1 INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach. Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników. Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na adres owy autora: MC-2010
2 RESUMÉ wiadomości WM1 (1 semestr)MC-2010
3 1.PRZYPADKI WYTRZYMAŁOŚCIOWEMC-2010
4 Redukcja układów sił wewnętrznych – siły przekrojowe{wI} n P3 Pi SwI MwI {wII} SzII MzII MzI SzI P1 Pn P2 MwII SwII n O O {wI} ≡ {ZII} {wII} ≡ {ZI} SwI ≡ SzII MwI ≡ MzII SwII ≡ SzI MwII ≡ MzI SwI ≡ - SwII MwI ≡ - MwII MC-2010
5 Siły przekrojowe w płaskich ustrojach prętowychW ogólności (3D) siły przekrojowe mają trzy składowe Swx Swy Swz Sw Mwz Mwy Mwx Mw x y z Sw{ Swx , Swy , Swz } Mw{ Mwx , Mwy , Mwz } Składowe wektorów sumy i momentu sił wewnętrznych: Swx , Swy , Swz i Mwx , Mwy , Mwz nazywamy siłami przekrojowymi MC-2010
6 Siły przekrojowe w płaskich ustrojach prętowychq . M W prętach 2D liczba sił wewnętrznych ulega redukcji, gdyż obciążenie i os pręta leżą w jednej płaszczyźnie (na rys. pł. x, z): Sx Sz Sw{ Sx , 0, Sz } My x y z Mw{ 0, My , 0 } Noszą one nazwy: Sx=N - siła podłużna Sz=Q - siła poprzeczna My = M - moment zginający MC-2010
7 Przypadki wytrzymałościoweSzczególne przypadki redukcji układu sił wewnętrznych noszą nazwę przypadków wytrzymałościowych: N ROZCIĄGANIE – gdy układ sił wewnętrznych redukuje się wyłącznie do sumy stycznej do osi pręta ŚCINANIE – gdy układ redukuje się wyłącznie do sumy leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego pręta Q M ZGINANIE – gdy układ redukuje się wyłącznie do momentu leżącego w płaszczyźnie przekroju poprzecznego pręta Ms SKRĘCANIE – gdy układ redukuje się wyłącznie do momentu stycznego do osi pręta (obciążenie w pł. prostopadłej do osi pręta) MC-2010
8 2. STAN NAPRĘŻENIA MC-2010
9 Siły wewnętrzne - naprężenia{wI} Suma sił wewnętrznych działających na ΔA A P1 Pn I Δw {ZI} n ΔA Powierzchnia otoczenia punktu A Otoczenie punktu A wektor naprężenia w punkcie A MC-2010
10 Siły wewnętrzne - naprężeniawektor naprężenia (w punkcie A) jest miarą intensywności sił wewnętrznych i zależy od wyboru punktu i płaszczyzny przekroju Wektory naprężeń: n3 σ33 p3 p1[σ11 , σ12 , σ13 ] σ32 n2 p2[σ21 , σ22 , σ23 ] σ31 σ23 p3[σ31 , σ32 , σ33 ] σ13 n1 p2 p1 σ11 , σ12 , σ13 σ22 x2 x1 x3 σ11 Tσ σ21 , σ22 , σ23 σ12 σ21 σ31 , σ32 , σ33 σ31 , σ32 , σ33 „obraz” punktu Macierz naprężeń: Tσ(σij) Składowe macierzy ij nazywamy naprężeniami a ich wymiar to [N/m2] czyli [Pa] i,j = 1,2,3 MC-2010
11 Siły wewnętrzne - naprężeniaX1= 0 itd…. x2 x1 x3 ν(νi ) ΔAν n1 ΔA1 Jeśli: ΔA2 n2 ΔA3 n3 MC-2010
12 Podsumowanie Jeśli w punkcie ciała dany jest w układzie xi stan naprężenia (tzn. znane są 3 wektory na płaszczyznach wyznaczonych przez osie układu), to można znaleźć takie 3 wersory, wyznaczające 3 płaszczyzny, na których wektory naprężeń są prostopadłe do tych płaszczyzn (nie występują na nich naprężenia styczne) a ich wielkości są ekstremalne (naprężenia główne) a układ współrzędnych wyznaczonych przez te wersory nazywa się układem osi głównych naprężeń. 2 1 3 x2 x1 x3 n1 n3 n2 p2 p3 p1 σ11 σ12 σ13 σ21 σ22 σ23 σ31 σ32 σ33 MC-2010
