1 II. Matematyczne podstawy MKMechanika Kwantowa II. Matematyczne podstawy MK WYKŁAD 7 Równanie Schrödingera

2 Plan wykładu równanie Schrödingera zależne od czasu – ogólna metoda rozwiązania, równanie Schrödingera niezależne od czasu, cząstka swobodna, ewolucja paczki gaussowskiej.

3 Równanie Schrödingera zależne od czasuStany opisane przez funkcję zależną od czasu zmieniają się zgodnie z równaniem w którym H jest operatorem całkowitej energii układu (hamiltonianem).

4 Równanie Schrödingera zależne od czasuRównanie Schrödingera z dowolnym hamiltonianem zachowuje normę funkcji falowej Dowolna funkcja falowa (stan układu fizycznego) raz unormowana do jedności pozostaje unormowana w dowolnej innej chwili czasu.

5 Równanie Schrödingera zależne od czasuW przypadku gdy operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu (układ fizyczny nazywamy wtedy zachowawczym lub konserwatywnym) poszukujemy rozwiązania równania Schrödingera w postaci separowalnej: Po przekształceniach otrzymujemy: Jest to rozwiązanie szczególne.

6 Równanie Schrödingera niezależne od czasuFunkcja spełnia tzw. stacjonarne równanie Schrödingera: gdzie H jest hamiltonianem, E jest energią układu. Dla pojedynczej cząstki mamy:

7 Równanie Schrödingera zależne od czasuRozwiązanie ogólne równania Schrödingera: gdzie jest jednym z rozwiązań zagadnienia własnego stacjonarnego równania Schrödingera:

8 Cząstka swobodna Rozważając przypadek cząstki swobodnej mamy:Równanie Schrödingera ma postać: Po separacji równania ogólnego otrzymamy: gdzie E jest energią cząstki.

9 Cząstka swobodna Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera gdzie

10 Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera dla cząstki swobodnej gdzieCząstka swobodna Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera dla cząstki swobodnej gdzie

11 Cząstka swobodna Wprowadzając oznaczenia: otrzymamy (dla jednego wymiaru): Gęstość prawdopodobieństwa wynosi: Gęstość prądu prawdopodobieństwa:

12 Cząstka swobodna Wyrażenie na gęstość prawdopodobieństwa zawiera człon interferencyjny (dla A = B mamy falę stojącą):

13 Ewolucja paczki gaussowskiejRozważamy ruch cząstki o masie m wzdłuż osi x: gdzie k jest rzeczywistym parametrem ciągłym. Pełna funkcja falowa ma postać paczki fal:

14 Ewolucja paczki gaussowskiejDla warunku początkowego w postaci: Korzystając z faktu, że: otrzymamy:

15 Ewolucja paczki gaussowskiejTak więc pełna funkcja falowa przyjmie postać: skąd:

16 Ewolucja paczki gaussowskiejWykres funkcji dla różnych wartości t (t=0, 2.5, 5, 10). Stałe równe jedności.

17 Ewolucja paczki gaussowskiejCzas podwojenia szerokości paczki: w przypadku ciała makroskopowego (m = 10-9 g, a = cm): w przypadku elektronu zlokalizowanego na obszarze a = 10-8 cm:

18 Ewolucja paczki gaussowskiejPrędkość fazowa paczki falowej: Prędkość grupowa paczki falowej: kolor czerwony – prędkość fazowa, kolor zielony – prędkość grupowa