1 > dla studentów > informacje>zajęcia W.Ogłozy>a4g-w2.pptAstronomia Wykład II ____________________________________ Wykład dla studentów zaocznych studiów geografii AP Waldemar Ogłoza > dla studentów > informacje>zajęcia W.Ogłozy>a4g-w2.ppt

2 Układy współrzędnych sferycznych

3 Koła Wielkie i Koła MałeRównoleżniki to koła małe Równik-Koło Wielkie Płaszczyzna Koła Wielkiego zawiera środek sfery W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

4 Współrzędne sferyczne (np. geograficzne na powierzchni Ziemi)Szerokość geograficzna : kąt pomiędzy kierunkiem pionu w danym miejscu a płaszczyzną równika ziemskiego Długość geograficzna : kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną południka zerowego a płaszczyzną południka przechodzącego przez dane miejsce. W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

5 Elementy układów współrzędnych Współrzędne geograficzneOś układu Płaszczyzna podstawowa Pierwsza współrzędna jednostki; zakres; zwrot Druga współrzędna Półkole początkowe Oś obrotu Ziemi Równik (prostopadły do osi obrotu) Szerokość geograficzna  °; od -90 (S) do +90 (N) Długość geograficzna  Południk zerowy °; od -180 (W) do +180 (E) W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

6 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Sfera niebieska Pion - wyznaczony przez kierunek siły grawitacji Horyzont - Koło Wielkie prostopadłe do pionu Zenit i Nadir - punkty przecięcia pionu ze sferą niebieską Oś świata - prosta równoległa do osi obrotu Ziemi przechodząca przez obserwatora Bieguny Niebieskie - przecięcie Osi Świata ze sferą Równik Niebieski - Koło Wielkie prostopadłe do Osi Świata, równoległe do równika ziemskiego Przecina horyzont w punktach E, W Południk Niebieski - Koło Wielkie przechodzące przez Bieguny, Zenit i Nadir. Jego przecięcie z horyzontem wyznacza punkty N, S Zenit Biegun niebieski północny BN E S N W BS Biegun niebieski południowy W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2 Nadir

7 Współrzędne horyzontalneWysokość h: kąt pomiędzy kierunkiem do danego obiektu na sferze niebieskiej a płaszczyzną horyzontu Azymut a: kąt dwuścienny pomiędzy półpłaszczyzną południka niebieskiego a półpłaszczyzną zwierająca pion i przechodzącą przez dane miejsce na sferze niebieskiej. W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

8 Elementy układów współrzędnych Współrzędne horyzontalneOś układu Płaszczyzna podstawowa Pierwsza współrzędna jednostki; zakres; zwrot Druga współrzędna Półkole początkowe Pion Horyzont matematyczny (prostopadły do pionu) Wysokość h °; od -90° do +90° Azymut a lub Az Kierunek S °; 0° - 360°; SWNE W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

9 Współrzędne równikowe-południkoweZenit t południk BN Kąt godzinny t : kąt pomiędzy płaszczyzną południka niebieskiego a płaszczyzną wyznaczoną przez Oś Świata i obiekt na niebie Deklinacja  : kąt pomiędzy kierunkiem do obiektu a płaszyczyzną równika niebieskiego E  t S N W Równik niebieski BS W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

10 Elementy układów współrzędnych Współrzędne równikowe-południkoweOś układu Płaszczyzna podstawowa Pierwsza współrzędna jednostki; zakres; zwrot Druga współrzędna Półkole początkowe Oś świata Równik niebieski deklinacja  °; od -90 (S) do +90 (N) kąt godzinny t od południka h m s ; ; na zachód W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

11 Współrzędne równikowe-równonocneDeklinacja : kąt pomiędzy kierunkiem do danego obiektu na sferze niebieskiej a płaszczyzną równika niebieskiego Rektascensja : kąt dwuścienny pomiędzy półpłaszczyzną wyznaczoną przez Oś Świata i punkt równonocy wiosennej (Punkt Barana) a półpłaszczyzną zwierająca Oś Świata i przechodzącą przez dane miejsce na sferze niebieskiej. Punkt Barana W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

