1 I. Informacje podstawoweAnaliza matematyczna I. Informacje podstawowe WYKŁAD 2 Funkcje elementarne Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

2 Plan wykładu zasada indukcji zupełnej, ciało liczb rzeczywistych,funkcje i działania na nich.

3 Zasada indukcji zupełnejZasada indukcji zupełnej to użyteczna metoda dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb naturalnych. Zakładamy, że W(n) jest funkcją zdaniową, oraz nN Treść zasady indukcji zupełnej: liczba 1 ma pewną własność W, (tzn. W(1) jest zdaniem prawdziwym); jeśli w przypadku gdy pewna liczba naturalna n ma własność W to ma ją też jej następnik, (tzn. jeśli zachodzi implikacja W(n)W(n+1) ); to każda liczba naturalna n ma tę własność W.

4 Zasada indukcji zupełnejPrzykłady: Wykazać, że dla każdego naturalnego n liczba n3-n jest podzielna przez trzy. Udowodnić, że dla każdego prawdą jest, że:

5 Teoria liczb rzeczywistychLiczby rzeczywiste można zdefiniować trzema sposobami: aksjomatycznie, metodą Cantora (przy pomocy ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych), metodą przekrojów Dedekinda.

6 Teoria liczb rzeczywistychAksjomatyczna definicja liczb rzeczywistych jest ciałem uporządkowanym, Każdy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.

7 Teoria liczb rzeczywistychMówimy, że struktura algebraiczna jest ciałem uporządkowanym, gdy: jest ciałem, lub w formie równoważnej: 1a) (R,+,,0,1) jest ciałem, 2a) 3a) jeśli oraz to 4a)

8 Teoria liczb rzeczywistychGraficzne przedstawienie zbioru liczb rzeczywistych

9 Funkcje i działania na nichDefinicja funkcji Jeżeli każdej liczbie x określonej na zbiorze przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba y to mówimy, że w zbiorze X określona jest funkcja zmiennej x. Zapisujemy to: Wielkość x nazywamy zmienną niezależną (argumentem funkcji), zaś y nazywamy zmienną zależną (wartością funkcji) f.

10 Funkcje i działania na nichX Y R x y=f(x) f

11 Funkcje i działania na nichDziedzina i przeciwdziedzina funkcji Niech . Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez Df zaś biór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy Wf. Dziedziną naturalną funkcji f nazywamy zbiór takich elementów ze zbioru R, dla których wzór określający funkcję ma sens, w przypadku gdy podany jest wyłącznie wzór funkcji.

12 Funkcje i działania na nichy=f(x) x y Df y=f(x) x y Wf Dziedzina funkcji Zbiór wartości funkcji

13 Funkcje i działania na nichRówność funkcji Dwie funkcje f oraz g określone następująco są sobie równe, tzn. f=g, gdy zachodzi:

14 Funkcje i działania na nichWykres funkcji Wykresem funkcji nazywamy zbiór: y=f(x) x y X Y Wykres funkcji f G x y Zbiór G nie jest wykresem funkcji

15 Funkcje i działania na nichFunkcja „na” Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co zapisujemy jako w.t.w., gdy: y=f(x) x y X Y

16 Funkcje i działania na nichFunkcja okresowa Funkcja jest okresowa, jeśli: Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Gdy istnieje najmniejszy okres funkcji f to nazywamy go okresem podstawowym tej funkcji.

17 Funkcje i działania na nichFunkcja parzysta Funkcja jest parzysta, jeśli: y=f(x) x y X -x f(-x) = f(x)

18 Funkcje i działania na nichFunkcja nieparzysta Funkcja jest nieparzysta, jeśli: y=f(x) x y X -x f(x) f(-x) = -f(x)

19 Funkcje i działania na nichFunkcja ograniczona Funkcja f jest ograniczona z dołu na zbiorze , jeśli jej zbiór wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu, tzn.: y=f(x) x y A f(x) m

20 Funkcje i działania na nichFunkcja ograniczona Funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze , jeśli jej zbiór wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry, tzn.: y=f(x) x y A f(x) M

21 Funkcje i działania na nichFunkcja ograniczona Funkcja f jest ograniczona na zbiorze , jeśli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze, tzn.: y=f(x) x y A f(x) M m

22 Funkcje i działania na nichFunkcja monotoniczna Funkcja f jest rosnąca na zbiorze , jeśli: y=f(x) x y A x2 f(x2) f(x1) x1

