1 Geometría del Dominio y Democracia de bases de Haar en espacios de Banach de funcionesHugo Aimar – Ana Bernardis – Luis Nowak IMAL-CONICET-Dpto. Matemática (U.N.Comahue) UMA 2016 – Bahía Blanca
2 Esquema de aproximaciónDENSO EN Error de aproximación de f por elementos de Espacios de Banach con bases de Schauder
3 Bases de Schauder en espacios de Banach
4 Dos esquemas de aproximaciónSon subespacios NO Son subespacios Algoritmo de aprox. Aprox. NO lineal
5 Nos centramos en el modelo NO lineal¿Qué esquema elegir? Depende del elemento a aproximar, de la norma, de la base Si f = fn, con n=100000 No parece razonable usar esquema lineal… El esquema no lineal se adapta mejor en este caso Nos centramos en el modelo NO lineal
6 Un problema central en el esquema NO linealEncontrar algoritmos simples y rápidos capaces de producir (para cada f del espacio) casi mejores aproximaciones en
7 Algoritmo greedy (glotón-avaricioso)tal que … Pertenece a Pertenece a
8 En Hilbert (con bon) greedy es óptimo
9 ¿Y si no tenemos estructura de Hilbert?... (charla entre dos Banach)- Como me gustaría ser Hilbert… (De ‘‘un’’ Banach a ‘‘otro’’ Banach…) - Para nosotros lo importante es la Geometría del Dominio… (Del ‘‘otro’’ Banach al ‘‘un’’ Banach…)
10 El algoritmo greedy en Banach puede fallar…(Co)Sucesiones de números reales con límite cero y la norma del supremo. La base B formada por los
11 Base greedy en espacios de BanachExiste C mayor o igual que 1 tal que C. C. Para todo n y todo f !! Esta desigualdad siempre!!
12 ¿Qué bases son greedy? El algoritmo greedy reordena…Pero la incondicionalidad no alcanza… Konyagin – Temlyakov (1999) Teorema: Una base en un espacio de Banach es greedy si y sólo si es incondicional y democrática
13 Bases IncondicionalesCARACTERIZACIÓN: CL finitas densas y acotación uniforme del operador TA(f) =
14 Bases Democráticas Existe una constante D tal quePara todo par de conjuntos F1 y F2 finitos y de igual cardinal
15 Democracia: función fundamentalComo función del cardinal de F Funciones Democracia izquierda y derecha Si son comparables para todo n, es democrática
16 Centramos nuestra atención en los sistemas de Haar¿Hay Bases greedy? Para espacios de Lebesgue clásicos (caso euclídeo) las wavelets son buenas candidatas (son bases incondicionales) Sistema de Haar es greedy en los espacios de Lebesgue (para p finito mayor que uno) Centramos nuestra atención en los sistemas de Haar
17 Sistema de Haar 1/2 1 CUBOS DIÁDICOS
18 Democracia del Sistema de Haar en otros espaciosRESULTADOS: SORPRESAS!!! Wojtaszczcyk (2006): Si el sistema de Haar es democrático en un espacio X que es invariante por reordenamiento sobre [0,1], entonces
19 Democracia del Sistema de Haar en otros espaciosRESULTADOS: SORPRESAS!!! Garrigos,Hernandez, Martell, De Natividade ( ): Si el sistema de Haar es democrático en un espacio de Orlicz entonces convexa, creciente,…
20 Democracia del Sistema de Haar en otros espaciosRESULTADOS: SORPRESAS!!! Hernandez, Martell, De Natividade (2011): Si el sistema de Haar es democrático en el espacio de Lorentz , entonces p=q.
21 Democracia del Sistema de Haar en el contexto de espacio de tipo homogéneo
22 ¿Hay wavelets de Haar en e.t.h.?...¿Hay cubos diádicos?
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24 Wavelets de Haar en e.t.h. El sistema de Haar es democrático en los espacios de Lebesgue
25 Wavelets de Haar en Lorentz
26 Wavelets de Haar en LorentzTEOREMA: Sea D una familia diádica con la propiedad G. Si H es un sistema de Haar asociado a D que es democrático en el espacio de Lorentz ,entonces p = q.
27 ¿Qué dice la propiedad G?...D tiene la propiedad G si
28 ¿Qué dice la propiedad G?...La propiedad G nos dice que hay lugar para definir wavelets de Haar con soportes disjuntos. Dado M natural, existe un nivel j tal que hay M cubos disjuntos en el nivel Dado M natural, existen niveles j1,…,jM tal que hay M cubos disjuntos Qji en
29 Uso de la propiedad G para probar: Si H es un sistema de Haar democrático en el espacio de Lorentz,entonces p = q.
30 ¿La propiedad G se impuso por un problema técnico?...NO!! La clave es la Geometría del Dominio!! Sea X cuyos elementos son, para n natural, d la métrica usual y para cada subconjunto E de X: Es un espacio de tipo homogéneo y se cumple: Ningún Lorentz es Lebesgue (salvo p=q)
31 Una caracterización geométrica de la propiedad G...En eso estamos!!
32 Gracias! continuará…
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89 entre 2 espacios de Banach de funcioines…¿Cómo me gustaría ser Hilbert?..... ( De un Banach a otro Banach... ) No es la estructura algebraica, es la geometría... Yo soy feliz siendo Banach… ( Del otro Banach al un Banach... )
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