1 Interpolación por Splines

2 Función Spline Ajusta una curva suave a los puntosSigue la idea de la spline flexible de un dibujante Consiste de polinomios definidos sobre subintervalos Los polinomios se unen entre sí satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad

3 Aplicación: spline natural

4 Grados de una spline

5 Spline lineal Pendiente discontinua en los puntos

6 Polinomios de más alto gradoF es chata (excepto entre -1 y 1) Se requieren ceros fuera de [-1,1] Así se crean las oscilaciones SOLUCIÓN? Ajustar distintos polinomios

7 Ajuste mixto Se ajustó una cuadrática en [-0.65, 0.65]P(x)=0 fuera de esa región Discontinuidad en las pendientes donde se unen los polinomios

8 Definición

9 Splines cúbicas

10 Balance de Ecuaciones Condiciones de interpolaciónPara los puntos interiores: 2(n-1) ecuaciones Para los extremos: 2 ecuaciones Condiciones de continuidad 2(n-1) ecuaciones Condiciones de extremo (terminales) Spline cúbica natural ó Spline enclavada ó Spline periódica 2 ecuaciones

11 Condiciones de Interpolación

12 Condiciones de Continuidad

13 Condiciones de Extremo: Spline Cúbica NaturalDerivada segunda igual a cero en los extremos=> derivada primera constante => función lineal en los extremos La curva se “achata” cerca de los extremos

14 Condiciones de Extremo: Spline Enclavada (clamped)

15 Aplicación: splines enclavadas

16 Condiciones de Extremo: Spline Periódica

17 Ventaja: evita el fenómeno de Runge

18 Algoritmo de splines cúbicas

19 Ecuaciones

20 Condiciones

21 Solución

22 Simplificación del desarrollo

23 Coeficientes

24 Sustituyendo …

25 Invocando iguales pendientes …

26 Ecuación general

27 En forma matricial:

28 Condiciones para Extremos

29 La matriz de coeficientes queda así:

30 Condiciones para extremos

31 La matriz de coeficientes queda así:

32 Observaciones Después de obtener los z, se pueden calcular los coeficientes a, b, c para cada cúbica Matrices simétricas Datos igualmente espaciados, las matrices se reducen a formas simples

33 Lectura obligatoria Gerald págs