1 Graficación IA7200-T Bases Matemáticas

2 Bases Matemáticas Vectores Producto interno DeterminantesProducto vectorial Orientación de 3 puntos Polígonos Punto en un triángulo/polígono/línea Distancia/proyección entre punto y línea Triangulación de polígonos Graficación

3 Vectores Concepto matemático de vector ≠ Java Vector.Los vectores no se alteran por translaciones a=b Graficación

4 Vectores c=a+b |a|=longitud de a 0=vector cero |0|=0-a: |-a|=|a|, dir. op. ca: |ca|=c|a| Dirección de a si c>0 Opuesta si c<0 Graficación

5 Vectores i, j yk - vectores ortogonales unitariosSistema derecho: rotación de i en la dirección de j corresponde a girar un tornillo derecho, así k tiene la dirección en que el tornillo avanza Graficación

6 Vectores Cualquier vector puede expresarse como: v=xi+yj+zkSe escribe: v=[x,y,z]=(x,y,z) Graficación

7 Producto Interno a  b = |a| |b| Cos γ Si a,b ≠ 0 a  b = 0 otro casoi  i = j  j = k  k = 1 i  j = j  i = j  k = k  j = k  i = i  k = 0 |a| = √(a  a) Graficación

8 Producto Interno c(k uv) =ck(uv) (cu+kv)w = cuw+kvw uv=vuuu=0 solo si u=0 u = [u1 u2 u3] y v = [v1 v2 v3] uv = u1v1+u2v2+u3v3 Graficación

9 Determinantes Graficación

10 Determinantes Graficación

11 Determinantes Donde Mij (menor), se obtiene de D borrando el renglón i y la columna j. Graficación

12 Determinantes - PropiedadesGraficación

13 Determinantes - PropiedadesGraficación

14 Determinantes - AplicaciónElegancia: Ecuación de línea que pasa por P1(x1, y1) y P2(x2, y2) Ecuación del plano que pasa por P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) y P3(x3, y3, z3) Graficación

15 Determinantes - AplicaciónGraficación

16 Determinantes - AplicaciónGraficación

17 Producto Cruz v = a × b |v| = |a| |b| Sen γSi a = cb, c escalar, v = 0 Graficación

18 Producto Cruz - PropiedadesGraficación

19 Producto Cruz Graficación

20 Orientación de 3 Puntos ¿(A, B, C) giran con o contra el reloj? 1 -11 -1 0 si son colineales Graficación

21 Orientación de 3 Puntos Definimos: a = CA b = CBSi podemos girar a <180° y llegar a b, es positiva Graficación

22 Orientación de 3 Puntos Si a y b terminan en (a1, a2,0) y (b1, b2, 0), respectivamente Graficación

23 Orientación de 3 Puntos Solución 2D: α ángulo entre a y x+β ángulo entre b y x+ Respuesta: (β – α) < 180° Graficación

24 Polígonos Secuencia de puntos n>=3 sin intersecciónvértices sucesivos no colineales Convexos: ángulos interiores < 180° Cóncavos: no convexos Graficación

25 Polígonos - Area |a×b| = área del paralelogramo formado por a y b2 área del triángulo formado por a y b Válido solo si A,B,C van contra el reloj. Si no, tomar el valor absoluto. Graficación

26 Polígonos - Area En general, para cualquier polígono, cóncavo o convexo: Graficación

27 Punto dentro de un TriánguloP está dentro de ABC si la orientación de ABP, BCP y CAP es la misma que la de ABC Graficación

28 Punto dentro de un PolígonoTrazar una semilínea: True si el número de intersecciones es impar False si el número de intersecciones es par Ignorar: Horizontales Máximos Mínimos Graficación

29 Punto dentro de un PolígonoPara ignorar horizontales, máximos y mínimos, incrementar intersecciones si el lado del vértice i al i+1 cumple con: Considerar el segmento AB solo si está a la derecha de P. ABP va contra el reloj. Graficación

30 { Punto en una Línea Para saber si P está en la líneaverificamos que P satisfaga la ecuación Si se trata de un segmento de línea AB: { = Graficación

31 Distancia de un Punto a una LíneaGraficación

32 Distancia de un Punto a una LíneaSi la ec. de la línea es Donde Entonces Graficación

33 Distancia de un Punto a una LíneaGraficación

34 Proyección de un Punto en una LíneaDados L y P (no en L), determinar la proyección, P’, de P en L. P’ tiene las siguientes propiedades: P’ es el punto mas cercano a P en L La long. de P P’, es la distancia de P a L P P’ y L son perpendiculares Graficación

35 Proyección de un Punto en una LíneaVector unitario en dir. AB: La long. de AP’: Graficación

36 Proyección de un Punto en una LíneaGraficación

37 Triangulación de PolígonosDado un polígono almacenado en un vector de n puntos (ccw), se desea dividirlo en triángulos. El resultado se almacena en un vector de n-2 triángulos. Repetir n-2 veces: Recorrer los vértices del polígono ccw. Para cada tres vértices P, Q y R, donde Q es convexo Cortar el triángulo PQR si no contiene ningún otro vértice Graficación

38 Triangulación de PolígonosGraficación

39 Triangulación de PolígonosVer Myprog15 Graficación