1 Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

2 Geometría Analítica PlanaGráfica de una ecuación y lugares geométricos Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría Extensión de la curva Asíntotas Construcción de curvas

3 Geometría Analítica PlanaGráfica de una ecuación y lugares geométricos Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica

4 Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica

5 Dos problemas fundamentales de la Geometría AnalíticaDada una ecuación, interpretarla geométricamente Dada un figura geométrica, determinar su ecuación

6 Geometría Analítica PlanaGráfica de una ecuación y lugares geométricos Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

7 Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

8 Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

9 Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

10 Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

11 Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación.Definición: El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de la ecuación ó lugar geométrico.

12 Para trazar una gráficaPlano cartesiano Ecuación Se necesita Lugar geométrico ó gráfica de la ecuación Pares ordenados de puntos Ejemplo de notas

13 Características de la ecuaciónEl conjunto solución de la ecuación, formado por los puntos ordenados, debe pertenecer al conjunto de los números reales Al menos una de las variables debe de estar en función de otra

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16 x y -3

17 x y -3 1 -1

18 x y -3 1 -1 -5

19 x y -3 1 -1 -5 2

20 x y -3 1 -1 -5 2 -2 -7

21 x y -3 1 -1 -5 2 -2 -7 3

22 x y -3 1 -1 -5 2 -2 -7 3 -9

23 x y -3 1 -1 -5 2 -2 -7 3 -9 4 5

24 x y -3 1 -1 -5 2 -2 -7 3 -9 4 5 -4 -11

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26 Construcción de la curvaCriterios Extensión de la curva Intersección con los ejes Cálculo de coordenadas Construcción de la curva Simetría Asíntotas

27 Intersección con los ejes coordenadosGeometría Analítica Plana Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Intersección con los ejes coordenados

28 Intersección con el eje X

29 Intersección con el eje XPara encontrar la intersección con el eje X: Se hace y = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante

30 Intersección con el eje X. Ejemplo

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32 Intersección con el eje Y

33 Intersección con el eje YPara encontrar la intersección con el eje Y: Se hace x = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante

34 Intersección con el eje Y. Ejemplo

35

36 Simetría Geometría Analítica PlanaGráfica de una ecuación y lugares geométricos Simetría

37 Simetría

38 Simetría

39 Simetría

40 Simetría

41 Simetría Se dice que dos puntos son simétricos a un punto O, si O es el punto medio del segmento que los une. El punto O se llama centro de simetría. A B O

42 Simetría El punto O se llama centro de simetría. A B O

43 Simetría A B O

44 Simetría Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que estos dos puntos son simétricos respecto al eje. y x O P(x, y) P’(a, b) M(x, 0)

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46 Simetría Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O, cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que dos puntos son simétricos respecto a O.

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48 Simetría

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50 Simetría con respecto al eje X

51 Simetría con respecto al eje X

52 Simetría con respecto al eje X

53 Simetría con respecto al eje X

54 Simetría con respecto al eje XSi la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por –y, la curva es simétrica respecto al eje X. El recíproco también es verdadero

55 x y 0.0 1.0 -1.0 2.0 1.4 -1.4 3.0 1.7 -1.7 4.0 -2.0 5.0 2.2 -2.2 6.0 2.4 -2.4 7.0 2.6 -2.6 8.0 2.8 -2.8 9.0 -3.0 10.0 3.2 -3.2 11.0 3.3 -3.3 12.0 3.5 -3.5 13.0 3.6 -3.6 14.0 3.7 -3.7 15.0 3.9 -3.9 16.0 -4.0 17.0 4.1 -4.1 18.0 4.2 -4.2 19.0 4.4 -4.4 20.0 4.5 -4.5

56 Simetría con respecto al eje YSi la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por –x, la curva es simétrica respecto al eje Y.

57 x y -10 100 -9 81 -8 64 -7 49 -6 36 -5 25 -4 16 -3 9 -2 4 -1 1 2 3 5 6 7 8 10 11 121

58 Simetría con respecto al origen3) Si la ecuación de una curva no se altera cuando las variables x y y son reemplazadas por –x y –y, la curva es simétrica respecto al origen O.

59 x y -10 -1000 -9 -729 -8 -512 -7 -343 -6 -216 -5 -125 -4 -64 -3 -27 -2 -1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 512 9 729 10 1000 11 1331

60 Simetría

61 Simetría

62 Extensión de la curva Geometría Analítica PlanaGráfica de una ecuación y lugares geométricos Extensión de la curva

63 Extensión de una curva La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y son valores reales.

64 Extensión de una curva Es útil porque:La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y Es útil porque: da la localización general de la curva en el plano e indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida.

65 Extensión de una curva Los intervalos para los cuales los valores de x e y son reales se determinan resolviendo la ecuación dada para y en términos de x, y para x en términos de y

66 Extensión de una curva. Ejemplo 1

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68

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71 Extensión de una curva. Ejemplo 2

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74 Asíntotas Geometría Analítica PlanaGráfica de una ecuación y lugares geométricos Asíntotas

75 Asíntotas Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva.

76 Asíntotas Esta definición implica dos cosas :una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado

77 Asíntotas Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares . Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal. Si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical. Si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, asíntota oblicua.

78 Asíntotas Aquí consideraremos solamente la determinación de asíntotas verticales y horizontales. Posteriormente veremos la determinación de asíntotas oblicuas para una curva particular conocida con el nombre de hipérbola.

79 Asíntotas Se debe tener presente que una curva no tiene necesariamente una o más asíntotas. Hay muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin embargo , si una curva tiene asíntotas, su determinación será , como veremos , una gran ayuda para construir su gráfica.

80 Asíntotas

81 Recta paralela al eje Y

82 Recta paralela al eje Y

83 Recta paralela al eje Y

84 Recta paralela al eje X

85 Asíntotas

86 Asíntotas verticales

87 Asíntotas horizontales

88 Asíntotas. Ejemplo 1

89 Asíntotas. Ejemplo 1

90 Asíntotas. Ejemplo 1

91 Asíntotas. Ejemplo 1

92 Asíntotas. Ejemplo 1

93 Asíntotas. Ejemplo 1

94 Asíntotas. Ejemplo 2

95 Asíntotas. Ejemplo 2

96 Asíntotas. Ejemplo 2

97 Asíntotas. Ejemplo 2 ¡Hay dos asíntotas!

98 Asíntotas. Ejemplo 2

99 Asíntotas. Ejemplo 2

100 Asíntotas. Ejemplo 2

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103 Asíntotas. Notas