1 FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOSDefinición de Conjuntos Representación gráfica de conjuntos- Diagramas de Venn – Euler. Notación de Conjuntos Igualdad de Conjuntos Determinación de Conjuntos Operaciones con Conjuntos Clasificación de Conjuntos Siguiente

2 DEFINICIÓN DE CONJUNTOConjunto: Es una agrupación o colección bien definida de objetos, donde cada objeto es un elemento o miembro del conjunto que satisfacen ciertas propiedades específicas. Elemento: Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Siguiente

3 NOTACIÓN DE LA TEORÍA DE CONJUNTOSConjunto: Se denota con una letra mayúscula: A, B, C, o enumerando sus elementos separados por comas y delimitándolos por llaves: { } Elementos: Se denotan con letras minúsculas: a, b, c, d, a menos que dichos elementos sean a su vez conjuntos. Relación de pertenencia: Sea x un elemento cualquiera y A un conjunto. Si es cierto que x es un elemento de A, se dice que x pertenece a A y se denota: x A. ( : Letra griega epsilón) Relación de no pertenencia: Si no es cierto que x es un elemento de A, se dice que x no pertenece a A y se denota como: x  A. Siguiente

4 DETERMINACIÓN DE CONJUNTOHay dos formas de determinar conjuntos, por extensión y por comprensión: Por extensión: Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento. Ejemplo: B = { 2, 4, 6, 8 } C = { c, o, n, j, u, t, s } A = { 7,2,8,5,3,23} Siguiente

5 DETERMINACIÓN DE CONJUNTOPor comprensión o forma constructiva: Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. Este implica usar la notación siguiente para determinar un conjunto dado A. A = { x tal que x es un objeto que verifica una condición dada } O en forma más simple: A = { x / x es un objeto que verifica una condición dada } Ejemplos: B = { x / x es un número par menor que 10 } C = { x / x es una letra de la palabra conjunto } D = { x / x  N 0< x ≤5 } Siguiente

6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CONJUNTODiagramas de Venn: Son esquemas que nos permiten hacer la representación grafica de los conjuntos. A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica. El conjunto universo U, se representa por un rectángulo o por un cuadrado. Siguiente

7 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOLos conjuntos que se encuentran en el universo, se representan por líneas curvas cerradas que demarcan los elementos del conjunto. Siguiente

8 IGUALDAD DE CONJUNTOS Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B. En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa. Ejemplos: A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 1, 2} entonces A = B C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} y D = 1, 2, 2, 3, 4, 4} entonces C = D E = {x/x son vocales de la palabra mundo} y F = {u, o } entonces E = F Siguiente

9 RELACIÓN DE CONTENIDO Ó SUBCONJUNTO Ó INCLUSIÓNSean A y B dos conjuntos tal que todo elemento de A es también elemento de B, entonces decimos que: A es un subconjunto de B. A es una parte de B A está incluido en B Se denota o simboliza A B. Su definición matemática es: A B x A x B Siguiente

10 INCLUSIÓN DE CONJUNTOSEjemplos: n      Dados los conjuntos q     A = { 0 , 3 } q     B = { 0,1,2,3,4, } Observe n      A  B porque 0 y 3  B n      B  A porque 1,2 y 4  A . Siguiente

11 OPERACIONES CON CONJUNTOSUnión de conjuntos: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x  A  x  B }. Mediante un diagrama de Venn-Euler Cuando no tienen elementos comunes Siguiente

12 UNIÓN § Cuando tienen algunos elementos comunes§  Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto Siguiente

13 INTERSECCIÓN Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes en el conjunto A y en el conjunto B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. También se puede definir: A B = { x / x  A  x  B }. Mediante un diagrama de Venn-Euler § Cuando no tienen elementos comunes Siguiente

14 INTERSECCIÓN § Cuando tienen elementos comunes§ Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto Siguiente

15 DIFERENCIA Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A – B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como: A – B = {x / x  A  x  B }. Mediante un diagrama de Venn-Euler Cuando no tienen elementos comunes Siguiente

16 DIFERENCIA § Cuando tienen elementos comunes§ Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto Siguiente

17 COMPLEMENTO Para cualquier conjunto A, tal que ACU, el complemento de A, denotado por AC, A', se define como el conjunto de los elementos que pertenecen a U y no pertenecen al conjunto A. Simbólicamente se expresa: AC = U-A ={ x/ x  U  x  A} Mediante un diagrama de Venn-Euler Siguiente

18 DIFERENCIA SIMETRICA Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de los conjuntos exceptuando la intersección. A B ={ x / x  (AUB)  x  (A B) }