1 Galaktyki i monady dr Artur Piękosz Instytut Matematyki, WFMiIS, PK 4 października 2007

2 Pojęcia pierwotne matematyki liczby zbiory Pojęcie zbioru jest bardziej podstawowe: liczby naturalne można zdefiniować jako pewne zbiory. Pozostałe zbiory liczbowe konstruuje się ze zbioru liczb naturalnych.

3 Zbiory liczbowe ℕ = zbiór liczb naturalnych ℤ = zbiór liczb całkowitych ℚ = zbiór liczb wymiernych ℝ = zbiór liczb rzeczywistych ℂ = zbiór liczb zespolonych ℍ = zbiór kwaternionów

4 Czy istnieją liczby nieskończenie wielkie i nieskończenie małe?... Były różne poglądy na ten temat wśród matematyków...

5 Używane były w przeszłości przez: Archimedesa, Newtona, Leibniza i Eulera Archimedes (287-212 p. n. e.) fizyk, matematyk i inżynier

6 Isaac Newton (1642-1727) fizyk, matematyk, astronom i filozof dy/dx

7 Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) matematyk i filozof dy/dx

8 Leonhard Euler (1707-1783) matematyk e

9 W wielu działach matematyki i fizyki pojawia się słowo infinitesimal (nieskończenie mały) Pochodna to iloraz zmiany jakiejś wielkości w danym infinitezymalnym (nieskończenie krótkim) przedziale zmiany argumentu do zmiany tego argumentu. Wielkości fizyczne jak: prędkość, przyspieszenie są pochodnymi.

10 W XIX wieku nie wierzono, że nieskończenie małe mają sens matematyczny Przy pomocy skomplikowanych pojęć, w szczególności pojęcia granicy ciągu i granicy funkcji, wyeliminowano nieskończenie małe z użycia matematycznego.

11 W XIX wieku nie wierzono, że nieskończenie małe mają sens matematyczny Głównie zasłużył się w tym Karl Weierstrass (1815-1897) wprowadzając ścisłe definicje, między innymi ciągłości funkcji.

12 W XIX wieku nie wierzono, że nieskończenie małe mają sens matematyczny Również Augustin Louis Cauchy (1789-1857), który wcześniej używał nieskończenie małych, przeszedł na ściślejsze wtedy definicje.

13 W 1966 roku Abraham Robinson wydał książkę „Non-standard Analysis”. A. Robinson (1918 -1974)

14 Pojęcie liczby nieskończenie małej nie prowadzi do sprzeczności Na nieskończenie małych (i nieskończenie dużych) można wykonywać wszystkie operacje algebraiczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie i tak dalej. Można je porównywać. Można wykonywać bardziej skomplikowane operacje: sumowanie szeregów nieskończonych, całkowanie,... Na nieskończenie małych (i nieskończenie dużych) można wykonywać wszystkie operacje algebraiczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie i tak dalej. Można je porównywać. Można wykonywać bardziej skomplikowane operacje: sumowanie szeregów nieskończonych, całkowanie,...

15 Tę gałąź matematyki nazywamy analizą niestandardową Analiza niestandardowa daje inne spojrzenie na matematykę i ma interesujące konsekwencje.

16 W 1969 roku W.A.J. Luxemburg zastosował otoczki niestandardowe w analizie funkcjonalnej Dało to nowe wyniki i narzędzia w zaawansowanej teorii przestrzeni Banacha i ich operatorów.

17 W 1970 roku Peter Loeb wprowadził tak zwane miary Loeba w teorii miary Peter Loeb (1937- )

18 W 1975 roku D. J. Brown i A. Robinson wprowadzili niestandardowe ekonomie Okazuje się, że w wielu zastosowaniach ekonomicznych tradycyjna miara Lebesgue’a ustępuje mierze na „zbiorze hiperskończonym”. W połączeniu z miarami Loeba otrzymujemy bardzo dobre narzędzie do badania modeli rynku z wieloma agentami, z których każdy ma niewielki wpływ na cały rynek.

19 W 1976 roku Robert Anderson podał model niestandardowy znanych z fizyki ruchów Browna R. Anderson (1951- )

20  W 1976 H.J. Keisler wydał książkę „Elementary Calculus, An Approach Using Infinitesimals” Jest ona dostępna w internecie (24MB): http://www.math/wisc.edu/~keisler/calc.html Książka ma około tysiąca stron. Zawiera rachunek różniczkowy i całkowy wielu zmiennych wraz z rozdziałem o równaniach różniczkowych.

