1 Identificación de SistemasSeñales determinísticos de tiempo discreto

2 Contenido Analisis de Fourier de señales deterministicas de tiempo discreto Densidades espectrales de energía y de potencia de señales discretas La transformada discreta de Fourier Análisis de sistemas de tiempo discreto Los operadores de adelanto y de retardo Propiedades de las señales tratadas por sistemas de tiempo discreto resumen

3 Analisis de Fourier de señales deterministicas de tiempo discreto

4 Señales de tiempo discretoNotacion: u es la señal de tiempo continuo que, posiblemente, sea la causa de la señal de tiempo discreto ud(k) := u(kTs) k =1, 2, ···. . Frecuencia de muestreo

5 Propiedades de las señalesEnergia Potencia

6 Series de Fourier de tiempo discretoSea ud(k) una señal de tiempo discreto periodica. La serie Fourier de tiempo discreto de la señal está dada por ω0 = 2π/(N0Ts) período N0 Los coeficientes son tambien periodicos

7 Series de Fourier de tiempo discreto y continuoCaso discreto Caso continuo

8 Señal periódica de tiempo discretoperiodicos ! Coeficientes de la serie Señal

9 Potencia de las señales periódicasSolo N0 valores !! Cada función exponencial en u tiene una contribución independiente a la potencia de la señal

10 Transformada de Fourier para tiempo discretoLa Transformada de Fourier para señales muestreadas (de tiempo discreto) está dada por La transformada es una funcion continua en w

11 Transformada de Fourier para tiempo discretoLa Transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto ud está dada por Ya que k es un entero, la transformada Us(ω) es una función periódica de período 2π/Ts = ωs

12 Transformada de Fourier para tiempo discretoLa Transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto ud está dada por La integral se puede tomar sobre cualquier rango de ω con longitud 2π/Ts,

13 Transformada de Fourier para tiempo discretolas señales en verde son las equivalentes para tiempo continuo Señal Transformada

14 Transformada de Fourier para señales de tiempo finitoLas señales de tiempo finito que están definidas en el intervalo [0,N], (o, estrictamente, entre [0,NTs]) Solo N valores !!

15 Transformada de Fourier de señales periódicasPara una señal periódica con período T0 los coeficientes de la serie de Fourier pueden estar directamente relacionados con una transformada de Fourier de tiempo finito, tomada durante un período de la señal periódica

16 Transformada de Fourier de un tren de impulsosSeñal Transformada

17 Potencia de las señales periódicasLa potencia de la señal se puede calcular a partir de la Transformada de Fourier

18 Densidades espectrales de energía y de potencia de señales discretas

19 Densidad Espectral de EnergíaPara una señal de energía ud(k) Donde Ψu(ω) es la Densidad Espectral de Energía

20 Densidad Espectral PotenciaPara una señal de potencia Donde Φu(ω) es la Densidad Espectral de Potencia

21 Periodograma Para señales de potencia finita la cantidadse denomina el periodograma de la señal de tiempo discreto (de tiempo finito).

22 Densidad espectral de Señales periódicasPara señales periódicas la densidad espectral de potencia puede ser calculada directamente en base a los coeficientes de Fourier de tiempo discreto

23 La transformada discreta de Fourier

24 Transformada de Fourier para señales de tiempo finitoLas señales de tiempo finito que están definidas en el intervalo [0,N], (o, estrictamente, entre [0,NTs]) Solo N valores !!

25 Transf. de Fourier de señales discretas de tiempo finitoSi restringimos la atención a la situación de señales de tiempo finito, la DTFT de tiempo finito esta dada por el par:

26 Transf. de Fourier de señales discretas de tiempo finitoObservese que mientras UN(ω) toma sus valores en una región continua de ω, para reconstruir la señal original ud sólo son necesarios N valores discretos de UN .

