ¿Cómo cambian las funciones?La recta azul es la tangente a la curva La pendiente de la tangente nos dice La rapidez con que la función está cambiando en ese punto

116 ¿Cómo cambian las funciones?

117 ¿Cómo cambian las funciones?La recta azul es la tangente a la curva

118 Definición de la derivada

119 Concepto de derivada

120 Concepto de derivada

121 Concepto de derivada

122 Concepto de derivada

123 La derivada. Ejemplo 1

124 La derivada. Ejemplo 1

125 La derivada. Ejemplo 1 La derivada es cero, La función “no cambia”

126 La derivada. Ejemplo 1

127 La derivada. Ejemplo 2

128 La derivada. Ejemplo 2

129 La derivada. Ejemplo 2

130 La derivada. Ejemplo 2

131 La derivada. Ejemplo 2

132 La derivada. Ejemplo 3 Una parábola

133 La derivada. Ejemplo 3

134 La derivada. Ejemplo 3

135 Diversas formas de escribirlaLa derivada Diversas formas de escribirla

136 La derivada. Ejemplo 4

137 La derivada. Ejemplo 4

138 La derivada. Ejemplo 4

139 La derivada. Ejemplo 5

140 La derivada. Ejemplo 5

141 La derivada. Ejemplo 6

142 La derivada. Ejemplo 6

143 La derivada. Ejemplo 6

144 Algunas derivadas

145 Tabla de derivadas

146 Notación

147 Diferenciación implicita

148 Diferenciación implicita

149 Diferenciación implicita

150 Diferenciación implicita

151 Diferenciación implicita: Ejemplo 1

152 Diferenciación implicita: Ejemplo 1

153 Diferenciación implicita: Ejemplo 2

154 Diferenciación implicita: Ejemplo 2

155 La derivada

156 Propiedades de la derivada Derivada de una combinación lineal

157 Propiedades de la derivadaDerivada del producto

158 Propiedades de la derivadaDerivada del producto Ejemplos

159 Propiedades de la derivadaDerivada del cociente

160 Propiedades de la derivadaDerivada del cociente Ejemplos

161 Propiedades de la derivada Derivada de la composición o regla de la cadena

162 Propiedades de la derivada Derivada de la composición o regla de la cadena Ejemplos

163 Derivadas de orden superior

164 Derivadas de orden superior. Ejemplo 1

165 Derivadas de orden superior. Ejemplo 2

166 Derivadas de orden superior. Ejemplo 2

167 Derivadas de orden superior. Ejemplo 3

168 Aplicaciones de la derivadaMáximos y mínimos

169 Máximo relativo

170 Máximo relativo

171 Mínimo relativo

172 Mínimo relativo

173 Punto de inflexión

174 Punto de inflexión

175 Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo

176 Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo

177 Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo

178 Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo

179 Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo

180 Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo

181 Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo

182 Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo

183 Puntos críticos de un polinomio. Ejemplo

184 Problemas de máximos y mínimos: 1

185 Problemas de máximos y mínimos: 1

186 Problemas de máximos y mínimos: 1

187 Problemas de máximos y mínimos: 1

188 Problemas de máximos y mínimos: 1

189 Problemas de máximos y mínimos: 2

190 Problemas de máximos y mínimos: 2

191 Problemas de máximos y mínimos: 2

192 Problemas de máximos y mínimos: 2

193 Problemas de máximos y mínimos: 2

194 Las series de Taylor

195 Las series de Taylor Una serie de Taylor es una representación o una aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto

