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2 GEOMÉTRICOS MÉTODO DEL AGRIMENSOR PROBABILÍSTICOSMÉTODO DE MONTECARLO  BASADO EN LA SIGUIENTE DEDUCCIÓN: BASADO EN APROXIMAR LA SUPERFICIE A UNA POLIGONAL Y CONTAR PUNTOS BASADO EN LA TRIANGULACIÓN Y PRODUCTO VECTORIALES. BASADO EN LA GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS PARA ESTIMAR PROBABILIDADES OBTENCIÓN DEL ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE ZALAMEA DE LA SERENA CONCLUSIONES Y ERRORES COMETIDOS TEOREMA DE PICK

3 UNA DE LAS REFERENCIAS MÁS ANTIGUAS DEL VALOR DE  SE ENCUENTRA EN LA BIBLIA. LOS TRABAJOS DE ARQUÍMEDES DE SIRACUSA, MARCAN UN ANTES Y UN DESPUÉS EN EL CÁLCULO DE , DESARROLLANDO LOS INICIOS DEL CÁLCULO INTEGRAL INSCRIBE Y CIRCUNSCRIBE SENDOS HEXÁGONOS EN UNA CIRCUNFERENCIA CON 96 LADOS: 3,14084507 <  < 3,14285714. EL HOLANDÉS WILLEFORD SNELL (1580-1626) LLEGÓ A CALCULAR 35 CIFRAS DECIMALES EXACTAS UTILIZANDO POLÍGONOS DE 2³º LADOS. INTRODUCCIÓN

4  EULER ENCONTRÓ SERIES QUE PERMITEN CALCULAR EL VALOR DE  LA INVENCIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL POR LEIBNIZ Y NEWTON CAMBIA EL ENFOQUE A LA HORA DE INTENTAR CALCULAR EL NÚMERO  LEIBNIZ DESCUBRIÓ LA SIGUIENTE FÓRMULA

5 HOY EN DÍA, EL CÁLCULO DE UN VALOR ACEPTABLEMENTE BUENO DE  ESTÁ AL ALCANCE DE UN PAR DE ALUMNAS DE 4º DE ESO CON EL USO DE LOS ORDENADORES, EN LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XX SE HA PODIDO CALCULAR EL VALOR DE  CON UNA EXACTITUD INIMAGINABLE HASTA EL MOMENTO Y UTILIZANDO PARA ELLO TÉCNICAS ANTERIORMENTE IMPOSIBLES DE EMPLEAR EJEMPLO: TÉCNICAS PROBABILÍSTICAS (MÉTODO DE MONTECARLO)

6 B= PUNTOS DEL BORDE QUE COINCIDEN CON LOS NODOS DE LA CUADRICULA I= PUNTOS INTERIORES QUE COINCIDEN CON LOS NODOS DE LA CUADRÍCULA COMO CADA UNIDAD DE SUPERFICIE ES UN CUADRADO DE 100 METROS DE LADO, OBTENEMOS EL SIGUIENTE VALOR APROXIMADO DEL NÚCLEO URBANO DE ZALAMEA DE LA SERENA HEMOS APROXIMADO LA SUPERFICIE DE ZALAMEA DE LA SERENA POR UNA POLIGONAL CUYOS VÉRTICES COINCIDAN CON LOS DE LA CUADRÍCULA. TEOREMA DE PICK EL TEOREMA DE PICK FUE DESCUBIERTO POR GEORGE PICK NACIDO EN VENECIA EN 1859. PARA VER LA UTILIDAD DE ESTE MÉTODO LO HEMOS APLICADO PARA CALCULAR AL ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE LA POBLACIÓN DE ZALAMEA DE LA SERENA

7 SUPERPONEMOS SOBRE ESTE POLÍGONO UN SISTEMA DE EJES COORDENADOS COMENZANDO POR UN VÉRTICE CUALQUIERA NUMERAMOS DE FORMA CONSECUTIVA, EN SENTIDO HORARIO O ANTIHORARIO : Y APLICANDO LA FÓRMULA: MÉTODO DEL AGRIMENSOR

8 APLICANDO LA FÓRMULA OBTENEMOS 100,5 UNIDADES CUADRADAS, IGUAL RESULTADO QUE EMPLEANDO LA FÓRMULA DE PICK. NUMERAMOS LOS PUNTOS EN EL EJE DE COORDENADAS QUE HEMOS ELEGIDO Y UTILIZANDO UNA HOJA DE CÁLCULO EXCEL HALLAMOS EL ÁREA. Aproximación Agrimensor PUNTOSX YProductos(+) Productos(-) 16000 270140 3821618 4922718 5933627 6943640 525156 536106 160 Total (+)Total (-)Área 23392138100,5 1ª COLUMNA: PUNTOS NUMERADOS 2ª Y 3ª COLUMNAS: COORDENADAS X e Y

9  PERMITE RESOLVER PROBLEMAS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS MEDIANTE LA SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS MÉTODO DE MONTE CARLO AL LANZAR UN DARDO ALEATORIO SOBRE EL CUADRADO, LA PROBABILIDAD DE QUE ÉSTE CAIGA DENTRO DEL CÍRCULO DEBE SER PROPORCIONAL AL ÁREA DEL CÍRCULO

10 ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE LA POBLACIÓN DE ZALAMEA DE LA SERENA AL LANZAR 100 PUNTOS AL LANZAR 200 PUNTOS AL LANZAR 400 PUNTOS CUANTOS MÁS PUNTOS ALEATORIOS SON GENERADOS, MENOR ES EL ERROR COMETIDO

