1 HOTEL HILBERTA O NIESKOŃCZONOŚCI Do paradoksów dotyczących nieskończoności należy seria dziwnych zdarzeń w hotelu Hilberta. Na początku XX wieku Dawid Hilbert był jednym z czołowych matematyków świata. Zajmował się logicznymi podstawami matematyki, a szczególnie interesował się nieskończonością. Dawid Hilbert

2 Hotel Hilberta ma nieskończenie wiele pokoi, ponumerowanych 1, 2, 3, 4, itd. - numeracja obejmuje wszystkie dodatnie liczby całkowite. W pewien długi weekend wszystkie miejsca w hotelu były zajęte. W recepcji zjawił się podróżnik bez rezerwacji i poprosił o pokój. W każdym hotelu ze skończoną liczbą pokoi, choćby największą, podróżnik miałby pecha – ale nie w Hotelu Hilberta. - Nie ma problemu – powiedział kierownik. – Poproszę gościa z pokoju 1, żeby przeniósł się do pokoju 2, gościa z pokoju 2, żeby przeszedł do pokoju 3, osobę z pokoju 3 przeniesiemy do pokoju 4 itd. Osoba z pokoju n przeprowadzi się do pokoju n+1 itd. Wtedy pokój 1 się zwolni, więc będę mógł go dać panu.... 1 2 3 4 5 6 7 8 n n+1... 1 2 3 4 5 6 7 8 n n+1...

3 Taka sztuczka działa w nieskończonym hotelu. W hotelu skończonym – nie, bo osoba w pokoju o najwyższym numerze nie ma dokąd się przenieść. Ale w Hotelu Hilbetra nie ma najwyższego numeru pokoju. Problem rozwiązany. Dziesięć minut później przyjechał autokar z nieskończenie wieloma pasażerami, siedzącymi na miejscach 1, 2, 3, 4,... itd. - Hm, nie pomieszczę państwa, prosząc pozostałych gości. żeby przenieśli się o parę pokoi dalej – powiedział kierownik. – Nawet gdyby wszyscy przenieśli się o milion miejsc dalej, to zwolniłoby się tylko milion pokoi. – Zastanawiał się przez chwilę. – A jednak uda mi się państwa przyjąć. Poproszę osobę z pokoju 1, żeby przeniosła się do pokoju 2, gościa z dwójki, żeby przeprowadził się do czwórki, tego z trójki przeniesiemy do szóstki itd. Osoba z pokoju n przeniesie się do pokoju 2n.

4 ... 1 2 3 4 5 6 7 8 n n+1... 1 2 3 4 5 6 7 8 2n-1 2n... 1 2 3 4 5 6 7 8 n n+1... W ten sposób zwolnią się wszystkie pokoje z numerami nieparzystymi, więc teraz pasażer z miejsca 1 w państwa autobusie może zająć pokój 1, osoba z miejsca 2- pokój 3,ta z miejsca 3 – pokój 5 itd. Pasażer z miejsca n dostanie pokój 2n-1.

5 Jednak na tym jeszcze nie koniec kłopotów kierownika. Dziesięć minut później z przerażeniem dojrzał nieskończenie wiele autobusów, wjeżdżających na hotelowy (nieskończony) parking, a każdy autobus z nieskończenie wieloma pasażerami. Wybiegł im na spotkanie. - Mamy komplet, ale jeszcze mogę was wszystkich pomieścić! - Jak? – zapytał kierowca autobusu 1. - Sprowadzę was do problemu, który już rozwiązałem – oznajmił kierownik. – proszę przenieść wszystkich do autobusu 1. - Ale autobus 1 jest pełny! A pozostałych autobusów jest nieskończenie wiele! - Nic nie szkodzi. Ustawcie wszystkie autobusy obok siebie i przenumerujcie miejsca metodą przekątniową.

6 ................................................... 1 2 4 7 11 16 Bus 1... 3 5 8 12 17 Bus 2... 6 9 13 18 Bus 3... 10 14 19 Bus 4... 15 20 Bus 5...

7 - I co nam to da? – zapytał kierowca. - Nic, na razie. Ale niech pan popatrzy: każdy pasażer w każdym z waszych nieskończenie wielu autobusów dostaje nowy numer. Każdy numer występuje dokładnie raz. - No i ? - Przenieście każdego pasażera na miejsce w autobusie 1, odpowiadające jego nowemu numerowi. Kierowca posłuchał. Wszyscy przesiedli się do autobusu 1, a pozostałe autobusy były puste, więc odjechały. - Teraz mam komplet w hotelu i tylko jeden nadprogramowy autobus – powiedział kierownik. – A z tym już umiem sobie poradzić.

8 W prezentacji wykorzystano: „Gabinet zagadek matematycznych” – Ian Stewart. Fotografia: Wikipedia Opracowanie: Jadwiga Kalabińska