1 Geometría no euclidiana

2 Las geometrías donde el quinto postulado de Euclides no es válido se llaman geometrías no euclidianas.

3 Cierto interés práctico pero limitado (Trigonometría esférica utilizada en Astronomía)

4 El trabajo de Albert Einstein, hizo ver que entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas, para describir el espacio-tiempo curvo.

5 La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva. Si se consideran geometrías no-euclídeas homogéneas entonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades riemannianas generales.

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