21 W wybranych uczelniach i szkołach w USA wprowadzono do nauki matematyki podejście niestandardowe ● Pierwsza wersja książki Keislera była jednosemestralnym kursem napisanym przez niego w 1969 roku. ● W 1971 roku wyszedł dwusemestralny kurs eksperymentalny. ● Siostra Kathleen Sullivan w latach 1972-1974 w pięciu szkołach prowadziła lekcje według tego dwusemestralnego kursu.

22 W 1977 roku Edward Nelson wprowadził aksjomatyczne podejście do analizy niestandardowej: powstała Internal Set Theory (Teoria Zbiorów Wewnętrznych).

23 Edward Nelson (1932 - )

24 W 1980 roku Leif Arkeryd wprowadził analizę niestandardową do rozważań fizycznych z kinetycznej teorii gazów i równania Boltzmanna. Od 1980 roku wiele prac naukowych z ekonomii matematycznej używa analizy niestandardowej.

25 Wiele prac matematycznych poświęconych jest analizie niestandardowej

26 Opublikowano także wiele książek o tej tematyce

27

28

29

30

31

32 historia biegnie dalej...

33 Jak się przekonać, że liczby nieskończenie małe i nieskończenie duże istnieją?

34 Konstruujemy zbiór liczb hiperrzeczywistych Bierzemy zbiór liczb rzeczywistych. Wykonujemy operację ultrapotęgi (potęgi zredukowanej) nieskończenie wielu kopii zbioru liczb rzeczywistych. Otrzymujemy zbiór, który ma pod wieloma względami takie same własności, jak wyjściowy zbiór liczb rzeczywistych.

35 Podobnie możemy utworzyć inne zbiory liczbowe * ℕ = zbiór liczb hipernaturalnych * ℤ = zbiór liczb hipercałkowitych * ℚ = zbiór liczb hiperwymiernych * ℝ = zbiór liczb hiperrzeczywistych * ℂ = zbiór liczb hiperzespolonych * ℍ = zbiór hiperkwaternionów

36 Operacja ultrapotęgi zachowuje relacje pomiędzy liczbami Można porównywać liczby hiperrzeczywiste. Tak samo rozpoznaje się liczby nieujemne hiperrzeczywiste (bo są kwadratami). Można mówić o dzielnikach w zbiorze liczb hipercałkowitych. Istnieją nieskończone liczby pierwsze i są dowolnie duże.

37 Co nowego dostajemy? Liczby różniące się o liczbę skończoną tworzą zbiór zwany galaktyką. Liczby różniące się o nieskończenie małą tworzą zbiór zwany monadą. Zbiór liczb hiperrzeczywistych dzieli się na monady. Niektóre z monad są w jednej galaktyce.

38 Ta terminologia przypomina nam astronomię

39 Jednak są różnice W astronomii mamy tylko bardzo duże liczby skończone, a w analizie niestandardowej mamy liczby naprawdę nieskończone.

40 Ta terminologia ma związek z filozofią Leibniza

41 Podstawowe fakty Jest nieskończenie wiele galaktyk. Każda galaktyka składa się z nieskończenie wielu monad. Wszystkie liczby skończone tworzą galaktykę zera. Wszystkie liczby nieskończenie małe tworzą monadę zera.

42 Podstawowe fakty Budowa monady jest taka sama, jak całego „wszechświata”, bo odwrotnościami liczb nieskończenie małych są nieskończenie wielkie, a więc wszystkie spoza galaktyki zera.

43 Podstawowe fakty W każdej monadzie galaktyki zera jest po jednej liczbie rzeczywistej. Istnieje funkcja, która każdej skończenie dużej liczbie hiperrzeczywistej przyporządkowuje liczbę rzeczywistą, która jest w tej samej monadzie. Tę funkcję nazywany funkcją części standardowej st().

44 Zastosowania Funkcję części standardowej można wykorzystać w wielu sytuacjach: Zamiast liczyć pole koła można policzyć pole N-kąta foremnego wpisanego w to koło (dla nieskończonego N) i wziąć część standardową. Nieskończenie mała różnica pól zniknie.

45 Zastosowania Można podobnie liczyć dowolną całkę. Pewne konstrukcje matematyczne ( uzupełnienia przestrzeni ) dają się szybciej wykonać: można skonstruować liczby rzeczywiste z liczb hiperwymiernych.

46 Zastosowania Analiza niestandardowa pozwala wprowadzić dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa, które zastępują rozkłady ciągłe. W internecie dostępna jest książka: Edward Nelson: Radically Elementary Probability Theory, Princeton University Press, 1987, http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/rept.pdf

47 Zastosowania

48 To daje inny punkt widzenia na procesy przypadkowe w świe- cie, na przykład na procesy w świecie finansów...

49 Pójdźmy głębiej: Dotąd używaliśmy tylko ultrapotęgi zbioru liczb rzeczywistych. W praktyce matematycznej używa się zbiorów, zbiorów zbiorów, zbiorów zbiorów zbiorów... Tworzą one razem coś, co nazywa się superstrukturą.

50 Pójdźmy głębiej: Praktycznie wszystkie obiekty analizy matematycznej dają się zmieścić w tej hierarchii. W szczególności iloczyny kartezjańskie (a więc i relacje wieloagrumentowe) mieszczą się w superstrukturze (na przykład zbudowanej na zbiorze liczb rzeczywistych).

51 Pójdźmy głębiej: Można wziąć odpowiednią ultrapotęgę tej superstruktury. Świat obiektów matematycznych dzieli się na trzy części: obiekty standardowe - znane z tradycyjnej analizy, obiekty (niestandardowe) wewnętrzne i obiekty zewnętrzne.

52 Pójdźmy głębiej: Obiekty standardowe to odpowiedniki obiektów starej superstruktury. Obiekty wewnętrzne mają podobne własności, co obiekty standardowe. Obiekty zewnętrzne mają „brzydkie” własności, ale ich istnienie może być bardzo użyteczne. Na przykład funkcja części standardowej st () jest zewnętrzna!

53 Przykłady: Nieskończone liczby hipernaturalne są wewnętrzne, ale nie są standardowe. Zbiór liczb naturalnych, jako podzbiór zbioru liczb hipernaturalnych, jest zewnętrzny.

54 Zastosowania Zamiast skomplikowanej definicji ciągłości mamy nową definicję: funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy nie rozrywa monad, czyli jeśli x i y różnią się o nieskończenie małą, to ich obrazy f(x) i f(y) również.

55 Zastosowania W standardowym świecie możemy mówić o nieskończonym szeregu geometrycznym, że ma skończoną sumę, np.: suma szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie 1 i ilorazie 0,5 wynosi 2. (Numery składników są liczbami naturalnymi).

56 Zastosowania W niestandardowym świecie nie ma sensu suma składników numerowanych liczbami naturalnymi. Ale ma sens nieskończona suma składników indeksowanych liczbami hipernaturalnymi. Suma szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie 1 i o ilorazie 0,5 znów wynosi 2.

57 Zastosowania W świecie niestandardowym oprócz zbiorów skończonych mamy zbiory hiperskończone. Są to zbiory, których liczba elementów jest liczbą hipernaturalną (być może nieskończoną). Możemy podzielić odcinek jednostkowy na hiperskończenie wiele infinitezymalnych przedzialików.

58 Zastosowania W ten sposób możemy liczyć pola, objętości i inne wielkości związane z pojęciem całki z dokładnością do nieskończenie małej, a następnie otrzymać dokładną wartość rzeczywistą, korzystając z funkcji części standardowej.

59 Podejście aksjomatyczne (IST) W Teorii Zbiorów Wewnętrznych traktujemy na równi obiekty standardowe i obiekty wewnętrzne niestandardowe. (Zakładamy, że istniały one od zawsze i taki świat aksjomatyzujemy.) Obiekty zewnętrzne wyrzucamy z rozważań!

60 Podejście aksjomatyczne (IST) Do zwykłych aksjomatów teorii mnogości dodajemy trzy aksjomaty mówiące, jak się posługiwać nowym pojęciem „standardowy”. Konsekwencją aksjomatów jest, że:  każdy zbiór nieskończony ma elementy niestandardowe;  standardowe elementy dowolnego zbioru należą do pewnego jego (hiper)skończonego podzbioru.

61 Podejście aksjomatyczne (IST) Traktując elementy niestandardowe na równi ze standardowymi, nie trzeba dodawać przedrostka „hiper”. Zbiór skończony oznacza bowiem teraz tyle, co wcześniej zbiór hiperskończony. Nasze stare zbiory skończone (złożone z elementów standardowych) są teraz zbiorami skończonymi standardowymi.

62 Podsumowanie Analiza niestandardowa pozwala nam przechodzić łatwo od skończoności do nieskończoności i na odwrót. Nowym pojęciem jest hiperskończoność.

63 Co dalej? Każdy może znaleźć nowe zastosowania analizy niestandardowej.......a zatem, dlaczego by nie spróbować?

64 O analizie niestandardowej powiedziano: „Są powody wierzyć, że analiza niestandardowa, w tej lub innej wersji, będzie analizą przyszłości.” Kurt Gödel (1906-1978)

65 Kurt Gödel i Albert Einstein

66 Bardzo dziękuję za uwagę !