1 Funkcja liniowa Przygotował: Kajetan Leszczyński Niepubliczne Gimnazjum Przy Młodzieżowym Ośrodku Wychowawczym Księży Orionistów W Warszawie Ul. Barska 4

2 Jeżeli dane są dwa zbiory A oraz B i jeśli każdemu elementowi zbioru A zostanie przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru B, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją określoną na zbiorze A o wartościach w zbiorze B.

3 Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami tej funkcji. Element zbioru B, który został przyporządkowany elementowi x zbioru A, nazywamy wartością funkcji dla argumentu x.

4 Opisywanie funkcji Sposoby opisywania funkcji Opis słowny Tabelka Graf Zbiór par uporządkowanych Wzór Wykres

5 Przedziały liczbowe W zbiorze liczb rzeczywistych wyróżniamy podzbiory zwane przedziałami liczbowymi. Przedziały liczbowe dzielimy na przedziały ograniczone i nieograniczone (nieskończone). Dla danych liczb a i b takich, że a < b definiuje się przedziały liczbowe następująco:

6 Przedziały ograniczone (a; b) = {x: a < x < b} - przedział obustronnie otwarty = {x: a ≤ x ≤ b} - przedział obustronnie domknięty = {x: a < x ≤ b} - przedział prawostronnie domknięty

7 Przedziały nieograniczone (-∞; a) = {x: x < a} - prawostronnie otwarty (-∞; a> = {x: x ≤ a} - prawostronnie domknięty (a; +∞) = {x: a ≥ x} - lewostronnie otwarty x} - lewostronnie domknięty

8 Przykłady przedziałów

9 Funkcją liniową nazywamy każdą funkcję określoną wzorem: y = ax + b dla x є R i a,b є R. Takie równanie nazywamy również równaniem prostej. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej. Wykresem funkcji liniowej y = ax + b, jest prosta przecinająca oś y w punkcie o współrzędnych (0,b). Miejscem zerowym funkcji jest każdy argument, dla którego wartość funkcji równa jest zeru.

10 Własności funkcji liniowej Funkcja y = ax + b jest dla każdej liczby b: rosnąca, jeśli a > 0, malejąca, jeśli a < 0, stała, jeśli a = 0.

11 Przykład funkcji stałej Wykonajmy wykres dla przykładowej funkcji: y = 3

12 Sporządzanie wykresu funkcji Dana jest funkcja: y = 2x + 1 1.Budujemy częściową tabelkę: x- 202 Y = 2x + 1- 315 2. Sporządzamy wykres funkcji 3. Określamy miejsce zerowe: 0 = 2x + 1 - 2x = 1 /:(-2) x = - 0,5

13 Sporządzanie wykresu funkcji Dana jest funkcja: y = 2x + 1 4. Określamy właściwości funkcji: Ponieważ a = 2 czyli a > 0 funkcja jest rosnąca.

14 Sporządzanie wykresu funkcji Dana jest funkcja: y = 2x + 1 5. Określamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie. y > 0 wówczas gdy: 2x + 1 > 0 2x > -1 x > - 0,5 6. Określamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne. y < 0 wówczas gdy: 2x + 1 < 0 2x < -1 x < - 0,5

15 Graficzna ilustracja układu równań Dla każdej z funkcji liniowych oddzielnie sporządzamy tabelkę: x- 101 y = x + 1012 x- 101 y = -3x + 3630 Sporządzamy wykresy dwóch funkcji liniowych. Rozwiązaniem układu równań jest punkt przecięcia dwóch prostych.

16 Funkcja z wartością bezwzględną Wykonajmy wykres dla przykładowej funkcji: y = |x| Sporządzamy częściowe tabelki tej funkcji dla x ≥ 0 oraz dla x < 0 x- 4- 2- 1 Y = - x421 x024 Y = x024

17 Funkcja z wartością bezwzględną Wykonajmy wykres dla przykładowej funkcji: y = |x| - 3 Sporządzamy częściowe tabelki tej funkcji dla x ≥ 0 oraz dla x < 0 x- 4- 2- 1 Y = - x - 31- 2 x024 Y = x - 3- 3- 11

18 Funkcja z wartością bezwzględną Wykonajmy wykres dla przykładowej funkcji: y = |x - 2| Sporządzamy częściowe tabelki tej funkcji dla x ≥ 0 oraz dla x < 0 x- 3- 2- 1 Y = - x + 2543 x023 Y = x - 2- 201

19 Funkcja kwadratowa Wykonajmy wykres dla przykładowej funkcji: y = x² Sporządzamy częściową tabelkę dla tej funkcji x-3-3-2-2-10123 y = x²9410149 parabola Wierzchołek paraboli

20 Wykonajmy wykres dla przykładowej funkcji: y = 2⁄x Sporządzamy częściową tabelkę dla tej funkcji x-3-3-2-2-11234 y-2⁄3- 1- 2212⁄31⁄2