1 Guías Modulares de Estudio Matemáticas IV – Parte B

2 Semana 1 y 2 Funciones racionales

3 Funciones racionales Objetivo:Resolver problemas sobre funciones racionales, teóricos o prácticos, mediante el análisis del dominio, el rango y la determinación de posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión de análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

4 Concepto de función racionalNotación y caracterización Una función racional se puede expresar como un cociente de dos funciones polinomiales. Si R denota la función definida por: P(x) R (x) = Q(x) donde P y Q son funciones polinomiales, entonces R es una función racional. Esta función se caracteriza por lo siguiente El polinomio del denominado no puede ser el polinomio nulo. El dominio de R es el conjunto de los números reales, con excepción de aquellos para los cuales Q (x) = 0; es decir, se excluyen los ceros de Q (x). El rango de R es un subconjunto de los números reales. Los polinomios P(x) y Q(x) no tienen factores comunes.

5 Intersección con los ejesEjemplo: Determina los puntos de intersección de 2x + 3y = 6 con los ejes. Solución La intersección con el eje y se obtiene sustituyendo x con cero en la ecuación. Si x = 0 2(0) + 3y = 6 De donde 3y = 6 Se despeja y y = 6/3 y = 2 Por tanto (0, 2) es el punto de intersección con el eje y. Si y = 0 2x + 3(0) = 6 2x = 6 Se despeja x x = 6/2 x = 3 Por tanto (3, 0) es el punto de intersección con el eje x.

6 Simetrías con respecto a los ejesSi los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje x y las coordenadas de P1 son (x, y) entonces las coordenadas de P2 serán (x, – y); es decir, P1 y P2 tienen la misma abscisa y sus ordenadas tienen el mismo valor absoluto pero diferente signo. P1 (x, y) P2 (x, –y)

7 Simetrías con respecto a los ejesSi los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje y y las coordenadas de P1 son (x, y) entonces las coordenadas de P2 serán (–x, y); es decir, P1 y P2 tienen la misma ordenada y sus abscisas tienen el mismo valor absoluto pero diferente signo. P2 (–x, y) P1 (x, y)

8 Simetrías con respecto al origenDos puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al origen cuando se encuentran a la misma distancia de éste; dicho de otra forma, cuando el origen es el punto medio del segmento que determinan P1 y P2. En consecuencia, si P1 tiene por coordenadas (x, y), entonces a P2 corresponden las coordenadas (–x, –y). P1 (x, y) P1 (x, y) P2 (–x, –y) P2 (–x, –y)

9 Asíntotas Para trazar la gráfica de una función racional, en ocasiones se utilizan ciertas rectas que no pertenecen a la gráfica pero que sirven de guía para su trazo. Ejemplo: Traza la gráfica de x y – 2y – 1 = 0 Solución: Si se despeja y en términos de x, se obtiene lo siguiente: x y – 2y – 1 = 0 Se suma 1 a los dos miembros de la igualdad x y – 2y = 1 Se factoriza el primer miembro y(x – 2) = 1 Se divide la igualdad entre x – 2 1 y = x – 2 Para realizar el paso anterior se requiere que x 2, porque si x = 2 se estaría dividendo entre cero. Como y = f (x), la igualdad anterior se puede expresar así: f (x) =

10 Asíntotas f (x) + ∞ cuando x 2+A continuación vamos a construir una tabla con valores cercanos a 2, sin que lleguen a ser iguales a 2. Como se puede observar en la tabla, a medida que el valor de x se acerca a 2 por la derecha, el valor de y crece sin límite. Para indicar que x se aproxima o tiende a 2 por la derecha, se utiliza el signo + como superíndice de 2. x En este caso f (x) ∞ cuando x Esta expresión indica que el valor de la función se aumenta o crece sin límite cuando el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la derecha. x X – 2 1 f (x) = x – 2 6 4 0.25 5 3 0.33 2 0.5 2.5 .5 2.2 .2 2.1 .1 10 2.01 .01 100