13 Przy wyznaczaniu trzeba pamiętac, że tylko dwa spośród 3Przy wyznaczaniu trzeba pamiętac, że tylko dwa spośród 3. równań są niezależne liniowo a brakujące równanie zastępuje związek: stwierdzający, że wektory są wersorami (wektorami o jednostkowej długości). Można wykazać, że są ekstremalnymi wartościami naprężeń normalnych (wyrazów na przekątnej głównej macierzy naprężeń) i zwykle porządkuje się je w następującej kolejności: Na odcinkach o długości równej tym modułom można zbudować elipsoidę, wewnątrz której znajdują się wszystkie możliwe wektory naprężeń występujące w danym punkcie przy zadanym obciążeniu: MC-2010
14 Koła Mohra – są obrazem przestrzennego stanu naprężenia w punkcie – na płaszczyźnie naprężeń normalnych i stycznych max MC-2010
15 Rozkład przestrzenny naprężeńNa powierzchni ciała wektor naprężenia jest znany: Naprężenia na powierzchni ciała Współrzędne wersora normalnego do powierzchni Są to statyczne warunki brzegowe, które musi spełniać rozwiązanie równania: Równanie to (równanie Naviera) nosi nazwę równania równowagi wewnętrznej. MC-2010
16 Rozkład przestrzenny naprężeńRównanie: we współrzędnych: (dla Pi=0) Jest to układ 3 rownań różniczkowych : cząstkowych, liniowych, jednorodnych. Do wyznaczenia jest 6 nieznanych funkcji naprężęń, przy spełnieniu trzech warunków brzegowych w każdym punkcie powierzchni ciała: Konieczne jest więc znalezienie dalszych równań, pozwalających na wyznaczenie wszystkich składowych macierzy naprężeń jako fonkcji zmiennych przestrzennych x1, x2, x3 . MC-2010
17 3. STAN ODKSZTAŁCENIA MC-2010
18 Wektor przemieszczeniaPrzemieszczenie B A B’ A’ MC-2010
19 Macierz odkształceń Liniowedla i=j Kątowedla ijOdkształcenia dla małych pochodnych przemieszczeń Liniowedla i=j Kątowedla ij Macierz odkształceń - symetryczna wobec przyjętej definicji odkształceń. MC-2010
20 „Obraz+ macierzy odkształceńx1 x2 x3 MC-2010
21 Macierz odkształceń głównychWartości własne są ekstremalnymi odkształceniami liniowymi, na płaszczyznach, na których nie występują odkształcenia kątowe. Wyznaczane są one z równania charakterystycznego: gdzie I1, I2, I3 są niezmiennikami macierzy odkształceń. Przy przejściu do innego układu współrzędnych za pomocą macierzy przejścia ij obowiązuje wzór: W osiach własnych macierz odkształceń ma postać diagonalną. MC-2010
22 4. ZWIĄZKI FIZYCZNE – PRAWO Hooke’aMC-2010
23 Sprężystość jest zależnością funkcyjną t.j. jedno-jednoznacznym przyporządkowaniem dwu zmiennych: siły i przemieszczenia, niezależnie od wcześniejszej historii obciążenia i sposobu przyłożenia siły (obciążenie – odciążenie) Po zdjęciu obciążenia ciało powraca do stanu wyjściowego. P u P u Materiał liniowo-sprężysty Materiał nieliniowo-sprężysty MC-2010
24 Uogólnione prawo Hooke’aUogólnienie prawa Hooke’a polega na zastąpieniu wielkości wektorowych odnoszących się do całego ciała zmiennymi stanu (naprężenie, odkształcenie) zdefiniowanymi w każdym punkcie ciała. Współczynniki w takim równaniu zależeć będą wyłącznie od własności materiału a nie od kształtu konstrukcji. Dla liniowego prawa Hooke’a funkcja f jest funkcją liniową, wiążącą 9 składowych macierzy naprężeń z 9 składowymi macierzy odkształceń. Liczba współczynników wynosi więc 81 i najwygodniej ją zapisać w postaci macierzy o 34=81 składowych: Sumacja wszystkich składowych macierzy odkształceń po indeksach kl dla każdej składowej macierzy naprężeń odzwierciedla liniowy charakter związku fizycznego. MC-2010