27 La transformada discreta de FourierEsta secuencia, UN(ω) , = 0, …N – 1}, se denomina la Transformada discreta de Fourier (DFT) de la señal ud(k)

28 La transformada discreta de FourierLa Transformada discreta de Fourier (DFT) ¿Qué se puede observar?

29 La transformada discreta de FourierLa Transformada discreta de Fourier (DFT) 1 Es periódica con un período de 2π/Ts.

30 La transformada discreta de FourierLa Transformada discreta de Fourier (DFT) 2 Constituye un mapeo uno a uno de una secuencia de longitud N de muestras en el dominio del tiempo a una secuencia de longitud N de muestras en el dominio de la frecuencia

31 La transformada discreta de FourierLa Transformada discreta de Fourier (DFT) 3 Debido a razones de simetría, la DFT satisface UN(−ω) = UN(ω)∗

32 La transformada discreta de FourierLa Transformada discreta de Fourier inversa 4 La DFT inversa, también define una secuencia en el dominio del tiempo fuera del intervalo [0, N − 1]. Induce una extensión periódica de la secuencia original ud(k), ya que la señal reconstruida es periódica con período N

33 La transformada discreta de Fourier para Ts = 1En muchas situaciones las señales de tiempo discreto son analizadas sin tener en cuenta el hecho que ellas provienen de señales muestreadas en tiempo continuo

34 ¿Preguntas?

35 Computo de la transformada discreta de FourierPara el calculo de la transformada discreta de Fourier, un computador digital únicamente trabaja con datos discretos de u(t), k = 0, …, N – 1. Además debe calcular la transformada sólo en valores discretos de w, es decir,

36 Computo de la transformada discreta de FourierRecalquemos que se debe calcular la transformada sólo en valores discretos de w,

37 Computo de la transformada discreta de FourierEs decir, para calcular la transformada es necesario usar solo las primeras N funciones exponenciales complejas periódicas

38 Computo de la transformada discreta de Fourier inversaTambien se observa que La DFT inversa es un polinomio trigonométrico de interpolación de grado ≤ N – 1 para las señales discretas de tiempo finito .

39 Forma vectorial de la trans. discreta de FourierSe puede reformular la serie discreta Fourier en forma vectorial Definiendo

40 Forma vectorial de la trans. discreta de FourierEntonces

41 Forma vectorial de la trans. discreta de FourierConsiderando se puede escribir

42 la matriz de Fourier Definimos la matriz de Fourier WN dada porentonces

43 Forma vectorial de la trans. discreta de FourierLa transformada discreta de Fourier esta dada en terminos de las matrices de Fourier se expresa por el par

44 Matriz de Fourier para N = 4Por ejemplo, para N = 4 ud(k), k = 0, 1, 2, 3

45 Carga computacional de la Transformada FourierEn general, el cálculo de todos los coeficientes de Fourier discretos de una señal muestreada N veces requiere un total de N2 multiplicaciones complejas y sumas complejas Similarmente, dados los coeficientes de Fourier, la reconstrucción de la señal muestreada requiere de N2 – N multiplicaciones complejas y N2 – N sumas complejas.

46 Transformada rápida de FourierJames Cooley y John Tukey descubrieron un algoritmo mucho más eficiente La Transformada rápida de Fourier (FFT) número de cálculos aproximado: disminuye en orden desde N2 a Nlog (N) Requerimiento: N = 2n , n entero

47 Propiedades de las señales tratadas por sistemas de tiempo discreto

48 En el dominio de la frecuenciaPara un sistema LTI de dimension finita con señal de entrada u(t) Transformada de Fourier Densidad espectral de energía Densidad espectral de potencia

49 Resumen

50 Analisis de Fourier para señales

51 Fuentes Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas Moler C. and Moler K., Numerical Computing with MATLAB. The MathWorks, Inc. and Stanford University Basile G. and Marro G., Controlled and Conditioned Invariants in Linear Systems Theory. Department of Electronics, Systems and Computer Science. University of Bologna, Italy. October 7, 2002 Tham M.T., Dynamic Models for Controller Design. Department of Chemical and Process Engineering. University of Newcastle upon Tyne

52 ULTIMA DIAPOSITIVA