1 GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIALLINEA DE INVESTIGACION EN CONTROL DE PROCESOS Profesores: Edinson Franco Mejía y Jesús A. González
2 Por que identificar?
3 Un modelo representa tres tipos de conocimiento Estructura (Ecuaciones, diagramas de bloque o de flujo, conexión de matrices, etc.) Valores de parámetros Valores de los estados en cierto instante o como funciones de tiempo.
4 Esquema general de la identificaciónEntradas Salidas PROCESO Algoritmo de Identificación Modelo Matemático
5 Elementos de la IdentificaciónExperimento Clases de modelos Criterios
6 Representaciones No Paramétricasej. : respuesta al impulso, respuesta de frecuencia, respuesta al escalón. Paramétricas ej. : función de transferencia, ecuación diferencial o ecuación de diferencias.
7 Metodología de la IdentificaciónPlanificación experimental Selección de la estructura de modelos Formulación de un criterio Estimación de parámetros Validación del modelo obtenido
8 Metodología de la Identificación
9 Protocolo de la toma de datos :Preparación del experimento Protocolo de la toma de datos : la entrada debe reunir las siguientes características: Tener un valor DC conocido para ubicar el proceso en un adecuado punto de funcionamiento. Ser limitada en amplitud, para no sacar el proceso de su punto de funcionamiento. Ser rica en contenido frecuencial.
10 Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA).La longitud máxima de una secuencia es 2N-1
11 Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA).
12 Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA).La magnitud de la SBPA es un aspecto importantísimo, valores muy grandes pueden perturbar demasiado al proceso, sacándolo de su punto de funcionamiento, mientras valores muy pequeños producen efectos sobre la salida que pueden ser ocultados por el ruido, según las pruebas efectuadas esta magnitud puede ser entre el 10% y 20%, dependiendo de la relación señal / ruido presente en cada proceso.
13 Amplitud de la secuencia(SBPA) Amplitud de la secuencia La magnitud de la SBPA es un aspecto importantísimo, valores muy grandes pueden perturbar demasiado al proceso, sacándolo de su punto de funcionamiento, mientras valores muy pequeños producen efectos sobre la salida que pueden ser ocultados por el ruido, según las pruebas efectuadas esta magnitud puede ser entre el 10% y 20%, dependiendo de la relación señal / ruido presente en cada proceso.
14 Frecuencia de la secuencia(SBPA) Frecuencia de la secuencia Para fines prácticos se selecciona como frecuencia de reloj para la SBPA. un múltiplo de la frecuencia de muestreo Se recomienda escoger .
15 Longitud de la toma de datos(SBPA) Longitud de la toma de datos Se recomienda que sea tal que se pueda: Realizar una identificación básica con la primera tercera parte de los datos. Con el segundo tercio, realizar la identificación. Con la última parte realizar una validación de la identificación.
16 Preprocesamiento básico de los datosSe debe remover las tendencias de la señal. Si la toma de datos fue realizada a un alta rata de muestreo, hay que considerar la posibilidad de hacer un filtrado de los datos, considerese que puede haber efectos de solapamiento de datos. Lo mas complicado es detectar si existen señales de ruido indeseables que deban ser filtradas en el preprocesamiento.
17 IDENTIFICACION OFF-LINEESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE UN MODELO EN TIEMPO DISCRETO A PARTIR DE DATOS DE ENTRADA-SALIDA LIBRES DE RUIDO
18 IDENTIFICACION OFF-LINE
19 IDENTIFICACION OFF-LINE
20 IDENTIFICACION OFF-LINEp : Número de datos o muestras tomadas Para realizar la estimación se debe coleccionar p=m+n+1 datos y se debe cumplir que det[A’k] diferente de cero
21 Representación de Sistemas Dinámicos en el dominio del tiempoEsquema General para sistemas LTI Caso general
22 Representación de Sistemas LTIDonde
23 Representación...-casos particulares- EstructurasModelo FIR (Respuesta al impulso Finita) Donde: y G(q)=B(q)
24 Representación...-casos particulares- EstructurasModelo OE (Output Error) Donde: y G(q)=B(q)/F(q)
25 Representación...-casos particulares- EstructurasModelo BJ (Box Jenkins) Donde: y (no tienen parámetros comunes)
26 Representación...-casos particulares- EstructurasModelo ARMAX (Auto Regressive Moving Average) Donde:
27 Representación...-casos particulares- EstructurasModelo ARX (AutoRegressive with eXternal input) Donde:
28 IDENTIFICACION POR MINIMOS CUADRADOSGICI IDENTIFICACION POR MINIMOS CUADRADOS Mínimos Cuadrados Lineales y dada la estructura del modelo, pero con parámetros desconocidos, se debe encontrar el que minimiza : El problema: Dado un conjunto de N pares de medidas de entrada salida,
29 GICI Mínimos Cuadrados Lineales Vector de parámetros estimadosModelo de regresión lineal para FIR y ARX Para modelos de regresión lineal El termino interno de la sumatoria La solución óptima
30 GICI Mínimos Cuadrados LinealesLa solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertible
31 GICI Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados LinealesSupongase un sistema real dado por: La solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertible
32 GICI Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales Donde:Matriz de covarianza del vector de regresión d es la cantidad de parámetros a estimar R es una matriz de covarianza cuadrada dxd La ecuación solo es válida cuando se conoce de modo exacto la estructura del modelo
33 GICI Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados LinealesPara estimación exacta debe cumplirse que: sea una matriz invertible, esto se logra usando excitación u(k) con persistencia de orden n. 2- Para N Donde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes:
34 GICI Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados LinealesDonde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes: i) Si vo(k) es una secuencia de variables aleatorias inde- pendientes con media cero, su valor no dependerá de lo que pase antes del instante t = k. Y por tanto ya que solo contiene información de u(l) y y(l) hasta el instante
35 GICI Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados LinealesDonde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes: ii) solo contenga valores de u(k), y(k) y vo(k) que sean estadísticamente independientes
36 GICI Mínimos Cuadrados Pseudo-LinealesPara el caso de las estructuras ARMAX, OE y BJ los modelos de regresión no son lineales en : El cálculo de no puede hacerse derivando e igualando a cero a porque el vector de regresión también es función de : La estimación se realiza mediante algoritmos de optimización basados en métodos numéricos
37 GICI Algritmo de los Mínimos Cuadradosy =(y1, ...., yN)T : conjunto de N medidas : valores calculados a partir de mediante el modelo adoptado para el sistema. Problema: Determinar un vector de “d” parámetros (constantes en el tiempo) utilizando una serie de N medidas yT = (y1, ...., yN) sobre la salida del sistema lineal estático: siendo M una matriz de N filas y “d” columnas.
38 GICI Algritmo de los Mínimos Cuadrados Solución de problemas:Caso 1: N = “d” Suponiendo que M es de rango completo, det [M] 0, el problema podría resolverse de forma inmediata: Caso 2: N “d” En este caso no existe inversa
39 GICI N
40 GICI Si las N filas de M son linealmente independientes(matriz M de rango máximo), la estimación será: En donde M*D se denomina inversa generalizada por la derecha, ya que verifica: MM*D = I
41 GICI N > np En este caso se tienen más ecuaciones que incógnitas.En general, no existe solución. Se demuestra que si M es de rango máximo, el método de los mínimos cuadra dos puede utilizarse para encontrar la solución. Se trata de obtener la estimación que minimiza el índice:
42 GICI M*I se denomina inversa generalizada por la izquierda M*IM = I
43 GICI Caso hipotético: Considérese el sistema monovariable en tiempo discreto: y(k) + a1 y(k-1) an y(k-n) = b1 u(k-1) bn u(k-n) y el vector de medidas: m(k) = [ - y(k-1), ... , - y (k-n), u(k-1), ... , u(k-n)]
44 GICI El error de predicción de salida puede escribirse como:e(k) = y(k) - m(k) donde m(k) es la predicción de la salida en el instante k Coleccionando datos desde k = n hasta N E(N) = Y(N) - M(N)
45 ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOSGICI ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS Sea la ecuación después de N observaciones Y(N) = M(N)
46 ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOSGICI ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS La estimación resultante es: Definiendo la matriz
47 ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOSGICI ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS De donde: luego con
48 ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOSGICI ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS Comienzo Seleccione los valores de P y ; haga N=0 Mientras no se cumpla condición de fin de hacer leer nuevas medidas en N+1; formar m con nuevas medidas; calcular ganancia mediante K P*mT*(I+m*P*mT)-1; actualizar estimación mediante +K*(y-m* ); actualizar matriz P mediante P P-K*m*P; hacer N N+1 fin
49 Herramientas para IdentificacionGICI Herramientas para Identificacion El SITB de Matlab
50 Funciones para Simulacion y prediccionIDINPUT: Genera los datos de entrada para propósitos de simulación. IDSIM: Simula un sistema lineal general PREDICT: Calcula las predicciones de la salida del modelo GICI Edinson Franco Mejía, M.Sc.
51 Funciones para Manipulación de datosDTREND: Sirve para remover tendencias IDFILT: Para realizar filtros a los datos del proceso. GICI Edinson Franco Mejía, M.Sc.
52 Funciones para Estimación ParamétricaAR: Estima un modelo AR ARX: Estima un modelo ARX ARMAX: Estima un modelo ARMAX BJ: Estima un modelo BOX JENKINS IV4: Estima un modelo ARX usando el método de la variable instrumental de cuatro etapas. GICI Edinson Franco Mejía, M.Sc.
53 Funciones para Estimación ParamétricaCANSTART: Estima modelos multivariables en forma canónica de espacio de estado; generalmente usado junto con N4SID. N4SID: Estima modelos de espacio de estado usando un método de subespacio PEM: Estima un modelo lineal general. GICI Edinson Franco Mejía, M.Sc.
54 Funciones para Conversion entre modelosIDMODRED: Reduce un modelo a un orden inferior THC2THD: Transforma un modelo de tiempo continuo en tiempo discreto THD2THC: Transforma un modelo de tiempo discreto en tiempo continuo TH2ARX: Transforma los datos del modelo que están en formato theta a parámetros arx TH2SS: Transforma los datos del modelo en formato theta a matrices de espacio de estado.. GICI Edinson Franco Mejía, M.Sc.
55 Funciones para Presentación de modelosPRESENT: Muestra modelo paramétrico en pantalla. IDPLOT: Muestra los datos de entrada y salida en pantalla BODEPLOT: Gráfica el diagrama de Bode del modelo ZPPLOT: Presenta en pantalla el diagrama de polos y ceros del modelo GICI Edinson Franco Mejía, M.Sc.
56 Funciones para ValidaciónCOMPARE: Compara la salida simulada o predicha con la salida del modelo PE: Calcula los errores de predicción GICI Edinson Franco Mejía, M.Sc.
57 Ejercicio FIN!!! GICI Edinson Franco Mejía, M.Sc.