1 Geometría Analítica en el EspacioUNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE Facultad de Arquitectura y Urbanismo CIENCIAS BÁSICAS Geometría Analítica en el Espacio Realizado por el Magister Ingeniero Luis Kosteski para Analisis Matemático II de Ingeniería

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3 BREVE REPASO DE GEOMETRÍA EN EL PLANOEcuación Lineal( todas las variables están elevadas a la 1°)= Recta Ecuación General de la Recta: Ax + By + C= Y=f(x) Ecuación segmentaria de la Recta:

4 Ecuaciones cuadráticas (por lo menos una variables elevada al cuadrado) ⇒Cónicas Cónicas con centro en el origen: Si los términos son positivos = elipse Si además a=b=r = circunferencia

5 Un término positivo y el otro negativo = HipérbolaEl término negativo determina el eje imaginario. La curva NO corta al eje imaginario No se pueden dar dos términos negativos, pues no se estaría en el plano real.

6 Cónicas sin centro = ParábolaLa parábola rodea al eje de la variable lineal.

7 Funciones de dos VariablesUna función de dos variables en geometría representa una superficie en el especio de tres dimensiones (R3). Z= f(x,y) Dominios formado por dos variables independientes. Z0= posición de la imagen que corresponde al punto del dominio (x0, y0)

8 Ecuación Lineal ( todas las variables están elevadas ala 1° potencia) = PLANO ECUACIÓN General del Plano Ecuación segmentaria del Plano

9 SUPERFICIES CUÁDRICASCuádricas concentro en el origen: Variando los signos positivos y negativos se obtiene los distintos tipos de superficies. En este tipo de superficies existe una triple simetría, por lo tanto son simétricas respecto al punto de intersección entre las superficies. Entonces podemos decir que son simétricas respecto a un centro.

10 ELIPSOIDE Los tres términos cuadráticos positivos

11 DEFINICIÓN DE TRAZAS Curvas de intersección de la superficie con planos paralelos a los planos de coordenadas. Estas curvas se llaman trazas ( o secciones transversales) de la superficie.

12 TRAZAS Traza con el plano “xy”, z=0 Traza con el plano “xz”, y=0

13 Traza con el plano “yz”, x=0Si una de las trazas es una circunferencia se llama elipsoide de revolución. De acuerdo a los valores de os parámetros el elipsoide puede tomar distintas posiciones

14 En el caso , que todos los parámetros sean iguales, es decir a=b=c=r, se tiene una esfera

15 Dos términos cuadráticos positivos y uno negativo= HIPERBOLOIDE DE UNA HOJAEl hiperboloide NO CORTA al eje de la variable que está en el término negativo

16 Traza con el plano “xy”, z=0Hipérbola con eje real en “y”, eje imaginario en “x”

17 Traza con el plano “xz”, y=0Hipérbola con eje real en “z”, eje imaginario en “x”

18 Traza con el plano “yz”, x=0La elipse más pequeña, se la llama elipse de garganta ELIPSE

19 SI en vez de tener como traza una elipse se tiene una circunferencia, la superficie se llama HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA DE REVOLUCIÓN Esta es una superficie reglada, es decir, que se la puede obtener mediante rectas. De acuerdo a los valores de los parámetros el hiperboloide de una hoja puede tomar distintas posiciones.

20 Un término cuadrático positivo y dos términos cuadráticos negativos: HPERBOLOIDE DE DOS HOJASEl hiperboloide NO CORTA al plano formado por los ejes de las variables que están en los términos negativos

21 TRAZAS DEL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJASTraza con el plano “xy”, z=0 NO EXISTE TRAZA

22 Plano “xy”, z= d traza con |d | |c |Entonces: Y como |d | |c |, quiere decir que entonces se puede llegar a ELIPSE

23 Traza con el plano “xz”, y=0Hipérbola eje real en “z”, eje imaginario en “x”

24 Traza con el plano “yz”, x=0Hipérbola eje real en “z”, eje imaginario en “y”

25 Si los dos parámetro negativos tienen el mismo valor el HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS se dice de revolución ( se llega a a1=b1)

26 Cuádricas sin centro PARABOLOIDES

27 Los dos términos cuadráticos con el mismo signo: PARABOLOIDE ELÍPTICOEl paraboloide rodea al eje de la variable lineal

28 Trazas del paraboloide elípticoTraza con el plano “xy”, z=0 Punto (0,0), vértice del paraboloide

29 Traza con un plano paraleloal “xy”, z=d con d 0Entonces se puede llegar a: ELIPSE

30 Traza con el plano “xz”, y=0Parábola que abraza al eje “z”

31 Si la sección norma al eje que rodea al paraboloide es una circunferencia, es decir p=Q, el paraboloide se llama de revolución. Si el vértice está desplazado sobre el eje al que rodea el paraboloide, se tiene: Variando los parámetros ya mencionados y sus signos se pueden tener los siguientes paraboloides:

32 Los dos términos cuadráticos con distinto signo: PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

33 Trazas del paraboloide hiperbólicoTraza con el plano “xy”, z=0 Dos rectas que pasan por el origen

34 Traza con el plano “ xz”, y=0Parábola que abraza al eje “z” con ramas de concavidad negativas

35 Traza con el plano “yz”, x=0Parábola que abraza al eje “z”, con ramas de concavidad positivas

36 Si marcamos la intersección del paraboloide hiperbólico con los planos paralelos al “xy” tenemosz= d Dependiendo del signo de “d” son hipérbolas con eje imaginario x ó y

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38 El hiperboloide hiperbólico es una superficie reglada

39 Se llama superficie cilíndrica a una superficie generada por una recta que se desplaza paralela a si misma siguiendo una curva C llamada directriz

40 Si la directriz de una superficie cilíndrica en una circunferencia, la superficie se llama circular. Análogamente, tenemos superficies cilíndricas, parabólicas, elípticas e hiperbólicas