196 Las series de Taylor

197 Las series de Taylor

198 Las series de Taylor. Ejemplo 1

199 Las series de Taylor. Ejemplo 1

200 Las series de Taylor. Ejemplo 1

201 Las series de Taylor. Ejemplo 1

202 Las series de Taylor. Ejemplo 1x sin(x) 0.500 0.479 0.400 0.389 0.300 0.296 0.200 0.199 0.100 0.000

203 Las series de Taylor. Ejemplo 1

204 Las series de Taylor. Ejemplo 1

205 Las series de Taylor. Ejemplo 1

206 Las series de Taylor. Ejemplo 1

207 Las series de Taylor. Ejemplo 1

208 Las series de Taylor. Ejemplo 1

209 Las series de Taylor. Ejemplo 1x sin(x) x-x^3/6 0.500 0.479 0.400 0.389 0.300 0.296 0.200 0.199 0.100 0.000

210 Las series de Taylor. Ejemplo 1

211 Las series de Taylor. Ejemplo 1

212 Las series de Taylor. Ejemplo 2

213 Las series de Taylor. Ejemplo 3

214 Las series de Taylor. Ejemplo 3

215 Las series de Taylor. Ejemplo 3

216 Las series de Taylor. Ejemplo 3

217 Las series de Taylor. Ejemplo 3

218 Las series de Taylor. Ejemplo 3

219 Las series de Taylor. Ejemplo 3

220 Las series de Taylor. Ejemplo 3x ln(x) x-1 x-1-(x-1)^2/2 x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3 x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4 0.500 -0.693 -0.500 -0.625 -0.667 -0.682 0.600 -0.511 -0.400 -0.480 -0.501 -0.508 0.700 -0.357 -0.300 -0.345 -0.354 -0.356 0.800 -0.223 -0.200 -0.220 0.900 -0.105 -0.100 1.000 0.000 1.100 0.095 0.100 1.200 0.182 0.200 0.180 0.183 1.300 0.262 0.300 0.255 0.264 1.400 0.336 0.400 0.320 0.341 0.335 1.500 0.405 0.375 0.417 0.401

221 Las series de Taylor. Ejemplo 4

222 Las series de Taylor. Ejemplo 4

223 Las series de Taylor. Ejemplo 4

224 Las series de Taylor. Ejemplo 4

225 Las series de Taylor. Ejemplo 5

226 Las series de Taylor. Ejemplo 5

227 Las series de Taylor. Ejemplo 5

228 Aproximación lineal a una funciónLas series de Taylor Aproximación lineal a una función

229 Aproximación lineal a una funciónLas series de Taylor Aproximación lineal a una función

230 Aproximación lineal a una funciónLas series de Taylor Aproximación lineal a una función

231 Aproximación lineal a una funciónLas series de Taylor Aproximación lineal a una función

232 Aproximación lineal a una funciónLas series de Taylor Aproximación lineal a una función

233 Aproximación lineal a una funciónLas series de Taylor Aproximación lineal a una función

234 Aproximación lineal a una funciónLas series de Taylor Aproximación lineal a una función

235 Cálculo integral

236 La integral indefinida

237 La integral indefinida

238 La integral indefinida de una función identicamente cero

239 La integral indefinidade una constante

240 La integral indefinida de la función identidad

241 La integral indefinidade una potencia de x

242 La integral indefinida de 1/x

243 La integral indefinida de las funciones trigonométricas

244 La integral indefinida de la función exponencial

245 La integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales

246 Integrales indefinidas

247 Integrales indefinidas

248 Integrales indefinidasCambio de variable

249 Integrales indefinidasCambio de variable

250 Integrales indefinidasCambio de variable

251 Integrales indefinidasCambio de variable

252 Integrales indefinidasCambio de variable

253 Integrales indefinidasCambio de variable

254 Integrales indefinidasCambio de variable

255 Integrales indefinidasCambio de variable

256 Integrales indefinidasCambio de variable

257 Integrales indefinidas Integración por partes

258 Integrales indefinidas Integración por partes

259 Integrales indefinidas Integración por partes

260 Integrales indefinidas Integración por partes

261 Integrales indefinidas Integración por partes

262 Integrales indefinidas Integración por partes

263 Integrales indefinidas Integración por partes

264 Integrales indefinidas Integración por partes

265 Integrales indefinidas Integración por partes

266 Integrales indefinidas Integración por partes

267 La integral definida

268 Gráfica de una función de R en R

269 La integral definida

270 La integral definida

271 La integral definida

272 La integral definida Esta área

273 La integral definida Esta área La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b

274 La integral definida

275 La integral definida

276 La integral definida

277 La integral definida

278 La integral definida

279 La integral definida

280 La integral definida

281 La integral definida

282 La integral definida

283 La integral definida

284 La integral definida

285 La integral definida

286 La integral definida

287 La integral definida

288 La integral definida

289 La integral definida Propiedades

290 La integral definida Propiedades

291 La integral definida Propiedades

292 La integral definida Propiedades

293 La integral definida. Ejemplo 1

294 La integral definida. Ejemplo 2

295 La integral definida. Ejemplo 2

296 La integral definida. Ejemplo 3

297 La integral definida. Ejemplo 3

298 Aplicaciones de la integral

299 Aplicaciones de la integralLongitudes, áreas, volumenes Se emplea en todas las áreas de la física En general en toda la matemática aplicada la integral es ampliamente empleada

300 Aplicaciones de la integral El área entre dos curvas

301 Aplicaciones de la integral El área entre dos curvas

302 El área entre dos curvas. Ejemplo 1

303 El área entre dos curvas. Ejemplo 1

304 El área entre dos curvas. Ejemplo 1

305 Calculo del volumen de sólidos de revolución

306 Calculo del volumen de sólidos de revolución

307 Calculo del volumen de sólidos de revoluciónMétodo de los discos

308 Calculo del volumen de sólidos de revoluciónMétodo de los discos

309 El teorema fundamentaldel cálculo

310 El teorema fundamental del cálculo

311 El teorema fundamental del cálculo

312 El teorema fundamental del cálculo

313 El teorema fundamental del cálculo