12 Elementy układów współrzędnych Współrzędne równikowe-równonocneOś układu Płaszczyzna podstawowa Pierwsza współrzędna jednostki; zakres; zwrot Druga współrzędna Półkole początkowe Oś świata Równik niebieski deklinacja  °; od -90 (S) do +90 (N) rektascensja  od punktu równonocy wiosennej* h m s ; ; na wschód * tzw. punkt Barana W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

13 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Czas gwiazdowy T* Obie współrzędne gwiazd w układzie horyzontalnym cały czas się zmieniają z niejednorodną prędkością Obie współrzędne gwiazd w układzie równikowym-równonocnym są stałe W układzie równikowym-południkowym deklinacja jest stała a kąt godzinny rośnie jednostajnie w czasie Wzajemną orientację obu układów równikowych określa tzw czas gwiazdowy Czas gwiazdowy T* jest równy rektascensji obiektów górujących lub kątowi godzinnemu punktu Barana1 ___________________________________ 1 Punkt Barana, pozycja Słońca w czasie równonocy wiosennej, przecięcie ekliptyki z równikiem niebieskim W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

14 Współrzędne równikowe-południkoweZenit BN Kąt godzinny punktu Barana t Czas gwiazdowy T* t=T* t rośnie jednostajnie wraz z upływem czasu gwiazdowego T*. (dlatego wygodnie jest używać miary czasowej kątów!) Rektascensja gwiazd górujących gór jest równa T* gór = T* Dla innych obiektów: t = T* -  Gwiazda góruje t  gór. południk E  t N S W Równik niebieski BS W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

15 Trójkąty sferyczne i paralaktyczne

16 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Trójkąt sferyczny Trójkąt leżący na powierzchni kuli Boki są fragmentami kół wielkich Boki opisujemy jako kąty z wierzchołkami w środku sfery W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

17 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Trójkąt sferyczny A Kąty wierzchołkowe oznaczamy A,B,C a ich przeciwległe boki a,b,c Boki trójkąta sferycznego są również kątami! (wierzchołek w środku sfery) Suma A+B+C jest większa od 180 stopni i mniejsza od 540 stopni! Podobnie jak w trójkątach płaskich aby rozwiązać trójkąt potrzeba znać trzy elementy oraz odpowiednie wzory: b c C a B W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

18 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Trójkąt sferyczny sin a /sin A = sin b / sin B =sin c / sin C sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A A a c C b B B,b A,a C,c Reguła zmiany oznaczeń W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

19 Trójkąt paralaktyczny900- Zenit Trójkąt na sferze niebieskiej o ustalonych wierzchołkach: Zenit, Biegun, Obiekt Łączy współrzędne horyzontalne z równikowo-południkowymi Bn 900-h 900- Wierzchołki: Zenit Biegun Niebieski gwiazda Przeciwległe boki 900- (  deklinacja · · · · ) 900-h ( h wysokość ) 900- ( szer. geogr. - · -)  h W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

20 Trójkąt paralaktycznyZenit Bn Wierzchołki: Zenit Biegun Niebieski gwiazda Kąty wierzchołkowe: a (Az Azymut) kąt godzinny t kąt paralaktyczny a N S a 1800 -a W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

21 Trójkąt paralaktycznyA (zenit) kąty: przeciwległe boki: A = 1800-a a = 900- B = t b = 900-h C* c = 900- c b B (biegun) a * Tak zwany kąt przy gwieździe na ogół nie potrzebny do obliczeń C sin(900-) /sin (1800-a) = sin (900-h ) / sin t = sin(900- ) / sin C sin(900-) cos t = cos(900-h) sin(900-) - sin (900-h) cos (900-) cos(1800-a) cos(900-) = cos(900-h) cos (900-) + sin (900-h) sin (900-) cos (1800-a) cos(900-h) = cos(900-) cos (900-h) + sin (900-) sin (900-h) cos ( t ) W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

