1 Integrales Eulerianas“CÁLCULO I” BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Integrales Eulerianas Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

2 Integral Euleriana de segunda especieFunción G de Euler Integral Euleriana de segunda especie --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

3 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN G DE EULER--Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

4 Integral Euleriana de primera especieFunción b de Euler Integral Euleriana de primera especie --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

5 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN b DE EULERCambio: x=t/(t+1) Cambio: x=sen2(t) --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

6 EJEMPLO Calcular: Solución:--Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

7 Límites integración: x = 0  t = 0 x =   t = EJEMPLO Calcular: Solución: Cambio de variable: x3 = t  3x2 dx = dt Límites integración: x = 0  t = 0 x =   t =  G(1) --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

8 Límites integración: x = 0  t = 0 x =   t =  p-1=1/2 p=3/2EJEMPLO Calcular: Solución: Cambio de variable: x2 = t  2x dx = dt dx =(1/2).t-1/2 dt  x = t1/2 Límites integración: x = 0  t = 0 x =   t =  p-1=1/2 p=3/2 G(3/2) --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

9 Límites integración: x = 0  t = 0 x = 1  t = 1 p-1=3/2 p=5/2 EJEMPLO Calcular: Solución: Cambio de variable: x2 = t  2x dx = dt dx =(1/2).t-1/2 dt  x = t1/2 Límites integración: x = 0  t = 0 x = 1  t = 1 p-1=3/2 p=5/2 q-1=6 q=7 b(5/2,7) --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

10 Límites integración: t = 0  u = 0 t =   u =  p-1=-1/4 p=3/4 EJEMPLO Calcular: Solución: Cambio de variable: t4 = u  4.t3.dt = du  dt = (1/4).t-3.du  t2 = u1/2 dt = (1/4).u-3/4.du Límites integración: t = 0  u = 0 t =   u =  p-1=-1/4 p=3/4 p+q=2 q=5/4 --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

11 Límites integración: t = 1  u = 0 t =   u =  p+q=4 q=3/2 EJEMPLO Calcular: Solución: Cambio de variable: t-1 = u  dt = du  t = 1+u p-1=3/2 p=5/2 Límites integración: t = 1  u = 0 t =   u =  p+q=4 q=3/2 b(5/2,3/2) --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

12 EJERCICIOS PROPUESTOS:1. (*) (Pista: cambio x2 = y) Solución: (*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas” Ed. Tébar Flores. --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

13 (Pista: cambio x2 = y luego: y/(1+y)=t)2. (*) Solución: (Pista: cambio x2 = y luego: y/(1+y)=t) (*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas” Ed. Tébar Flores. --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

14 Pista: hacer la descomposición:(*) 3. Solución: Pista: hacer la descomposición: (*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas” Ed. Tébar Flores. --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

15 4. (*) Solución: (Pista: cambio x = 2.t-1)(*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas” Ed. Tébar Flores. --Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

16 5. (*) Solución: (*) Fuente: Universidad Alfonso X El Sabio--Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

17 6. (*) Solución: (*) Fuente: Universidad Alfonso X El Sabio--Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

18 7. (*) Solución: (*) Fuente: Universidad Alfonso X El Sabio--Integrales Eulerianas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez