1 FUNCIONES

2 Consideremos dos conjuntos numéricosConjunto de partida : y1 x1 Conjunto de llegada y2 x2 y3 x3 y4 x4 y5 x5 . . xn yn . . A B

3 f(x) : y1 x1 y2 x2 y3 x3 y4 x4 y5 x5 . . xn yn . . A B

4 En este caso se definió una RELACIÓN de A en B

5 Formas de expresar una relaciónDiagramas de Venn Enunciado Fórmula Pares ordenados (Tabla) Puntos del plano (Gráfico)

6 DIAGRAMA DE VENN : -4 -2 -2 -1 1 1 2 3 2 4 6 7

7 ENUNCIADO R : “A cada valor de X le corresponde su doble” R : “Y es el doble de X”

8 y = 2x f(x) = 2x Esto se lee: “la imagen de x”FÓRMULA y = 2x f(x) = 2x Esto se lee: “la imagen de x”

9 TABLA DE VALORES X f(X) 1 2 4 -2 -4 9 18 0,5 1,25 0,75 -2,5

10 GRÁFICO

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12 Definiciones Dominio: Es el conjunto de todos los elementos X del conjunto de partida que poseen imagen. Imagen: Es el conjunto de todos los elementos Y del conjunto de llegada que son imagen de algún valor de X

13 z R ¾ 2 1 4 2 6 3 -2 -1 -4 -2 y Conjunto de partidaConjunto de llegada 2 1 4 2 6 3 -2 -1 -4 -2 Dominio (Dm) Imagen (Im) y z R

14 Una función definida de A en B (f : A B) Es una relación en la que:DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función definida de A en B (f : A B) Es una relación en la que:

15 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Todos los valores de X tienen una imagen Y. (CONDICIÓN DE EXISTENCIA) Cada valor de X tiene una y solo una imagen Y. (CONDICIÓN DE UNICIDAD)

16 El dominio coincide con el conjunto de partidaEXISTENCIA UNICIDAD El dominio coincide con el conjunto de partida

17 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALSon aquellas cuyo Dominio e Imagen con subconjuntos de R, o bien, el mismo R. f: AB / f(x)=y

18 EJEMPLOS

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28 ¿La siguiente fórmula representa a una función?

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30 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONESINYECTIVA: Una función es inyectiva si y solo si a cada par de valores distintos de X del dominio le corresponden imágenes distintas.

31 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONESSOBREYECTIVA: Una función es sobreyectiva si y solo si todos los elementos Y del conjunto de llegada son imagen de algún elemento X del dominio.

32 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONESBIYECTIVA: Una función es biyectiva si y solo sí es inyectiva y sobreyectiva.

33 Ejemplos

34 Ejemplos

35 Para que exista la inversa de una función, ésta debe ser biyectivaFUNCIÓN INVERSA: Dada una función f : AB Si existe una relación f -1 : BA y es función, entonces f -1 se llama función inversa de f. Para que exista la inversa de una función, ésta debe ser biyectiva

36 Ejemplo Sea f: RR / f(x) = 2x+1 Despejamos x Expresamos la nueva función

37 Intervalos de crecimiento y decrecimientoIntervalos abiertos (a ; b) Intervalos cerrados [a ; b] Intervalos semiabiertos (a ; b] [a ; b)

38 FUNCIÓN LINEAL

39 Una función lineal es aquella cuya forma es:y = mx +b donde: m es la pendiente b es la ordenada al origen

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41 Si m=0, la función es CONSTANTE f(X)=b

42 Distintas formas de expresar la ecuaciones de una rectaDistintas formas de expresar la ecuaciones de una recta. Forma Explícita : y = mx + b Forma implícita o general: Ax + By + C = 0 Forma segmentaria: x/a + y/b = 1

43 Condición de paralelismo y perpendicularidad

44 Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente conocida

45 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

46 Ejemplos

47 FUNCIÓN CUADRÁTICA

48 f : R  R tal que f(x) = ax2 + bx + c a, b, c  R, a  0

49 El gráfico de una función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA cuyos elementos principales son:

50 Eje de simetría Ordenada Al origen Vértice Raíces

51 Distintas posiciones y formas de la parábolaSi a > 0, entonces las ramas de la parábola se orientan hacia arriba, en ese caso habrá un MÍNIMO Si a < 0, entonces las ramas de la parábola se orientan hacia abajo, en ese caso habrá un MÁXIMO Cuado mayor es el valor absoluto de a, la curva es más cerrada.

52 Ejemplos: f(x) = x2 +3x – 1 f(x) = –0,5 x2 +3x – 2

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54 Cálculo de la posición de los elementos de la parábolaRaíces: Coordenadas del vértice V=(Xv ; Yv)

55 Ordenada al origen Eje de simetría

56 Análisis del discriminante = b2 – 4ac Si  > 0  la función tiene dos raíces reales y distintas, es decir, el gráfico corta al eje x en dos puntos (x1  x2) Si  = 0  la función tiene dos raíces reales e iguales (una raíz doble), es decir, corta al eje x en un punto (x1 = x2) Si  < 0  la función no tiene raíces raíces reales, es decir el gráfico no corta al eje x en ningún punto.

57  > 0  = 0  < 0

58 Ejemplo de aplicación práctica de la función cuadrática

59 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

60 f : R+  R tal que: f(x) = logb (x) b  R , b > 0 , b 1Función logarítmica f : R+  R tal que: f(x) = logb (x) b  R , b > 0 , b 1

61 Gráfico f(x) = log2 x

62 Variación del gráfico según la expresión del argumentoBase Argumento

63 f(x) = log2 (x-1)

64 f(x)= log2(x – 1) f(x)= log2(x + 3) f(x)= log2(x – 3)

65 Variación del gráfico según el valor de bb< 1 : ejemplo f(x) = log1/2 (x)

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67 FUNCIÓN EXPONENCIAL

68 f: R  R / f(x) = k.ax + b

69 f(x) = 2x

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71 Función polinómica f : R  R tal que:

72 Ejemplos: Graficar la siguientes funciones f(x)= 0,5x2 – 3x + 2,5 f(x) = log2 (2x – 1) f(x) = – 2. 2x + 4