1 hacia la expresión del binomio de Newton.Productos Notables: hacia la expresión del binomio de Newton. Justificaciones geométricas de (a+b)2 (a+b)3 y partiendo de (a+b)1 Alberto Rojas Hernández y Ricardo Ramírez Martínez Trimestre 05P Mayo de 2005

2 ¿Cuánto es (a+b)? a b

3 Las longitudes se sumanb La longitud del segmento de recta grande es: l = (a+b) = (a+b)1

4 ¿Cuánto es (a+b)2? a (a+b) b a b (a+b)El área del cuadrado grande (Acg) es: Acg = (a+b)(a+b) = (a+b)2

5 Elementos del cuadrado grandeb b a a El cuadrado grande tiene cuatro elementos: un cuadrado pequeño de lado a dos rectángulos de altura b y base a (o viceversa) un cuadrado mediano de lado b b b

6 Área de cada elemento del cuadrado grandeb a b b b a Acm = b2 Arv = ab Acp = a2 Arh = ba

7 Las áreas se suman Por lo tanto: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2Como las áreas se suman, el área del cuadrado grande es la suma de cada una de las áreas de sus elementos constituyentes. Así: Acg = (a+b)2 = = Acp + Arv + Arh + Acm = a2 + ab + ba + b2 = = a2 + 2ab + b2 Por lo tanto: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

8 ¿Cuánto es (a+b)3? a (a+b) b b (a+b) a a b (a+b)El volumen del cubo grande (VCG) es: VCG = (a+b)(a+b) (a+b) = (a+b)3

9 Elementos del cubo grandeEl cubo grande tiene ocho elementos: un cubo pequeño de lado a un cubo mediano de lado b tres primsas cuadrangulares de altura b y área de base a2 tres prismas cuadrangulares de altura a y área de la base b2 b b b

10 Volumen de cada uno de los diferentes tipos de elemento del cubo grandecubo pequeño: VCP = a3 cubo mediano: VCM = b3 primsa cuadrangular alto: VPA = a2b prisma cuadrangular bajo: VPB = b2a b b b

11 Suma de volúmnes de los ocho elementos del cubo grande3b2a a3 3a2b b3

12 Las volúmenes se suman Por lo tanto: (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Como los volúmenes se suman, el volumen del cuadrado grande es la suma de cada uno de los volúmenes de sus elementos constituyentes. Así: VCG = (a+b)3 = = VCP + 3VPA + 3VPB + VCM = = a3 + 3a2b + 3b2a + b3 Por lo tanto: (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

13 Para terminar, una pregunta:¿Cuánto es (a+b)n? siendo n   Sugerencia: revisar el material que se encuentra en la página