1 Fundamentals of Data Analysis Lecture 12 Approximation, interpolation and extrapolation

2 Programme for today F Definitions F Approximation methods F Interpolation methods F Extrapolation methods

3 Definitions Aproksymacja jest to przybliżanie funkcji zwanej funkcją aproksymowaną inną funkcją zwaną funkcją aproksymującą. Aproksymacja bardzo często występuje w dwóch przypadkach: gdy funkcja aproksymowana jest przedstawiona w postaci tablicy wartości i poszukujemy dla niej odpowiedniej funkcji ciągłej lub gdy funkcję o dosyć skomplikowanym zapisie analitycznym chcemy przedstawić w „prostszej” postaci.

4 Definicje Interpolacja - wyznaczanie funkcji w zadanym przedziale na podstawie przyjmowanych przez nią wartości w pewnych punktach tego przedziału; gdy szukaną funkcję przybliża się odcinkami prostych (funkcjami liniowymi), interpolację nazywa się interpolacją liniową. Ekstrapolacja - wyznaczanie wartości funkcji określonej w danym przedziale w punktach leżących poza tym przedziałem.

5 Aproksymacja n Funkcji aproksymującej (przybliżającej) poszukuje się zwykle w określonej rodzinie funkcji. Najczęściej będzie to tzw. wielomian uogólniony będący kombinacją liniową funkcji bazowych n Przyjęcie odpowiednich funkcji bazowych powoduje, że aby wyznaczyć funkcję aproksymującą należy wyznaczyć wartości współczynników a 0, a 1 … a m. n

6 Aproksymacja Jako funkcje bazowe stosowane są: n jednomiany, n funkcje trygonometryczne, n wielomiany ortogonalne.

7 Aproksymacja Aproksymacja funkcji powoduje powstanie błędów i sposób ich oszacowania wpływa na wybór metody aproksymacji. Jeśli błąd będzie mierzony na dyskretnym zbiorze punktów to jest to aproksymacja punktowa, a jeśli będzie mierzony w przedziale to jest to aproksymacja integralna lub przedziałowa.

8 Aproksymacja n W poniższej tabeli zostały odnotowane wyniki przeprowadzonego doświadczenia n Przeprowadzający doświadczenie stwierdził, że badana funkcja jest zbliżona do funkcji kwadratowej oraz wartość f(2,5) jest obarczona zbyt dużym błędem. n Wyznaczyć wartość funkcji y= f(x) dla x=2,5. Przykład xixi 0,000,501,001,502,002,503,003,50 y i = f(x i )1,020,620,500,600,981,553,125,08

9 Aproksymacja n Ponieważ wartość funkcji f(2,5) = 1,55 obarczona jest błędem nie bierzemy jej pod uwagę, zatem obliczenia będą oparte na tabeli: n Zgodnie z uwagą poczynioną przez przeprowadzającego eksperyment funkcja będzie przybliżana parabolą F 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2. n Współczynniki zostaną wyznaczone poprzez rozwiązanie układu równań liniowych. Przykład xixi 0,000,501,001,502,003,003,50 y i = f(x i )1,020,620,500,600,983,125,08

10 Aproksymacja Przykład

11 Aproksymacja Rozwiązując układ równań: otrzymujemy a 0 = 1,124, a 1 = -1,495, a 2 = 0,739, zatem Przykład

12 Aproksymacja Rozwiązanie zadania otrzymujemy wstawiając x = 2,5: Przykład

13 Interpolacja Rodzaje interpolacji: n Interpolacja wielomianami n Interpolacja funkcjami wymiernymi n Interpolacja funkcjami trygonometrycznymi n Interpolacja funkcjami sklejanymi (spline)

14 Interpolacja Zastosowania interpolacji: n Szacowanie określonych wielkości w punktach pośrednich. n Prowadzenie gładkich krzywych lub powierzchni przez punkty pomiarowe lub z symulacji (funkcje sklejane). n Algorytmy numeryczne, np.: o Znajdowanie miejsc zerowych funkcji o Uzbieżnianie procesów iteracyjnych (np. SCF) o Różniczkowanie i całkowanie numeryczne.

15 Interpolacja W przedziale [a,b] dane są węzły x 0 =a; x 1, x 2,..., x n =b takie że f(x 0 )=y 0, f(x 1 )=y 1, f(x 2 )=y 2,..., f(x n )=y n Należy znaleźć funkcję interpolującą F która w węzłach przyjmuje takie same wartości jak f. f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x k ) f(x n ) y

16 Interpolacja Wzór interpolacyjny Lagrange’a

17 Interpolacja Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Wyższy stopień wielomianu interpolacyjnego (więcej węzłów) wcale nie musi oznaczać poprawy jakości interpolacji. Przykładem negatywnym jest interpolowanie funkcji y=|x| lub y=1/(1+ax 2 ). Wręcz przeciwnie: im niższy stopień wielomianu tym lepiej.

18 Interpolacja Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty Przykład y0y0 y1y1 y

19 Interpolacja Wzór interpolacyjny Newtona - ilorazy różnicowe

20 Interpolacja Interpolacja funkcjami sklejanymi a=x 0 x1x1 x2x2 x n-1 x n =b x y (x 0,y 0 ) (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) (x n-1,y n-1 ) (x n,y n ) P 0 (x) P 1 (x) P 2 (x) P n-1 (x)

21 Interpolacja

22 Ekstrapolacja

23 Koniec wykładu !