1 III. Proste zagadnienia kwantoweMechanika Kwantowa III. Proste zagadnienia kwantowe WYKŁAD 9 Oscylator harmoniczny

2 Plan wykładu hamiltonian oscylatora harmonicznego,rozwiązanie przy pomocy wielomianów Hermite’a, rozwiązanie przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji, hamiltonian w bazie energii.

3 Hamiltonian oscylatora harmonicznegoRozważmy potencjał (energię potencjalną) 1-wymiarowego oscylatora harmonicznego Wiele potencjałów posiadających minimum w pobliżu punktu x0 można przybliżyć wokół tego punktu potencjałem typu oscylatora harmonicznego.

4 Hamiltonian oscylatora harmonicznegoHamiltonian dla oscylatora ma postać: gdzie . Odpowiednie równanie Schrödingera ma postać:

5 Hamiltonian oscylatora harmonicznegoDokonując zamiany zmiennych (na bezwymiarowe) otrzymamy ostatecznie: Wielkość jest „naturalną” jednostką długości dla omawianego zagadnienia. Sformułowanie nabiera teraz znaczenia.

6 Hamiltonian oscylatora harmonicznegoZachowanie asymptotyczne ( ): Rozwiązanie ścisłe: gdzie funkcja f spełnia równanie:

7 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’aWielomiany Hermite’a spełniają równanie: Podstawowe własności:

8 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’aTak więc funkcje falowe i energie mają postać: gdzie:

9 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’aPrzykładowe gęstości prawdopodobieństwa

10 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’aMożna wykazać, że:

11 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacjiHamiltonian dla oscylatora harmonicznego zapiszemy używając operatorów anihilacji i kreacji

12 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacjiPodstawowe własności operatorów kreacji i anihilacji:

13 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacjiOperatory położenia i pędu mają postać:

14 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacjiHamiltonian przyjmie postać: Funkcje falowe otrzymujemy ze stanów: gdzie stan próżni obliczamy z warunku: otrzymując wynik identyczny jak poprzednio (przy zastosowaniu metody wielomianów Hermite’a).

15 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacjiElementy macierzowe:

16 Hamiltonian w bazie energiiElementy macierzowe operatorów w bazie energii:

17 Hamiltonian w bazie energii

18 Hamiltonian w bazie energii