22 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Zastosowania trójkątów sferycznych do nawigacji: Ortodroma i Loksodroma czyli szybka lub łatwa podróż po powierzchni sfery Ortodroma - „prostobieżnia” jest najkrótszą drogą pomiędzy dwoma punktami na powierzchni sfery (np.: dwa miasta na kuli ziemskiej) Do obliczenia jej długości stosuje się trójkąt sferyczny na powierzchni Ziemi z wierzchołkami: Biegun ziemski, punkt 1, punkt 2 jest fragmentem koła wielkiego przecina kolejne południki pod różnymi kątami (podróżnik musi ciągle zmieniać kurs) Loksodroma - „skośnobieżnia” przecina wszystkie południki pod tym samym kątem, zatem podróżnik może utrzymywać stały kurs aby dotrzeć do celu jest dłuższa od ortodromy W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

23 Ortodroma - najkrótsza droga (łuk koła wielkiego)Kąt przy biegunie jest równy różnicy długości geograficznych obu miejsc (B - A) Długości geograficzne zachodnie podstawiamy ze znakiem minus! Boki przy biegunie są związane z szerokością geograficzną punktów A i B (90-A) i ( 90-B ) Z wzoru kosinusowego można obliczyć cos(a) a następnie bok a 90-B 90-A a Równik Ziemia B - A cos a = cos(90-B)cos(90-A) + sin(90-B)sin(90-A)cos(B-A) W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

24 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Ortodroma A x R B a a = arccos (cos (a))* Z proporcji: a/360° = x / 2R gdzie: X to odległość punktów A i B R promień Ziemi 1 mila morska = 1852 metry odpowiada kątowi a = 1’ 1° koła wielkiego odpowiada odległości ~111.2 kilometrów __________________________________________________________________ * Funkcja: cos (60o) = 0.5 ; funkcja do niej przeciwna: arc cos (0.5) = 60o Przekrój Ziemi w płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty A i B oraz środek Ziemi: W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

25 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Loksodroma przecina południki pod stałym kątem na mapie Merkatora jest linią prostą W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

26 Wyznaczanie kursu loksodromyDla punktów o współrzędnych (1,1) i (2 ,2) obliczamy wielkości pomocnicze: 1 = ln ( tg (450- 1/2) i 2 = ln ( tg (450- 2/2) Kurs  (kąt pomiędzy kierunkiem N a kierunkiem ruchu mierzony zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara) obliczymy ze związku : tg  = (1- 2) / (1- 2) W praktyce nawigacja odbywa się po linii łamanej zbliżonej do ortodromy a poszczególne odcinki są fragmentami różnych loksodrom W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

27 Kształt i rozmiary Ziemi

28 Najdawniejsze wyobrażeniaW.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

29 Kulistość globu ziemskiegowyłanianie się masztów statków zza horyzontu zmiana wysokości Bieguna Niebieskiego przy zmianie szerokości geograficznej obserwatora okrągły kształt cienia Ziemi widoczny podczas zaćmienia Księżyca doświadczenie Eratostenesa (obserwacja wysokości górowania Słońca na różnych szerokościach geograficznych) W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

30 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Obiekty na horyzoncie Ziemia W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

31 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Obniżenie horyzontu Horyzont dla obserwatora znajdującego się na pewnej wysokości H nad powierzchnią Ziemi obniża się o pewien kąt a, można obliczyć wartość obniżenia: a [’]=1.779 ( H [m])1/2 Zasięg widoczności: D [km] = 3.86 (H [m])1/2 a H D W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

32 Położenie Bieguna NiebieskiegoW.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

33 Zmiana wysokości BiegunaZenit BN Równik niebieski  BN S N Horyzont  Rysunek w płaszczyźnie południka niebieskiego W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

34 Położenie Bieguna NiebieskiegoWysokość bieguna niebieskiego jest równa szerokości geograficznej miejsca obserwacji Na biegunie ziemskim biegun niebieski znajduje się w zenicie Na Równiku widać oba bieguny niebieskie leżące na horyzoncie kierunek na Zenit kierunek na Biegun Płaszczyzna horyzontu W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

