1 Gramatyki LindenmayeraPowstanie Deterministyczny L-system

2 Gramatyki LindenmayeraInna nazwa to równolegle przepisujące systemu lub L-systemy, Twórcą jest biolog Aristid Lindenmayer, który w 1968 roku stworzył formalny sposób opisu wzrostu roślin. Polegają na zamianie modułu zwanego rodzicem, matką lub przodkiem na moduł zwany dzieckiem, córką lub potomkiem.

3 Rodzaje L-systemów D0L-system - deterministyczny, bezkontekstowy L-system, D1L-system - deterministyczny, wrażliwy na kontekst L-system, 0L-system - stochastyczny, bezkontekstowy L-system, 1L-system - stochastyczny, z kontekstem jednostronnym L-system, 2L-system - stochastyczny, z kontekstem dwustronnym (prawym i lewym) L-system, parametryczny L-system, Inne – różniczkowe, z elementami programowani itd.

4 Relacje między językamiRelacje pomiędzy klasyfikacją języków Chomsky’ego (białe pola) a klasami języków generowanymi przez L-systemy (pola szare), gdzie OL oznacza L-system bezkontekstowy a IL oznacza L-system wrażliwy na I kontekstów za (Prusinkiewicz, Lindenmayer 1996)

5 L-systemy jak to działa:Przepisywanie zaczynamy od pojedynczego modułu zwanego aksjomatem, W trakcie symulacji korzystamy z reguł przepisania, które w najprostszym przypadku mają postać: Poprzednik  Następnik Przepisanie polega znalezieniu reguły gdzie poprzednik pasuje do modułu matki i zastąpieniu tego modułu sekwencją z następnika.

6 Niech V oznacza alfabet składający się z liter, zaś VNiech V oznacza alfabet składający się z liter, zaś V* będzie zbiorem wszystkich słów nad zbiorem V oraz V+ będzie zbiorem wszystkich niepustych słów ze zbioru V*. Przez słowo nad alfabetem V, rozumiemy złożony ciąg symboli z V

7 D0L-system – opis formalnyD0L-system to uporządkowaną trójka G = (, P, ), gdzie = {s1, s2, , sn} jest alfabetem,  - aksjomatem oraz  należy do zbioru *, który jest zbiorem wszystkich ciągów symboli z . Przekształcenie przepisywania jest określone jako: P : * z s  P(s) dla każdego s. Każdemu symbolowi s odpowiada tylko jedna reguła przepisywania. L-system generuje kolejne sekwencje: (0), (1),  (2), Sekwencje  (i+1) otrzymujemy z poprzedniej  (i) przez zastosowanie reguł podstawiania do wszystkich m symboli 1(i) , , m(i) ciągu jednocześnie:  (i+1) = P(1(i))P(2(i) ) P(m(i) )

8 Determinizm L-systemówOL-system jest deterministyczny, gdy dla każdego a V istnieje dokładnie jedno  V* takie, że a   (to znaczy, że dla każdego symbolu a V istnieje tylko jedna reguła podstawiania Pa).

9 Niech  = a­1,…,am będzie dowolnym słowem ze zbioru VNiech  = a­1,…,am będzie dowolnym słowem ze zbioru V. Słowo  = 1,…, mV* bezpośrednio wyprowadzone (wygenerowane) przez  oznaczymy symbolem   . Oczywiście,    wtedy i tylko wtedy, gdy ai  ­­­i dla i=1,2,…,m. Słowo  jest generowane przez gramatykę G wyprowadzeniem o długości m jeśli istnieje ewolucyjna sekwencja słów 0, 1,…, m taka, że 0 = ω, m =  oraz 01…m.

10 Definicja rekurencyjnaRozważmy DOL-system G = i aV i nn oznaczmy µ(n) jako słowo wyprowadzone z µ w wyprowadzeniu o długości n: Jeśli µb1b2…bm jest produkcją w G, to dla każdego n1 słowo µ(n) spełnia formułę rekurencyjną: µ(n)=b1(n-1)b2(n-1)…bm(n-1) Rozłóżmy derywację na pierwszy krok i pozostałe n-1 kroków: Wtedy µ(n)=b1(n-1)b2(n-1)…bm(n-1).

11 Dany DOL-system G = , będący zbiorem rekurencyjnych formuł w postaci wraz z początkowymi warunkami µ(0)=µ, dla µV nazywamy rekurencyjnym systemem G.

12 D0L-system – przykład Anabena Catenula - glon sinicaReguły przepisania: Sekwencja produkcji:

13 Definicja – IL-systemyIL-system definiuje się jako uporządkowaną trójkę . gdzie: V – to alfabet systemu, ω  V+, to niepuste słowo zwane aksjomatem, P  V  V* jest skończonym zbiorem produkcji (inaczej zbiorem reguł).

14 Produkcję (al,ap,a,)P oznacza się jako al < a > ap  , gdzie: al to lewy kontekst, a – poprzednik, ap - prawy kontekst zaś  to następnik. Jeśli nie ma zdefiniowanej żadnej produkcji dla danego poprzednika a V to wtedy przyjmuje się, że istnieje produkcja identyczności aa należąca do zbioru produkcji P.

15 Jeżeli IL-system posiada tylko jeden kontekst to możliwe są dwa rodzaje produkcji:al < a   - z lewym kontekstem, a > ap   - z prawym kontekstem. Sposób wyprowadzania sekwencji z produkcji wygląda tak samo jak w przypadku DOL-systemów z tym, że teraz uwzględnia się odpowiednią liczbę kontekstów.

16 IL-system – Przykład 1 Niech dany będzie 1L-system generujący dźwięki,, gdzie: V ={a,c,d,e,f,g,h}, ω: c g f c p1: c > g ca p2: f < c  ac p3 : c < a  e Efekt przepisań: ω: c g f c 1: c a g f a c 2: c e g f a c

17 IL-system – Przykład 2 Niech dany będzie 2L-system generujący dźwiękigdzie: V ={a1,a2,c1,c2,d1,d2,e1,e2,f1,f2,g1,g2,h1,h2}, ω= c1 d1 e1 f1 g1 a1 h1 p1: c1 e1  c2 p2: f1 a1  f2 p3 : c1 c2 < e1> f1  h1 Efekt przepisań: ω: c1 d1 e1 f1 g1 a1 h1 1: c1 c2 e1 f1 f2 a1 h1 2: c1 c2 h1 f1 f2 a1 h1

18 Literatura H.-O. Peitgen, H. J¨urgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.2, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1996; A. Lindenmayer, P. Prusinkiewicz, The Algorithmic Beauty of Plants”, Springer-Verlag, Elektroniczna wersja opublikowana w 2004

19 Literatura Jacob Ch. (1995) Modeling Growth with L-systems & Mathematica, Mathematica in Education and Research, Volume 4, No. 3 (1995), TELOS-Springer, pp ,

20 Literatura Rozenberg G., Saloma A (1980). The mathematical theory of L-systems. Academic Press, New York,