1 Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía.Universidad de los Andes-CODENSA

2 Serie Temporal de Precios en Activos A y BPrecio del Activo A •Periodo(día, mes, año) Precio del Activo B •Periodo(día, mes, año)

3 Serie Temporal del Retorno Continuo Compuesto de Activos A y BActivo A Activo B

4 Retorno con Dividendos y Retorno Discretodonde DivA,t es la serie temporal de dividendos del Activo A Retorno Discreto

5 Retorno Continuo CompuestoSupone un crecimiento exponencial en el precio del activo en cada periodo Tasa de crecimiento del precio del activo en el periodo t

6 Medida del Retorno del Activo y del Riesgo de un ActivoLista periódica de precios de un Activo Lista periódica de retornos de un Activo Retorno esperado del Activo Varianza del retorno del Activo Desviación Estándar del Activo

7 Comparación entre Activos y Criterio de SelecciónComparación entre Activos, Retorno vs Riesgo Criterio de Selección de Activos

8 Manejo de Datos para Dos ActivosSerie de Precios de los Activos A y B Serie de Retornos de los Activos A y B Retornos Esperados Covarianza de los Retornos de los Activos A y B

9 Coeficiente de Correlación para los Retornos de los Activos A y BVarianza de un solo Activo Coeficiente de Correlación Medida de la relación lineal entre dos muestras. Instrumento para cuantificar la dependencia lineal entre el retorno de dos activos.

10 Análisis de PortafoliosComposición del Portafolio Retorno esperado del Portafolio Riesgo en el Portafolio

11 Justificación La esperanza es una operación linealLa varianza no es una operación lineal

12 Portafolios FactiblesEs el conjunto de los posibles portafolios que se pueden obtener eligiendo diferentes proporciones entre los activos A y B Retorno vs Riesgo para los portafolios factibles

13 Comparación entre Portafolios Factibles.Criterio de Selección de portafolios.

14 Portafolios Envolventes y Eficientes

15 Frontera Eficiente

16 Manejo de Datos para Varios ActivosGrupo de Activos Precios para cada Activo Retornos para cada Activo Retorno Esperado para cada Activo

17 Matriz de Covarianza Covarianza entre los Retornos de los Activos Ai y Aj Grandes requisitos de Cómputo y almacenamiento de Datos

18 Diseño de Portafolios Composición del PortafolioRetorno esperado del portafolio (Lineal) Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)

19 Riesgo en el PortafolioComposición del Portafolio Retorno esperado del portafolio (Lineal)

20 Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)

21 Optimización de PortafoliosPortafolios Envolventes: Minimizar el Riesgo para un Retorno Fijo. Problema de Optimización: Problema Cuadrático.

22 Análisis de FactibilidadConjunto Factible no vacío. Combinación Convexa.

23 Convexidad Programa Convexo Conjunto Factible Convexo.Función Objetivo Convexa

24 Matriz de Correlación Semidefinida Positiva

25 Cálculo de la Frontera EficientePrograma Matemático bajo Restricciones en Forma de Igualdad Función Lagrangiana Condiciones de Primer Orden

26 Forma Vectorial Sistemas de Ecuaciones Lineales basado en la Matriz de Covarianza S. Inversa de la Matriz de Covarianza

27 Multiplicadores de Lagrange

28 Ecuaciones

29 Solución

30 Frontera Eficiente

31 Forma de la Frontera Eficiente

32 Estrictamente ConvexaRetorno con Riesgo Mínimo

33 Teoría de Portafolios Caracterización de Portafolios EficientesTeorema de Black Teorema del Fondo Mutuo (Merton) Correlación entre Portafolios Eficientes

34 Caracterización de Portafolios EficientesSolución al sistema de ecuaciones lineales dado por S (la matriz de Covarianza) Justificación: Condiciones de primer orden en la función Lagrangiana

35 Representación GeométricaPrograma Matemático: Un portafolio eficiente, siempre maximiza la pendiente en el punto de tangencia.

36 Teorema de Black Una combinación convexa de dos portafolios eficientes produce otro portafolio eficiente. Demostración: Las soluciones normalizadas al sistema lineal son cerradas bajo combinaciones convexas.

37 Teorema del Fondo MutuoUn portafolio eficiente puede expresarse como combinación convexa de dos portafolios eficientes. Justificación: Sistema de ecuaciones lineales basado en la matriz de covarianza S Inversa de la matriz de covarianza

38 Multiplicadores de Lagrange y Retorno Esperado

39

40 Definición de Nuevos Portafolios Eficientes

41 Parámetros, Retornos y Riesgo.Condiciones

42 Elipse de correlación nula. Espacio de Portafolios EficientesConclusiones No hay dos portafolios eficientes completamente in-correlacionados. Todos los portafolios eficientes están correlacionados positivamente.

43 Activos sin Riesgo Implicaciones de la CorrelaciónCorrelación para dos Activos

44 Activos sin Riesgo Activo sin riesgo + Activos Riesgosos

45 Línea de Mercado de Capital

46 Pendiente de la Línea de Mercado CapitalP es un portafolio eficiente y A es cualquier portafolio factible.

47 Formula General para la Línea de Mercado de CapitalPara cualquier portafolio A factible y P eficiente. Portafolio con Activos sin Riesgo.

48 Portafolios con Activos sin Riesgo – EndeudamientoTeorema de Separación: Activo sin Riesgo + Portafolio Eficiente.

49 Curvas de Indiferencia

50 Problema Minimizar Sujeto a El Lagrangiano es: Condiciones de Primer Orden

51 Riesgo-Retorno Conjunto Envolvente

52 Frontera Eficiente Teorema de SeparaciónUn portafolio eficiente con activos sin riesgo es la elección con aversión al riesgo entre un activo sin riesgo y un portafolio eficiente compuesto solamente de activos con riesgo: Portafolio de Mercado.

53 Portafolio Eficiente Condiciones de Primer Orden Nuevos Portafolios

54 Propiedades Línea de Mercado del Activo

55 Índice Beta

56 Bibliografía “Portfolio Selection”, Harry Markowitz, 1959.“An analytic derivation of the efficient portfolio frontier”, Robert Merton, J. of Financial and Quantitative Analysis, 1972. “Portfolio Theory and Capital Markets”, William Sharpe, 1970. “Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets”, Harry Markowitz, “Continuous Time Finance”, Robert Merton, 1990. “Investments”, W. Sharpe and G. Alexander, 1990. “Active Portfolio Management”, Grinold and Kahn, 2000. “Financial Modeling”, Simon Benninga, 2000. “Mathematics for Finance”, Capinski and Zastawniak “Modern Portfolio Theory and Investment”, Elton, et. al.