11 Asíntotas (continúa) f (x) + ∞ cuando x 2-Ahora veamos qué ocurre cuando el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la izquierda. En esta tabla vemos que a medida que el valor de x se aproxima a 2 por la izquierda, el valor de la función se vuelve más pequeño cada vez o disminuye sin límite. Para indicar que el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la izquierda, se utiliza el signo – como superíndice de 2. x En este caso f (x) ∞ cuando x x X – 2 1 f (x) = x – 2 - 2 -4 -0.25 -1 -3 -0.333 -2 -0.5 1.5 1.8 -0.2 -5 1.9 -0.1 -10 1.99 -0.01 -100

12 Asíntotas (continúa) f (x) = . La gráfica de 1 x – 2se representa en la figura. En ella se puede apreciar el comportamiento de la función que toma valores cada vez mayores, en valor absoluto, a medida que el valor de x se acerca al valor 2, tanto por la izquierda como por la derecha. La recta x = 2 es una asíntota vertical; es decir, una recta a la que se aproxima la gráfica de la función, pero sin llegar a tocarla. 20 10 -2 4 -10 -20

13 Intervalos Con los intervalos determinados por el dominio, se puede conocer en qué regiones del plano está la gráfica y en cuales no. En la ecuación x y – 2y – 1 = 0 al despejar y en términos de x se obtiene 1 y = x – 2 Cuya asíntota vertical es y = 2 El dominio de la ecuación es Dy = R – {2} = [– ∞, 2] U [2, + ∞]

14 Intervalos Con los intervalos determinados por el dominio se puede construir la tabla siguiente. En esta tabla vemos que para cualquier valor de x < 2 el cociente es negativo. Esto significa que para cualquier valor de x < 2 la y < 0, por lo que la gráfica no está en la región x < 2 , y > 0. También se observa que para cualquier valor de x > 2 el cociente es positivo; o sea que para x > 2, y > 0; por tanto la gráfica no está en la región x > 2, y < 0. x Numerador Denominador y x < 2 + – X > 2

15 Definición y constante de variaciónVariación inversa Definición y constante de variación La segunda Ley de Newton establece que f = m a, donde f es la fuerza que se aplica a una masa m para imprimirle una aceleración a. De acuerdo con esta ley, para la misma fuerza si la masa aumenta, la aceleración disminuye; y a la inversa, si la masa disminuye, la aceleración aumenta. De manera general se establece lo siguiente: Definición Una variable y varía en relación inversa con una variable x, si y = k/x. donde k es una constante diferente de cero. Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento (o disminución) de una corresponda una disminución (o aumento) de la otra. Cuando esto ocurre se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales. Cantidades inversamente proporcionales son: Para la misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para realizarla Para la misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo empleado en recorrerla A temperatura constante, el volumen de los gases y las presiones a que se someten.

16 Variación inversa Ejemplo:Para terminar una construcción en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para edificar una construcción igual en 7 días? Solución: Como la variación es inversa, la proporción se puede establecer en alguna de las dos formas siguientes: De donde Por tanto x y1 = x y2 y x1 = y x2 o bien y = = x2 7y2 = 23(42) 7x2 = 42(23) y2 = 966/7 x2 = 966/7 y2 = 138 obreros x2 = 138 obreros

17 Funciones exponencialesSemana 3 y 4 Funciones exponenciales

18 Funciones exponencialesObjetivo: Resolver problemas con funciones exponenciales y logarítmicas, teóricos o prácticos, utilizando su relación como funciones inversas y sus propiedades algebraicas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

19 Concepto de función exponencialNotación La función exponencial es una función real, no algebraica sino trascendente, cuya regla de correspondencia es: f : R R f (x) = ax Con a, x E R, a > 0, a De acuerdo con la definición de esta función, la base siempre es un número real positivo, pues cuando la base se eleva a cualquier exponente real, la potencia es un número real positivo; además, es diferente de 1 porque la unidad elevada a cualquier potencia real es 1 y si la base fuera un número real negativo, no se podría afirmar nada de su potencia, pues ésta podría dar lugar a tres situaciones: ser positiva si el exponente es par, negativa si el exponente es impar o quedar indefinida en los números reales para ciertos exponentes fraccionarios como x = ½.

20 Función exponencial Ejemplo:Si a E [1, ∞], por ejemplo, a = 2, la función se expresa: f (x) = 2x. Al calcular algunos valores de x se obtiene la tabla x f (X ) = 2x (x, f (x)) - 3 f (-3) = 2-3 = 1/23 = 1/8 (– 3, 1/8) -2 f (-2) = = 1/22 = 1/4 (– 2, 1/4) -1 f (-1) = = 1/21 = 1/2 (– 1, 1/2) f (0) = 20 = 1 (0, 1) 1 f (1) = 21 = 2 (1, 2) 2 f (2) = 22 = 4 (2, 4) 3 f (3) = 23 = 8 (3, 8)

21 Dominio y rango La función exponencial tiene como dominio lo números reales y como rango los números reales positivos. Esto es D f = R. R f = R+ También se puede observar que la gráfica es creciente y que pasa por el punto de coordenadas (0, 1), pues 20 = 1

22 Caracterización e importanciaNúmero e Caracterización e importancia Hasta ahora, los valores utilizados para la base de la función exponencial se han tomado de los intervalos definidos; sin embargo, tanto para fines teóricos como prácticos el número e se usa con mayor frecuencia. El número e se obtiene en cálculo como límite de ( /x)x cuando x → +∞. A medida que x aumenta sin límite, el valor de ( /x)x tiende a un valor finito que es el número irracional e, el cual es aproximadamente igual (≐) a e ≐ El valor aproximado de ex se puede obtener utilizando la expresión (1 + 1/n)nx para valores de n suficientemente grandes, por medio de tablas o una calculadora científica.

23 Función exponencial naturalLa función exponencial que tiene como base al número e se llama función exponencial natural y está definida por: f (x) = ex Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango el conjunto de los números reales positivos.

24 La función logarítmica como inversa de la función exponencialSea f : R → R+ tal que f (x) = 2x. Algunos de los pares ordenados que pertenecen a su gráfica aparecen en la tabla siguiente: x f (X ) = 2x (x, f (x)) - 3 f (-3) = 2-3 = 1/23 = 1/8 (– 3, 1/8) -2 f (-2) = = 1/22 = 1/4 (– 2, 1/4) -1 f (-1) = = 1/21 = 1/2 (– 1, 1/2) f (0) = 20 = 1 (0, 1) 1 f (1) = 21 = 2 (1, 2) 2 f (2) = 22 = 4 (2, 4) 3 f (3) = 23 = 8 (3, 8)

25 Función logarítmica (continúa)Con y = f (x) en f (x) = 2x se tiene y = 2x O bien: 2x = y. Que significa: log2 y = x. De tal manera que al sustituir a y con los valores de la tabla anterior, se tiene: log2 1/8 = x ⇒ 2x = 1/8, 2x = 1/23, 2x = 2–3 ∴ x = –3 log2 1/4 = x ⇒ 2x = 1/4, 2x = 1/22, 2x = 2–2 ∴ x = –2 log2 1/2 = x ⇒ 2x = 1/2, 2x = 2–1 ∴ x = –1 log2 1 = x ⇒ 2x = 1, 2x = 2–0 ∴ x = 0 log2 2 = x ⇒ 2x = 2, 2x = 21 ∴ x = 1 log2 4 = x ⇒ 2x = 22, 2x = 22 ∴ x = 2 log2 8 = x ⇒ 2x = 8, 2x = 23 ∴ x = 3

26 Función logarítmica (continúa)Entonces la tabla de log2 y = x queda así: En las tablas de f (x) = 2x y y = log2x se observa que los componentes de los pares ordenados correspondientes están invertidos, hecho que se puede observar en la gráfica, donde las representaciones geométricas respectivas son simétricas respecto a la función identidad. En consecuencia, las funciones exponencial y logarítmica son inversas una de otra. y log2 y = x (y, x) 1/8 log2 1/8 = – 3 (1/8, –3) log2 ¼ = – 2 (1/4, – 2) log2 ½ = – 1 (1/2, – 1) 1 log2 1 =0 (1, 0) 2 log2 2 = 1 (2, 1) 4 log2 4 = 2 (4, 2) 8 log2 8 = 3 (8, 3) f (x) = 2x f (x) = x y = log2x

27 Bibliografía Francisco J. Ortíz Campos. Matemáticas IV. Editorial: Publicaciones cultural, 2006.