23 Funkcje i działania na nichFunkcja monotoniczna Funkcja f jest malejąca na zbiorze , jeśli: y=f(x) x y A x2 f(x2) f(x1) x1

24 Funkcje i działania na nichFunkcja monotoniczna Funkcja f jest nierosnąca na zbiorze , jeśli: y=f(x) x y A x2 f(x1) x1 f(x2)

25 Funkcje i działania na nichFunkcja monotoniczna Funkcja f jest niemalejąca na zbiorze , jeśli: y=f(x) x y A x2 f(x1) x1 f(x2)

26 Funkcje i działania na nichFunkcja monotoniczna Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, jeśli jest na tym zbiorze rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca. Funkcje rosnące i malejące nazywamy ściśle monotonicznymi. Funkcje nierosnące i niemalejące nazywamy słabo monotonicznymi.

27 Funkcje i działania na nichFunkcja monotoniczna Rodzaj monotoniczności funkcji f na zbiorze A ustalamy na podstawie znaku ilorazu: gdzie Znak ilorazu Rodzaj monotoniczności > 0 funkcja rosnąca < 0 funkcja malejąca  0 funkcja niemalejąca  0 funkcja nierosnąca

28 Funkcje i działania na nichFunkcja złożona Niech X, Y, Z, W będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, przy czym oraz niech Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję określoną wzorem: X Y=Z x y f g W w gf

29 Funkcje i działania na nichFunkcja odwrotna Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze jeśli: y=f(x) x y A x2 f(x2) f(x1) x1

30 Funkcje i działania na nichFunkcja odwrotna Niech funkcja będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do f nazywamy funkcję określoną przez warunek: Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

31 Funkcje i działania na nichFunkcja odwrotna Niech funkcja będzie różnowartościowa. Wtedy:

32 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: potęgowe, wykładnicze, trygonometryczne, funkcje odwrotne względem powyższych, ich sumy, różnice, iloczyny, ilorazy oraz superpozycje.

33 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne Funkcjami potęgowymi nazywamy funkcje: xn Dla nN funkcja potęgowa jest wielomianem. Funkcje odwrotne względem funkcji potęgowych nazywamy funkcjami pierwiastkowymi.

34 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne Funkcjami wykładniczymi nazywamy funkcje: y=ax , a>0 , a1. Są określone w dziedzinie liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich (bez zera). Funkcje odwrotne względem funkcji wykładniczych nazywamy funkcjami logarytmicznymi y=logax , a>0 , a1.

35 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne Funkcjami trygonometrycznymi nazywamy funkcje: y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x. Są określone w dziedzinie liczb rzeczywistych. Funkcje odwrotne względem funkcji trygonometrycznych nazywamy funkcjami kołowymi (cyklometrycznymi) y=arcsinx , y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.

36 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne 1. Arkus sinus (arcsin) – funkcja odwrotna do funkcji sinus „obciętej” do przedziału [-/2,/2]. Dziedziną funkcji jest przedział [-1,1] y x y=arcsin x /2 -/2

37 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne 2. Arkus kosinus (arccos) – funkcja odwrotna do funkcji kosinus „obciętej” do przedziału [0,]. Dziedziną funkcji jest przedział [-1,1] y x y=arccos x 

38 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne 3. Arkus tangens (arctg) – funkcja odwrotna do funkcji tangens „obciętej” do przedziału [-/2,/2]. Dziedziną funkcji jest R. x y=arctg x /2 -/2 y

39 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne 4. Arkus kotangens (arcctg) – funkcja odwrotna do funkcji kotangens „obciętej” do przedziału [0,]. Dziedziną funkcji jest R x y=arcctg x  /2 y

40 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne Podstawowe tożsamości dla funkcji cyklometrycznych:

41 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne Wartość bezwzględna: y=|x| x y

42 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne 1. Sinus hiperboliczny (sinh) – funkcja określona wzorem: x y=sinh x y

43 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne 2. Kosinus hiperboliczny (cosh) – funkcja określona wzorem: x y=cosh x y

44 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne 3. Tangens hiperboliczny (tgh) – funkcja określona wzorem: x y=tanh x y

45 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne 4. Kotangens hiperboliczny (ctgh) – funkcja określona wzorem: x y=coth x y 1 -1

46 Funkcje i działania na nichFunkcje elementarne Podstawowe tożsamości dla funkcji hiperbolicznych: