1 Integracion de sistemas de ecuaciones

2 Contenido Integracion de sistemas de primer ordenModelos matematicos de sistemas Integracion de sistemas de ecuaciones lineales

3 Integracion de sistemas de primer orden

4 Integracion de sistemas de primer ordenProblema: encontrar la trayectoria del estado del sistema de primer orden Es posible usar los metodos de Euler o trapezoidal

5 Integracion de sistemas de primer orden: Euler explicitoAproximacion del sistema continuo usando Euler explicito: T = step size

6 Integracion de sistemas de primer orden: Euler implicitoAproximacion del sistema continuo usando Euler implicito: Notese que xA(n+1) aparece a ambos lados de la ecuacion

7 Integracion de sistemas de primer orden: Euler implicitoEn el caso de un sistema lineal la solucion es sencilla Luego,

8 Modelo de simulacion de un sistema continuo de primer ordenEl diagrama de simulacion representa la dinamica del sistema continuo como una conexion de bloques algebraicos e integradores

9 Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer ordenLa ecuacion de diferencias del integrador discreto depende del integrador seleccionado para aproximar el integrador continuo

10 Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer ordenIntegrator de Euler explicito

11 Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer ordenIntegrator de Euler implicito

12 Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer ordenIntegrator Trapezoidal

13 Ejercicio: un tanque dentro del aguaLa velocidad de caida de un objeto dentro del agua se desribe con la ecuacion W : peso del objeto, 350 lbs c : coeficiente de arrastre, 0.8 lb/(ft/sec) FB : Fuerza de flotacion, 275 lbs g : gravedad, 32.2 ft/sec2

14 Ejercicio: un tanque dentro del aguaLa velocidad de caida de un objeto dentro del agua se desribe con la ecuacion Solucion exacta

15 Ejemplo: un tanque dentro del aguaImplementar un modelo de simulacion del sistema Hallar la velocidad aproximada Hallar la velocidad verdadera y compare con la aproximada Si el barril impacta el fondo del oceano, 1 milla por debajo de la superficie, a una velocidad mayor que 60 mph se rompe. Comentar la posibilidad de que esto ocurra.

16 Modelos matematicos de sistemas

17 Modelos matematicos de sistemasAlgunas veces los modelos matematicos tienen la forma

18 Modelos matematicos de sistemasOtras veces los modelos matematicos tienen la forma

19 Modelos matematicos de sistemasSin embargo, siempre es posible convertir un sistema de orden n en n ecuaciones de primer orden

20 Ejemplo de un sistema de segundo ordenSistema de segundo orden original Sistema de primer orden equivalente

21 Ejercicio Convertir el modelo de segundo ordena un sistema de ecuaciones de primer orden

22 Ejemplos en Matlab

23 Ejemplo 1 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones desde t = 0 hasta t = 1 con un paso de integracion de 0.5

24 Funcion del integrador por el metodo de Euler

25 Solucion del sistema de ecuacionesfunction f = example(t,y) % dy1/dt = f1 = -0.5 y1 % dy2/dt = f2 = *y *y2 % let y(1) = y1, y(2) = y2 % tspan = [0 1] % initial conditions y0 = [4, 6] f1 = -0.5*y(1); f2 = *y(1) - 0.3*y(2); f = [f1, f2]'; (h = 0.5) >> [t,y]=Euler_sys('example5',[0 1],[4 6],0.5); (h = 0.2) >> [t,y]=Euler_sys('example5',[0 1],[4 6],0.2);

26 Ejemplo 2: Caso no linealResolver la ecuacion del pendulo dado por el siguiente sistema de ecuaciones en t = [0, 15]

27 Ejemplo 2: El pendulo function f = pendulum(t,y)% nonlinear pendulum d^2y/dt^ dy/dt = -sin(y) % convert to two first-order ODEs % dy1/dt = f1 = y2 % dy2/dt = f2 = -0.1*y2 - sin(y1) % let y(1) = y1, y(2) = y2 % tspan = [0 15] % initial conditions y0 = [pi/2, 0] f1 = y(2); f2 = -0.3*y(2) - sin(y(1)); f = [f1, f2]';

28 Nonlinear Pendulum n = 100 n = 200 n = 500 n = 1000» [t,y1]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/100); » [t,y2]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/200); » [t,y3]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/500); » [t,y4]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/1000); » H=plot(t1,y1(:,1),t2,y2(:,1),t3,y3(:,1),t4,y4(:,1)) n = 100 n = 200 n = 500 n = 1000 Nonlinear Pendulum

29 Ejercicio: ParacaidistaSegunda ley de Newton F = ma = Fdown - Fup = mg - cdv2 (gravedad menos resistencia del aire)

30 Paracaidista: un sistema de segundo ordenVelocidad y posicion de la caida de un paracaidista Solucion exacta

31 Ejercicio: ParacaidistaHallar la solucion aproximada Comparar la solucion verdadera con la aproximada Implementar un modelo en simulink del sistema.

32 Integracion de sistemas de ecuaciones lineales

33 Ecuaciones de estado de sistemas linealesProblema: Dadas las ecuaciones de estado lineales Encontrar el modelo de simulacion aproximado

34 Modelo aproximado: Euler explicito

35 Modelo aproximado: Euler implicitoMas calculo que en el caso explicito porque es necesario invertir la matriz (I – TA)

36 Modelo aproximado: TrapezoidalMas calculo que en el caso Euler implicito

37 Ejercicios Estudiar del documento de Klee Ejercicio 3.5.3Caso de estudio – Ascenso vertical de un buzo Rework Example 5.1 using forward Euler integration. Begin with an initial step size T = 1 sec and continue doubling T until an optimal choice is obtained. Specify the stop condition used to identify when the optimal value of T is obtained. A mass is suspended from a stationary support by a spring as shown in Figure P1. The mass is displaced from its equilibrium position and released with zero velocity. The continuous model of the system is m􀀅x􀀅+ kx = 0 .

38 Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas