1 H.K. Versteeg and W. MalalasekeraIntro to CFD II An introduction to computational fluid dynamics; the finite volume method H.K. Versteeg and W. Malalasekera

2 Difusión div(Г grad(φ))+Sφ=0La divergencia del gradiente  la viscosidad “difunde” cantidad de movimiento. div(Г grad(φ))+Sφ=0

3 Difusión en 1D En 1D la difusión esSe puede representar un volumen de control

4 Discretización 1D Se discretiza alrededor del pto. P

5 El truco en volúmenes finitosSe usa el teorema de la divergencia

6 Discretización Si el coeff. de difusión no es cte. -> interpY los términos se discretizan como

7 Discretización Términos fuente pueden depender de (x,y,z) SustituyendoSe puede expresar como

8 Discretización Identificando coeficientes Se tiene

9 Ejemplo Conducción de calor en una barra de área ALa ec. a resolver es k=1000W/m/K A=10E-03m2

10 Ejemplo Discretizamos en 5 elementos Cada elemento (no frontera) tiene

11 Ejemplo De modo que Donde

12 Ejemplo Los nodos de los extremos se tratan diferente: Rearreglando

13 Ejemplo Para el nodo 1 De igual manera

14 Ejemplo

15 Ejemplo Sistema de ecuaciones Es decir: 

16 Ejemplo Arreglando el sistema queda

17 Ejemplo Resolviendo

18 Ejemplo 2 (fuente) Ahora un ejemplo con fuente de calor:L=2cm; k=0.5W/m/K; q=1000kW/m3; TA=100oC; TB=200oC;

19 Ejemplo 2 Malla y discretización Se trata la fuente con un promedio 

20 Ejemplo 2 La discretización queda (nodos 2,3 y 4) Rearreglando queda

21 Ejemplo 2 Para los nodos 1 (fronteras) Usando el mismo esquema ( )

22 Ejemplo 2 Para el nodo 5 Procediendo de forma similar se llega a

23 Ejemplo 2 El sistema de ecuaciones queda

24 Y en 3D? Es lo mismo en las tres direcciones: Con más vecinos

25 En 3D… Misma idea Discretizando

26 En 3D Mismo manejo para los coeficientesMismas consideraciones para las condiciones de frontera (que en 1D y 2D)

27 En resumen Para problemas de difusión en general:

28 En resumen En la frontera (boundary) se hace cero el coeficiente de la frontera B (y tamaño ) para introducir las condiciones de frontera fijo: fijo:

29 Convección-difusión Un término másen términos de un volumen de control

30 Caso 1D Convección-difusión 1D Y continuidad Dominio numérico:

31 Caso 1D Discretizando, queda ContinuidadDefiniendo el flujo convectivo y la conductancia (difusiva) Ojo: estamos suponiendo que conocemos u por el momento

32 Caso 1D Los valores en las celdas quedan ( )Empleando de nuevo diferencias centradas: Ojo: continuidad queda

33 Caso 1D Interpolando los valores para las caras Queda

34 Caso 1D Rearreglando:

35 Caso 1D Los coeficientes quedan (esquema central differencing) dondeIgual que en difusión, agregando los flujos. Hablar sobre precisión centr. Diff.

36 Ejemplo 1D Flujo de calor 1D. Caso 1: u=0.1 m/s. Discretizando:Ojo: la sol. exacta es

37 Ejemplo Caso 1 Para el nodo 1 queda Para el nodo 5 quedaConsiderando difusión y advección como

38 Ejemplo Caso 1 Las ecuaciones en el mismo formato Con coeficientesLos demás:

39 Ejemplo Caso 1 Valores: 

40 Ejemplo Caso 1 Comparación con sol. analítica

41 Ejemplo Caso 2 u=2.5 m/s

42 Ejemplo Caso 3 u=2.5 m/s con 20 nodos

43 Propiedades de la discretizaciónConservatividad Considérese la discretización central difference:

44 Propiedades Hágase un balance global de flujosEs consistente por construcción

45 Propiedades Ejemplo de inconsistencias en flujos (esquema de 2º orden no muy bien pensado) Diferencias en las Ф’s

46 Propiedades Cond. suficiente para convergencia (Scarborough, J.B. 1958) Diagonal dominante (ej. ver caso 2). Acotada: los coeficientes deben ser del mismo signo (compare caso 2 con demás ejs.)

47 Propiedades Transportivenes (=transportabilidad?): debe tomar en cuenta la dirección del flujo.

48 Propiedades Central DifferencingConservativo OK Acotado: Continuidad   cumple criterio de Scarborough Suponiendo flujos >0, coeffs. positivos  Transportividad: no tiene (why?)

49 Precisión Central Differences: 2º orden

50 Upwind differencing Usando diferencias centradas y sustituyendo, queda (u<0) 

51 Upwind differencing Cuando u es negativa Queda En forma generalDonde los coeffs son

52 Ejemplo Mismo ejemplo, caso 2 (Pe=5) Nodo 1 Nodo 5 Los coefs

53 Ejemplo Mejor, no es así?

54 Upwind differencing Conservativo OK Acotado OK Transportiveness OKPrecisión de orden uno False diffusion

55 False diffusion

56 Hybrid Combinar central y upwind differences de modo que upwind entre cuando Pe>=2 Si refinamos la malla, Pe se hace pequeño y podemos tener precisión adicional de orden dos.

57 QUICK orden 2 Discretización consistente de orden 2 

58 QUICK fronteras En las fronteras se suele hacer una imagen extrapolada del último punto

59 QUICK Conservativo OK Error orden 3 Transporte OKCondicionalmente estable: para y Tridiagonal methods NO + costo cómputo Hay manera de rearreglar los coefs. para garantizar estabilidad

60 ¿Y si no conozco la velocidad?Acoplamiento entre presión y velocidad Y si sí conozco la presión?

61 Staggered grid Vel. y presión en el mismo punto no tiene sentido.Backward staggered grid

62 Discretización En la nueva notación Equivalentemente

63 Flujos Se promedian las densidades

64 Difusividades En las caras En los puntos de presión

65 SIMPLE Algoritmo recursivo para resolver las ecuaciones acopladas

66 SIMPLE, SIMPLEC, ETC No-linealidades y acoplamiento  iterativosStaggered grid: mejor adaptación a las variables y evita problemas con oscilaciones alta freq. Método basado en mejoras sucesivas hasta que se cumplen las ecuaciones acopladas. Un coeficiente llamado under-relaxation tiene que ser introducido en el cálculo de las correcciones para asegurar estabilidad.

67 Flujos No-estacionariosLo mismo pero integrado en el tiempo Integrando el volumen de control:

68 Y el tiempo? Veamos en 1D cómo se hace Se puede escribir

69 No-estacionario 1D El lado izquierdo no es difícilEl lado derecho queda

70 No estacionario 1D El término desconocido se puede tratar como una especie de promedio

71 No estacionario 1D Se puede arreglar de modo estándar como antes se ha hecho donde

72 Esquema explícito AquíQueda del lado izq. la incógnita y del lado derecho todo en función de tiempo anterior Para que haya estabilidad se tiene una condición Ememplo 8.1