35 Zarys cienia Ziemi na KsiężycuW czasie zaćmienia Księżyca cień Ziemi pada na Księżyc Cień Ziemi ma większą średnicę niż Księżyc lecz brzeg cienia jest zaokrąglony W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

36 Doświadczenie Eratostenesa - pomiar rozmiarów Ziemi = 7.50 cień Równik Promienie słoneczne (równoległe!) D Ziemia Odległość D pomiędzy studnią w Synae (Assuan) a Aleksandrią wynosi 5000 stadionów (1 stadion =157.7 m) Oba miasta leżą w przybliżeniu na jednym południku (Koło Wielkie)  W Synae Słońce było w Zenicie, a w Aleksandrii nie! W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

37 Dokładniejsze przybliżenia kształtu ZiemiBiegun Ziemi Kula (stały promień) Elipsoida obrotowa Równik jest kołem (różne półosie 1 i 2) Elipsoida trójosiowa Równik jest elipsą (różne półosie 2 i 3 ) Geoida Półoś 1 (mała) Półoś 2 (wielka) 3 Równik W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

38 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Elipsoida obrotowa Skonstruowana na podstawie pomiarów długości 10 fragmentów południków ziemskich na różnych szerokościach geograficznych Spłaszczenie Ziemi powoduje, przy aby zmienić szerokość geograficzną o 1 stopień przy równiku trzeba przebyć inną drogę niż przy biegunie (a > b) b a Ziemia W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

39 Elipsoida obrotowa WGS-84Promień równikowy Ziemi a Promień biegunowy Ziemi b Spłaszczenie s = (a-b)/a Obecnie stosuje się elipsoidę o rozmiarach: a = m b = m s = 1/ W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

40 Współrzędne geograficzne i geocentryczneSzerokość geocentryczna ’: kąt pomiędzy płaszczyzną równika ziemskiego a prostą przechodzącą przez środek Ziemi i dane miejsce na jej powierzchni Szerokość geograficzna : kąt pomiędzy płaszczyzną równika ziemskiego a kierunkiem pionu w danym miejscu Szerokość geodezyjna ”: kąt pomiędzy płaszczyzną równika ziemskiego a kierunkiem prostopadłym do elipsoidy obrotowej w danym miejscu pion ’  Ziemia ’-  = -11.5’ sin (2) [’] W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

41 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Elipsoida trójosiowa Promień biegunowy Ziemi jest o ok. 21 km krótszy od równikowego Równik ziemski nie jest kołem lecz elipsą, której wielka oś jest dłuższa o 200m od krótszej i oś skierowanej w kierunku południków: i 1650 Południowy promień biegunowy jest o 30 m dłuższy od północnego W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

42 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Geoida Jest to powierzchnia prostopadła do kierunku pionu w każdym punkcie Może być wyznaczana lokalnie lub globalnie Obecnie najczęściej stosuje się globalną geoidę WGS-84 (World Geodetic System) W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

43 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

44 Wysokość n.p.m. zależy od układu odniesieniaX 70 m 77 m Powierzchnia Ellipsoida Ziemi Geoida W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

45 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Biegun magnetyczny W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

46 Deklinacja magnetycznaDeklinacja magnetyczna to kąt pomiędzy rzeczywistym kierunkiem N na wskazaniami kompasu magnetycznego Deklinacja jest zmienna w czasie. Jej wartość oraz tempo zmian podają mapy nawigacyjne na dany rok Deklinację magnetyczną liczy się od rzeczywistego (geograficznego) południka na wschód i zachód, od 0 do 180°. Wartość deklinacji jest dodatnia lub ujemna. Dodatnia (E) jest wtedy gdy południk magnetyczny jest odchylony od południka rzeczywistego w prawo, na wschód. Ujemna (W) wartość deklinacji jest wtedy gdy południk magnetyczny jest odchylony od południka rzeczywistego w lewo, na zachód. W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

47 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Rok 2005 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

