1 III. Proste zagadnienia kwantoweMechanika Kwantowa III. Proste zagadnienia kwantowe WYKŁAD 11 Orbitalny moment pędu

2 Plan wykładu operator orbitalnego momentu pędu we współrzędnych kartezjańskich, operator orbitalnego momentu pędu we współrzędnych sferycznych, operator kwadratu orbitalnego momentu pędu we współrzędnych sferycznych, wartości własne i funkcje własne powyższych operatorów, harmoniki sferyczne.

3 Operator orbitalnego momentu pęduW tym wykładzie będziemy korzystać z wyników otrzymanych dla ogólnego momentu pędu J (Wykład 10)

4 Operator orbitalnego momentu pęduOperator orbitalnego momentu pędu (omp) podstawowe informacje

5 Operator orbitalnego momentu pęduWprowadzamy operator całkowitego momentu pędu zdefiniowany jako: oraz (niehermitowskie) operatory: - „podnoszący”: - „obniżający”:

6 Operator orbitalnego momentu pęduPodstawowe własności wprowadzonych operatorów

7 Operator orbitalnego momentu pęduPonieważ operatory L2 i L3 komutują, więc mają wspólny zbiór wektorów własnych: gdzie: . Dodatkowo mamy:

8 Operator orbitalnego momentu pęduElementy macierzowe

9 Operator orbitalnego momentu pęduElementy macierzowe

10 Operator omp we współrzędnych kartezjańskichSkładowe operatora omp (L) w reprezentacji położeniowej (współrzędne kartezjańskie):

11 Operator omp we współrzędnych sferycznychelement objętości

12 Operator omp we współrzędnych sferycznychOperatory Li we współrzędnych sferycznych:

13 Operator omp we współrzędnych sferycznychOperatory L+ we współrzędnych sferycznych: Operator L2 we współrzędnych sferycznych:

14 Operator omp we współrzędnych sferycznychWyniki pośrednie podczas obliczania L2:

15 Operator omp we współrzędnych sferycznychWyniki pośrednie podczas obliczania L2:

16 Zagadnienie własne ompWprowadzamy bazę za pomocą stanów kątowych: gdzie  jest kątem bryłowym. Warunek ortonormalności: Warunek zupełności:

17 Zagadnienie własne ompZe względu na zależności: możemy napisać:

18 Zagadnienie własne ompNa podstawie powyższych równań widzimy, że można dokonać faktoryzacji funkcji własnych, tzn. skąd otrzymamy:

19 Zagadnienie własne ompŻądanie, aby liczba kwantowa m była liczbą całkowitą wynika z żądania niezmienniczości układu fizycznego przy obrotach o kąt 2. Z faktu, że m jest liczbą całkowitą wynika, że liczba kwantowa l też musi być liczbą całkowitą, ponieważ zmienia się od –l do l co jeden.

20 Harmoniki sferyczne Harmoniki sferyczne to funkcje własne orbitalnego momentu pędu w reprezentacji położeniowej Własności:

21 Konstrukcja harmonik sferycznych 1) 2) 3)Harmoniki sferyczne Konstrukcja harmonik sferycznych 1) 2) 3)

22 Harmoniki sferyczne Wyniki

23 Harmoniki sferyczne Kilka przykładów

24 Harmoniki sferyczne Kilka przykładów

25 Reprezentacja graficzna harmonik sferycznychHarmoniki sferyczne Reprezentacja graficzna harmonik sferycznych Kolor czerwony – część dodatnia funkcji harmonik, kolor zielony – część ujemna źródło - Wikipedia