25 Uogólnione prawo Hooke’astałe Lamé [Pa] Sumacja ! Delta Kroneckera Związki pomiędzy naprężeniami normalnymi i odkształceniami liniowymi Związki pomiędzy naprężeniami stycznymi i odkształceniami kątowymi MC-2010
26 Uogólnione prawo Hooke’amoduł Younga [Pa] współczynnik Poissona [0] Sumacja ! Delta Kroneckera Związki pomiędzy naprężeniami normalnymi i odkształceniami liniowymi Związki pomiędzy naprężeniami stycznymi i odkształceniami kątowymi MC-2010
27 Prawa zmiany objętości i postaciPrawo zmiany objętości Prawo zmiany postaci MC-2010
28 5. ZADANIE BRZEGOWE TEORII SPRĘZYSTOŚCIMC-2010
29 Zestawienie równań liniowej teorii sprężystościRN SWB , RC KWB RH Układ równań (RN, RC, RH) jest układem 15 liniowych równań różniczkowo-algebraicznych – i jest taki sam dla każdego zadania (za wyjątkiem stałych materiałowych w RH). Zróżnicowanie zadań polega na sformułowaniu warunków brzegowych, które zawierają: kształat ciała( νj ), obciążenie ( qνi ), oraz warunki podparcia (przemieszczenia lub/i ich pochodne na brzegu ciała). Stąd nazwa: ZADANIE BRZEGOWE TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. MC-2010
30 Hipotezy de Saint-Venanta i Bernoulliego1. Hipoteza dSV: W punktach ciała dostatecznie odległych od miejsca przyłożenia obciazenia rozkład naprężeń i odkształceń nie zależy od sposobu przyłożenia tego obciążenia – pod warunkiem, że są one statycznie równoważne Pozwala ona na uogólnienie rozwiązania ZB TS na różne przypadki obciążenia (różne Statyczne Warunki Brzegowe), w wyniku czego otrzymujemy komplet rozwiązania w postaci naprężeń, odkształceń i przemieszczeń. Rozwiązanie zadania brzegowego TS z uwzględnieniem hipotezy dSV uwalnia nas od posługiwania się pojęciem przypadków wytrzymałościowych Przykładem zastosowania zasady dSV jest przypadek swobodnego skręcania pręta pryzmatycznego, który pokazuje, że przekroje płaskie po przyłożenia obciążenia nie zawsze takimi pozostają. MC-2010
31 Hipotezy de Saint-Venanta i Bernoulliego2. Hipoteza B: Przekroje poprzeczne pręta płaskie przed przyłożeniem obciążenia pozostają płaskie także po jego przyłożeniu Pozwala ona (szczególnych przypadków redukcji sił przekrojowych) na założenie - dla poszczególnych przypadków wytrzymałościowych - przemieszczeń przekroju poprzecznego pręta i na tej podstawie wyznaczenie odkształceń a następnie naprężeń. Wyznaczenie przemieszczeń wymaga uwzględnienia kinematycznych warunków brzegowych. Hipoteza B pozwala na określenie naprężeń i odkształceń w dowolnym przekroju pręta bez potrzeby uciekania się każdorazowo do rozwiązywania skomplikowanego zadania brzegowego TS. Hipotezę B stosuje się do podstawowych przypadków wytrzymałościowych: rozciąganie skręcanie a także ścinanie – przy odpowiednich ograniczeniach co do geometrii pręta (pręt pryzmatyczny, o długości znacznie większej niż wymiary poprzeczne) MC-2010