48 Nawigacja satelitarnaSystem GPS (satelity na wysokości 20200km, na 6 orbitach nachylonych pod kątem 550) System GALILEO Stacje naziemne kontroli orbit (np: Borówiec pod Poznaniem) Każdy satelita nadaje sygnał czasu i parametry swojej orbity. Odbiornik oblicza współrzędne satelity x,y,z oraz poprawkę zegara Potrzeba sygnału co najmniej 4 satelitów aby obliczyć pozycję z równań opisujących odległość satelity od obserwatora w układzie prostokątnym: (x-xo)2 + (y –yo)2 + (z – zo)2 = c2 (t – to)2 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

49 Masa Ziemi

50 Eksperyment CavendishaMożna porównać ciężar ciała i siłę grawitacji: mg = G gdzie: M - oznacza niewiadomą masę obiektu (np.:Ziemi). g – przyspieszenie grawitacyjne (na Ziemi g=9.81m/s2) R – promień ciała niebieskiego (RZiemi =6371km) są znane więc można obliczyć masę Ziemi M: M = g R2 / G gdybyśmy tylko znali stałą G Podobne zależności można stosować do innych obiektów astronomicznych! M m R 2 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

51 Eksperyment CavendishaZastosowano wagę skręceń dla wyznaczenia G G = ·10-11 [m3kg-1s-2] z czego wynika MZiemi = · 1024 kg gęstość Ziemi 5520 kg/m3 m2 m1 m1 m2 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

52 Eksperyment Jolly’egoZrównoważono czułą wagę Podtoczono masę m2 co wytrąciło wagę z równowagi Dodano masę m3 dla ponownego zrównoważenia szalek m1 m3 m1 m2 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

53 Eksperyment Jolly’egoG m1m2 G Mz m3 r Rz2 = m1 m3 m1 r12 m2 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

54 Ruch obrotowy Ziemi

55 Efekty ruchu wirowego ZiemiZjawisko dnia i nocy Spłaszczenie Ziemi przez siłę odśrodkową bezwładności Zależność ciężaru od szerokości geograficznej Siła Coriolisa Zmiana płaszczyzny wahań wahadła Foucaulta W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

56 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Zmierzchy i świty Zjawisko: Zachód, wschód Zmierzch cywilny Zmierzch nautyczny Zmierzch astronomiczny Noc astronomiczna Wysokość Słońca : h = (bez refrakcji) h = - 51’ (z refrakcją i uwzględnieniem promienia tarcze słonecznej) 00 > h  Jest jasno -60 > h  Nie można czytać bez światła -120 > h  Widać jasne gwiazdy -180 > h Nie widać żadnej części oświetlonej atmosfery ziemskiej W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

57 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Obrót Ziemi Okres obrotu Ziemi trwa 23h 56m 04.09s Ziemia obraca się z zachodu na wschód Ponieważ Ziemia przemieszcza się wokół Słońca, to po obrocie o kąt 3600 musi obrócić się jeszcze dodatkowo o ok. 10 aby Słońce wróciło na swoją pozycję. Trwa to około 4 minut. Zatem doba słoneczna trwa 24h i jest dłuższa od doby gwiazdowej Kąt ~10 (zależy od pozycji Ziemi na orbicie) W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

58 Siła odśrodkowa bezwładnościFodś = mv2/r Fg=mggraw Q = Fg - Fodś r  g()= sin2() Q = m g() g – przyspieszenie Q – ciężar  - szer. geog. W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

59 W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2Wahadło Foucaulta Na biegunie płaszczyzna wahań jest stała w przestrzeni (zasada zachowania momentu pędu) Dla obserwatora związanego z wirującą Ziemią płaszczyzna wahań będzie się pozornie skręcać a okres jej obrotu będzie równy okresowi obrotu Ziemi W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2

60 Wahadło Foucaulta Poza biegunem płaszczyzna wahań nie może być stała gdyż porusza się punkt zamocowania wahadła Zaobserwowano, że poza biegunem okres obrotu płaszczyzny wahań będzie zależał od szerokości geograficznej: P = T / sin ()= ( 23h 56m 04.09s ) / sin () W.Ogłoza, Astronomia, Wykład 2