1 Grażyna Ziobro-MarcinkiewiczLogika matematyczna Grażyna Ziobro-Marcinkiewicz

2 Spis treści Historia logiki Rachunek zdańpojęcie zdania logicznego i wartości logicznej spójniki logiczne tautologie kwantyfikatory

3 Historia logiki Arystoteles logikę traktował jako narzędzie:używane do prowadzenia sporów retorycznych, głównie z sofistami umożliwiające wyciąganie wniosków za pomocą sylogizmów, co było pomocne w zdobywaniu wiedzy naukowej Logika nie była traktowana jako nauka ani jako system, jednak Arystoteles dał podstawy do rozwoju logiki jako odrębnej dyscypliny badawczej rozwijając takie zagadnienia jak: definiowanie, klasyfikowanie logiczne, wnioskowanie indukcyjne, czy pojęcie dowodu.

4 Pierwsze ogólne schematy poprawnych sformułowań IV w. p.n.e.Arystoteles podał także trzy zasady, nazywane czasem najwyższymi prawami myślenia: zasadę tożsamości zasadę sprzeczności zasadę wyłączonego środka

5 Okres intensywnego rozwoju logiki II połowa XIX w., XX w.George Boole August de Morgan Charles Peirce Ernest Schröder

6 Wkład polskich matematyków w rozwój logikiXIX/XX w. Jan Łukasiewicz XX w. Alfred Tarski Stanisław Leśniewski Andrzej Mostowski

7 Zdanie logiczne i wartość logicznaZdaniem w matematyce nazywamy takie zdanie w sensie gramatycznym, o którym można jednoznacznie orzec, czy jest prawdziwe czy fałszywe. Wartość logiczną zdania prawdziwego oznaczamy przez 1, zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0. Zdania na ogół oznaczamy literami: p, q, r….

8 Podstawowy odpowiednik w języku naturalnym Przykładowe zastosowanieSpójniki logiczne Nazwa spójnika Symbol Podstawowy odpowiednik w języku naturalnym Przykładowe zastosowanie Negacja ~ nieprawda, że ~ p ~ (p ν q) Koniunkcja Λ i p Λ q p Λ (~q ↔r) Alternatywa ν lub p ν q ( p → q) ν (r Λ ~s) Implikacja → jeśli …, to p → q ( p ν q ) → ~ r Równoważność ↔ wtedy i tylko wtedy, gdy p ↔ q ( p Λ ~ q) ↔ (~ r → ~s)

9 Tabelki zero - jedynkowep q p Λ q p ν q p → q p ↔ q 1

10 Tautologie i kontrtautologieTautologie, to schematy, które w każdym przypadku dają ostateczne zdanie prawdziwe Kontrtautologie, to schematy, które generują zdania fałszywe

11 Kwantyfikatory Wyrażenie: „ dla każdego...” nazywamy kwantyfikatorem ogólnym ( lub dużym ) i zapisujemy: Wyrażenie: „ istnieje...” nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym ( lub małym) i zapisujemy: