1 Geometría

2 ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELASCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman 8 ángulos que según su posición reciben el nombre de:

3 Ejemplos

4 Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que partiendo del vértice divide al ángulo en dos partes iguales. Lado Bisectriz Vértice Lado

5 Ejemplo

6 EJERCICIOS Determine el valor de x si L1 // L2, y L3 es bisectriz del ángulo formado por L2 y L3. Determine qué ángulo menor forman las manecillas de un reloj que marcan las 3:30 hrs.

7 Ángulos Interiores de un Polígono¿Cómo calcular la suma de los ángulos interiores del pentágono de la figura? Número Diagonales de un Polígono Desde un vértice: Total de Diagonales:

8 Ángulos Interiores de un PolígonoÁNGULOS EXTERIORES La suma de los ángulos exteriores de un polígono siempre será de 360°.

9 ÁNGULOS EN UN POLÍGONO (REGULAR) Ángulos Interiores (C/U)Suma de los Ángulos Cóncavos de un polígono de n lados SN = 180° ( N + 2)

10 Ejercicios Calcula la suma de los ángulos interiores de éstos polígonos.

11 POLÍGONOS CÓNCAVOS Y CONVEXOSUn polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º y es cóncavo si al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

12 EJERCICIOS Determine qué ángulo menor forman las manecillas de un reloj que marca las 3:30 hrs. Sea x igual a la suma entre el complemento de la tercera parte de un ángulo extendido y la mitad del suplemento de 130°, entonces x es.

13 EJERCICIOS Determine la medida del ángulo x en el siguiente hexágono regular de centro O. En un octágono regular determinar: Suma de los ángulos interiores. Medida de un ángulo interior Diagonales desde un vértice Diagonales totales

14 Semejanza de figuras planas.

15 Semejanza de figuras planas.Un rectángulo tiene unas dimensiones de 8 cm X 20 cm. El lado menor de otro rectángulo semejante a él, mide 6 cm. Hallar: La razón de semejanza para pasar del primero al segundo. El lado mayor del segundo. Las áreas de ambos rectángulos. El perímetro de ambos rectángulos.

16 Semejanza de TriángulosLos Elementos Homólogos en triángulos semejantes corresponden a los lados opuestos a los mismos ángulos o elementos que cumplen la misma función en cada triángulo.

17 Ejercicio Si los lados homólogos de 2 triángulos semejantes están en la razón  2 : 5, entonces sus áreas están en la razón:

18 Semejanza de Triángulos.

19 Criterios de Semejanza.

20 Ejercicios Una maqueta de avioneta hecha a escala 1:50 tiene las siguientes medidas: Largo 32 cm, ancho 24 cm, alto 8 cm. Encontrar las dimensiones reales del aparato.

21 Ejercicios. Los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm. Se construye otro semejante a él cuyo lado menor mide 15 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza? Halla los otros lados del otro triángulo. El primer triángulo es rectángulo, se puede asegurar que el segundo también lo será.

22 Ejercicios Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m? ¿Estos triángulos serán semejantes?

23 Ejercicios

24 TEOREMA DE APOLONIO Válido para cualquier triángulo.CD es bisectriz del triángulo ABC, se cumple la siguiente proporción entre los lados y los segmentos que determina la bisectriz al intersectar el lado opuesto. AB bisectriz

25 Congruencia de Figuras PlanasDos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son congruentes si poseen lados y ángulos congruentes. Al superponer dos triángulos congruentes coincidirán totalmente (colocando los ángulos congruentes correspondientes uno sobre el otro)

26 Congruencia de TriángulosCriterios de Congruencia de Triángulos.

27 Congruencia de Triángulos

28 Congruencia de Triángulos

29 Ejercicios Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes. Un alumno para demostrar en el cuadrado de la figura que ABC congruente BCD, determinó que AB congruente BD, que AC congruente DC y que el

30 Ejercicios Los triángulos ABC y DEF de la figura son congruentes, entonces la medida de EF es: En la figura, el triángulo CDE es isósceles. C es punto medio de AD y D es punto medio de CB. ¿Qué criterio de congruencia permite demostrar que el triángulo ACE congruente triángulo BDE?

31 TEOREMA DE THALES

32 los segmentos a, b, c y d son proporcionales"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales” En el dibujo: Si L1 // L2 // L3 , T y S transversales, los segmentos a, b, c y d son proporcionales T S Es decir: L1 c a = L2 b d L3

33 Un ejemplo: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del trazo x8 24 x 15 Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales X 15 Es decir: 8 = 24 Y resolvemos la proporción 24 • x = 8 • 15 X =8 • 15 24 X = 5

34 Otro ejemplo: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CDFormamos la proporción 3 x+4 = x+1 2 Resolvemos la proporción 3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x= 8 - 3 X=5 Luego, como CD = x + 4 CD= = 9

35 Y nuevamente pensando en la pirámide…..TRIÁNGULOS DE  THALES Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.   S (sombra) H(altura de la pirámide) Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide s (sombra) h (altura de bastón)

36 Triángulos de Thales En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón  de semejanza  B C A D E AE AB AB AE De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre: ED = BC ED O también = BC

37 Aplicaciones de esta ideaCalcula la altura del siguiente edificio x x 5 3 12 Escribimos la proporción 3 15 = 5 Y resolvemos la proporción 3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25

38 Otro ejercicio En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AEFormamos la proporción A B C x+3 x 8 12 D E 8 12 = X+3 2x+3 Resolvemos la proporción 8(2x + 3) = 12( x + 3) 16x + 24 = 12x + 36 16x – 12x = 36 – 24 4x = 12 X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = = 6

39 Otro caso del Teorema de Thales

40 Ejercicios Sabiendo que Amelia tiene una altura de 162 cm, halla la altura de la farola

41 Ejercicios

42 Circunferencia: Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

43 Circunferencia: Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

44 ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIAQ  P Recta secante Cuerda PQ Radio Arco BQ A B  Diámetro AB ( ) Centro T  Punto de tangencia Recta tangente