1 FUNKCJA POTĘGOWA

2 Funkcją potęgową o wykładniku c ( c  0 ) nazywamy funkcję x  y = x cDefinicja: Funkcją potęgową o wykładniku c ( c  0 ) nazywamy funkcję x  y = x c I. Niech c  N+ i c jest liczbą nieparzystą . Narysujmy wykresy funkcji : 1) y = x 1 2) y = x 3 3) y = x 5

3 y y = x 3 y = x 5 y = x 1 -1 1 x -1

4 . . . Własności: D = R Y = R ma miejsce zerowe jedno x0 = f  w Rf  w R parzystość: jest nieparzysta różnowartościowość: jest różnowartościowa . . .

5 II. Niech c  N+ i c jest liczbą parzystą .Narysujmy wykresy funkcji : 1) y = x 2 2) y = x 4 3) y = x 6

6 y y = x6 y = x4 y = x2 1 -1 1 x

7 . . . Własności: D = R Y = R+  { 0 } ma miejsce zerowe jedno x0 = f f  w R- f  w R+ parzystość: jest parzysta różnowartościowość: nie jest różnowartościowa . . .

8 III. Niech c  C- i c jest liczbą nieparzystą .Narysujmy wykresy funkcji : 1 1) y = x –1 = x Z : x  0 1 2) y = x –3 = x3

9 y y = x-1 1 y = x –3 -1 1 x -1

10 . . Własności: D = R \ { 0 } Y = R \ { 0 } miejsca zerowe:nie ma miejsc zerowych f  w R- f  w R+ . parzystość: y = x –3 jest nieparzysta . różnowartościowość: jest różnowartościowa

11 IV. Niech c  C- i c jest liczbą parzystą .Narysujmy wykresy funkcji : 1 Z : x  0 1) y = x –2 = x2 1 2) y = x –4 = x4

12 y y = x -2 y = x -4 1 x -1 1

13 . . Własności: D = R \ { 0 } Y = R + miejsca zerowe:nie ma miejsc zerowych f  w R- f  w R+ parzystość: . . jest parzysta różnowartościowość: nie jest różnowartościowa

14  y V. Niech c  W Aby narysować wykres funkcji y =x1 Aby narysować wykres funkcji y =x 2 dla x R +  { 0 } należy 1 zauważyć , że funkcja y = x 2 jest funkcją odwrotną do y = x 2 Funkcja y = x2 w zbiorze R +  { 0 } jest różnowartościowa zatem :  y = x y 1 2 = x 1 Zamieniając zmienne otrzymujemy y = x 2

15 Obrazem punktu P ( x , y ) w symetrii osiowej Wykresy funkcji i funkcji do niej odwrotnej są symetryczne względem dwusiecznej ćwiartki I i III , czyli prostej y = x Przypomnienie: Obrazem punktu P ( x , y ) w symetrii osiowej względem prostej y = x jest punkt P ( y , x).

16 y (2,4) 4 (4,4) 2 (4,2) (2,2) 2 4 x

17 Aby narysować wykres funkcji y = xZatem : 1 Aby narysować wykres funkcji y = x 2 Najpierw rysujemy wykres funkcji y = x 2 w R +  { 0 } , a następnie przekształcamy go symetrycznie względem prostej : y = x

18 y y = x2 y = x ( 2 , 4 ) 4 1 y = x 2 2 ( 4 , 2 ) 1 ( 1 , 1 ) x 1 2 4

19 Czy jest to funkcja potęgowa? NIEĆwiczenie: 1. Sporządź wykres funkcji : y = x3 + 1 y = x3 + 1 Etapy konstrukcji : a ) rysujemy wykres funkcji y = x 3 y = x3 y b) przekształcamy go przez Tu u = [ 0,1 ] 1 1 x Czy jest to funkcja potęgowa? NIE

20 Czy jest to funkcja potęgowa? NIEy = x 4 y Ćwiczenie: 2. Sporządź wykres funkcji : y = x4 - 3 Etapy konstrukcji : a ) rysujemy wykres funkcji y = x 4 b) przekształcamy go przez Tu y = x4 - 3 u = [ 0,-3 ] 1 1 x Czy jest to funkcja potęgowa? NIE -3

21 Czy jest to funkcja potęgowa? NIEy = x 4 y Ćwiczenie: 3. Sporządź wykres funkcji : y = 2 - x4 Etapy konstrukcji : a ) rysujemy wykres funkcji y = x 4 b) przekształcamy go przez S x 2 i otrzymujemy wykres y = - x4 1 c) otrzymany wykres przekształcamy przez Tu , u [ 0 , 2 ] 1 x y = 2 - x4 Czy jest to funkcja potęgowa? NIE y = -x4

22 Czy jest to funkcja potęgowa? NIEĆwiczenie: y 4. Sporządź wykres funkcji : y = -x Etapy konstrukcji : y = x -4 a ) rysujemy wykres funkcji y = x -4 b) przekształcamy go przez S x i otrzymujemy wykres y = -x -4 y = -x 1 c) a następnie przez Tu u = [ 0 , 2 ] -1 1 x Czy jest to funkcja potęgowa? -1 NIE y = -x -4

23 Ćwiczenie: 5. Sporządź wykres funkcji y = x gdy x  R+  { 0 }1 5. Sporządź wykres funkcji y = x 3 y gdy x  R+  { 0 } y = x 3 Etapy konstrukcji: y = x a) Rysujemy wykres funkcji y = x 3 b) Przekształcamy go przez symetrię osiową względem prostej y = x 1 y = x 3 1 1 Czy jest to funkcja potęgowa? x TAK

24