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12 FÓRMULA DE PICK RADIO EN 2 PARTES HALLAREMOS EL ÁREA DE UN CUARTO DE CÍRCULO DE RADIO UNIDAD SOBRE EL QUE SE HA SUPERPUESTO UNA CUADRÍCULA DIVIDIENDO SU RADIO 2, 4, 10, 12 Y 50 PARTES IGUALES COMO EL RADIO, LO HEMOS DIVIDIDO EN DOS PARTES DE 0,5 CADA UNA, CADA UNIDAD CUADRADA TENDRÁ UN VALOR DE 0,25

13 RADIO EN 12 PARTES RADIO EN 50 PARTES RADIO EN 4 PARTES RADIO EN 10 PARTES Nº de DIVISIONES ÁREA APROXIMADA DE PI ERROR RELATIVO (%) 2 23,5 11,41 % 4 43,1255,28 % 10 3,11,27 % 12 3,11111111110,920 % 50 3,14560,1783 %

14 SE HA DISEÑADO PARA ELLO UNA HOJA DE CÁLCULO, TENIENDO EN CUENTA LOS DATOS ANTERIORES CUADRANTE DE RADIO UNIDAD EN EJES COORDENADOS MÉTODO DEL AGRIMENSOR

15 APROXIMACIONES SUCESIVAS: SE HAN REALIZADO LOS CÁLCULOS ESCOGIENDO LOS PUNTOS FORMANDO ENTRE ELLOS ÁNGULOS DE 15º, 10º, 5º, 2º, 1º, 0’5º, 0’2º, 0’1º, 0’05º, 0’02º Y 0’01º. A CONTINUACIÓN SE EXPONEN LOS RESULTADOS OBTENIDOS: RESULTADOS GradosÁREA APROXIMADA DE PIError (%) 3034,50703414486279000000 153,105828541,13840705346305000000 103,12566720,50692299547011100000 53,137606740,12687560462499900000 23,14095470,02030659079825370000 13,141390630,00643052867966673000 0'53,141556770,00114236767505909000 0'23.141272210,00020307816682978600 0'13,141591060,00005076955734163970 0'053.141592250,00001269237149603210 0'023,141592590,00000203056505923640 0'013.141592640,00000050696390561254

16 MÉTODO DE MONTECARLO LANZAMOS UNA SERIE DE PUNTOS ALEATORIOS SOBRE UN CUADRADO DE LADO 2 EN EL QUE SE HA INSCRITO UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO LA UNIDAD CENTRADA EN EL ORIGEN DE COORDENADAS. PARA APLICAR EL MÉTODO DE MONTECARLO, CALCULAR EL VALOR DE  Y EL ERROR COMETIDO, SE HA UTILIZADO UNA HOJA DE CÁLCULO COMO LA SIGUIENTE:

17 COLUMNA A: LOS PUNTOS LANZADOS ALEATORIAMENTE; COLUMNAS B Y C: LAS COORDENADAS X E Y DE DICHOS PUNTOS, OBTENIDOS CON LA FÓRMULA MATEMÁTICA =ALEATORIO() QUE NOS APORTA LA HOJA DE CÁLCULO. COLUMNA D: APLICAMOS UNA FÓRMULA (PRUEBA_LÓGICA) COMO SE APRECIA EN LA IMAGEN QUE NOS DETERMINA SI LA DISTANCIA DEL PUNTO LANZADO AL ORIGEN ES MENOR QUE 1 Y POR TANTO, SI EL PUNTO ESTÁ DENTRO DEL CÍRCULO COLUMNA E: SUMA EL TOTAL DE PUNTOS QUE ESTÁN DENTRO DEL CÍRCULO COLUMNA F: SE CALCULA EL VALOR DE . COMO YA SE HA VISTO CON ANTERIORIDAD CUANDO FUE EXPUESTO EL MÉTODO DE MONTECARLO

18 SE HAN REALIZADO CÁLCULOS LANZANDO MÁS DE 200 000 PUNTOS LA SIGUIENTE TABLA RESUME LOS RESULTADOS OBTENIDOS: Nº PUNTOSAPROXIMACIÓNERROR % 200003,13740,133456309 400003,14090,022047849 600003,1350,209850681 800003,136150,173245044 1000003,135520,193298567 1200003,1343333330,23107134 1400003,1375714290,127999568 1600003,1384250,100829545 1800003,1376222220,126382756 2000003,139420,069157712

19 CONCLUSIONES  MÉTODO DE PICK: FACILIDAD DE APLICACIÓN Y RESULTADO BASTANTE ACEPTABLE TANTO EN EL CÁLCULO DE ÁREA IRREGULARES COMO EL CÁLCULO DE PI, EN EL QUE SE HA LLEGADO A UN VALOR DE 3,1456 CON UN ERROR RELATIVO DE 0,1783 %.  MÉTODO DEL AGRIMENSOR: NECESITA DE CÁLCULO ALGO MÁS ELABORADOS, OBTENIENDO EN EL CÁLCULO DE ÁREAS IRREGULARES EL MISMO RESULTADO QUE EL MÉTODO DE PICK Y DANDONOS UN RESULTADO DE PI DE 3,14159264 CON UN ERROR RELATIVO MUY BAJO, 0’00000050696390561254 %