1 Introducción a Funciones de una variableMini-video 3 de 5 Materia: Derivabilidad de funciones Aplicaciones económicas Prácticas con

2 Introducción a Funciones de una variableDerivabilidad de funciones Entramos en este epígrafe en el estudio de los conceptos relacionados con derivadas, aplicaciones a la Economía, regla de la cadena, aproximación de una función con ayuda de sus derivadas, cálculo del crecimiento y decrecimiento de la función, de su concavidad o convexidad y la obtención de puntos óptimos.

3 Introducción a Funciones de una variableDerivabilidad de funciones Entramos en este epígrafe en el estudio de los conceptos relacionados con derivadas, aplicaciones a la Economía, regla de la cadena, aproximación de una función con ayuda de sus derivadas, cálculo del crecimiento y decrecimiento de la función, de su concavidad o convexidad y la obtención de puntos óptimos. Concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. Sea una función F(x) definida en un conjunto abierto D y sea “a” un punto de D. La derivada de la función F(x) en el punto "a" se define como el siguiente límite:

4 Introducción a Funciones de una variableComo se desprende de la definición, la derivada de una función en un punto es un número real dado por la determinación de un límite. Si ese límite existe diremos que existe la derivada en el punto en cuestión o que la función es derivable en ese punto.

5 Introducción a Funciones de una variableComo se desprende de la definición, la derivada de una función en un punto es un número real dado por la determinación de un límite. Si ese límite existe diremos que existe la derivada en el punto en cuestión o que la función es derivable en ese punto. Si consideramos una aplicación en la que a una función dada F(x) le asociemos su derivada en un punto de D, a esa función le llamaremos función derivada de F(x) y la denotaremos como F'(x) o bien:

6 Introducción a Funciones de una variableComo se desprende de la definición, la derivada de una función en un punto es un número real dado por la determinación de un límite. Si ese límite existe diremos que existe la derivada en el punto en cuestión o que la función es derivable en ese punto. Si consideramos una aplicación en la que a una función dada F(x) le asociemos su derivada en un punto de D, a esa función le llamaremos función derivada de F(x) y la denotaremos como F'(x) o bien: Desde el punto de vista práctico, este concepto es muy importante, ya que nunca calcularemos derivadas a partir de la definición a partir del cálculo de un límite, sino a partir de la función derivada.

7 Introducción a Funciones de una variableEjemplo Sea la función F(x)=x2. Calcular su función derivada a partir de la definición anterior e interpretar su resultado.

8 Introducción a Funciones de una variableEjemplo Sea la función F(x)=x2. Calcular su función derivada a partir de la definición anterior e interpretar su resultado. Solución: Apliquemos la definición directamente:

9 Introducción a Funciones de una variableEjemplo Sea la función F(x)=x2. Calcular su función derivada a partir de la definición anterior e interpretar su resultado. Solución: Apliquemos la definición directamente: Calculamos: Luego:

10 Introducción a Funciones de una variable

11 Introducción a Funciones de una variableSi dibujamos la gráfica de la función, y tomamos dos puntos en los que la función esté definida, por ejemplo, x=1,x=2, resultará que:

12 Introducción a Funciones de una variableSi dibujamos la gráfica de la función, y tomamos dos puntos en los que la función esté definida, por ejemplo, x=1,x=2, resultará que: Si observamos la gráfica vemos que en el punto x=1 hay una menor “pendiente” que en el x=2.

13 Introducción a Funciones de una variableLa derivada tiene entonces una interesante interpretación geométrica: la derivada de una función F(x) en un punto x=a, se interpreta como la pendiente de la tangente a la gráfica de y=F(x) en el punto (a , F(a))

14 Introducción a Funciones de una variableLa derivada tiene entonces una interesante interpretación geométrica: la derivada de una función F(x) en un punto x=a, se interpreta como la pendiente de la tangente a la gráfica de y=F(x) en el punto (a , F(a)) Evidentemente, el cálculo de la derivada de una función no se realiza mediante el cálculo del límite, sino que existen determinadas funciones de las cuales hemos de conocer su derivada. Las principales son las siguientes:

15 Introducción a Funciones de una variableLa derivada tiene entonces una interesante interpretación geométrica: la derivada de una función F(x) en un punto x=a, se interpreta como la pendiente de la tangente a la gráfica de y=F(x) en el punto (a , F(a)) Evidentemente, el cálculo de la derivada de una función no se realiza mediante el cálculo del límite, sino que existen determinadas funciones de las cuales hemos de conocer su derivada. Las principales son las siguientes:

16 Introducción a Funciones de una variable

17 Introducción a Funciones de una variablePropiedades: Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son las siguientes:

18 Introducción a Funciones de una variablePropiedades: Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son las siguientes:

19 Introducción a Funciones de una variablePropiedades: Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son las siguientes:

20 Introducción a Funciones de una variablePropiedades: Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son las siguientes:

21 Introducción a Funciones de una variablePropiedades: Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son las siguientes:

22 Introducción a Funciones de una variablePropiedades: Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son las siguientes:

23 Introducción a Funciones de una variablePropiedades: Algunas de las principales propiedades que cumplen las derivadas son las siguientes:

24 Introducción a Funciones de una variableEjemplo: Calcular la derivada en el punto x=5 de la función:

25 Introducción a Funciones de una variableEjemplo: Calcular la derivada en el punto x=5 de la función: Solución: Es la derivada de un cociente, por lo tanto aplicamos:

26 Introducción a Funciones de una variableEjemplo: Calcular la derivada en el punto x=5 de la función: Solución: Es la derivada de un cociente, por lo tanto aplicamos: Siendo:

27 Introducción a Funciones de una variableCalculamos las derivadas G’(x) y H’(x):

28 Introducción a Funciones de una variableCalculamos las derivadas G’(x) y H’(x): Luego:

29 Introducción a Funciones de una variableCalculamos las derivadas G’(x) y H’(x): Luego:

30 Introducción a Funciones de una variableAplicaciones económicas En el tema que nos ocupa, podemos destacar muchas aplicaciones de las derivadas a la Economía. Como una primera aplicación, destacamos que la derivada de una función F(x) en un punto a es la tasa instantánea de F(x) en a; para entender dicho concepto, vamos a deducirlo a partir de la tasa de variación media como vemos en los siguientes ejemplos.

31 Introducción a Funciones de una variableAplicaciones económicas En el tema que nos ocupa, podemos destacar muchas aplicaciones de las derivadas a la Economía. Como una primera aplicación, destacamos que la derivada de una función F(x) en un punto a es la tasa instantánea de F(x) en a; para entender dicho concepto, vamos a deducirlo a partir de la tasa de variación media como vemos en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1 Supongamos que entre los meses de enero y noviembre del año 2000 el Ibex ha pasado del valor al Determinar la tasa de variación media mensual.

32 Introducción a Funciones de una variableAplicaciones económicas En el tema que nos ocupa, podemos destacar muchas aplicaciones de las derivadas a la Economía. Como una primera aplicación, destacamos que la derivada de una función F(x) en un punto a es la tasa instantánea de F(x) en a; para entender dicho concepto, vamos a deducirlo a partir de la tasa de variación media como vemos en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1 Supongamos que entre los meses de enero y noviembre del año 2000 el Ibex ha pasado del valor al Determinar la tasa de variación media mensual. Solución: Dado el periodo transcurrido, 11 meses, podemos llamar: Ibex_0 = Ibex_11 = 9000 Entonces la tasa media mensual será:

33 Introducción a Funciones de una variablePor lo tanto, si la tasa de variación media la definimos como: nos devuelve cuantas veces crece (decrece en nuestro ejemplo) la variable “y” (en nuestro ejemplo el Ibex) por cada una de x (en nuestro ejemplo el mes).

34 Introducción a Funciones de una variableEjemplo 2 Sea la función: Determinar la tasa de variación media en el punto x=1 para un incremento “h”.

35 Introducción a Funciones de una variableEjemplo 2 Sea la función: Determinar la tasa de variación media en el punto x=1 para un incremento “h”. Solución: La tasa de variación en el punto x=1 es:

36 Introducción a Funciones de una variableEjemplo 3 Sea la función: Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3.

37 Introducción a Funciones de una variableEjemplo 3 Sea la función: Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3. Solución: La tasa de variación instantánea es el límite de la tasa de variación media cuando el intervalo de variación de la variable independiente tiende a cero:

38 Introducción a Funciones de una variableEjemplo 3 Sea la función: Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3. Solución: La tasa de variación instantánea es el límite de la tasa de variación media cuando el intervalo de variación de la variable independiente tiende a cero: En el punto x=1:

39 Introducción a Funciones de una variableEs decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1:

40 Introducción a Funciones de una variableEs decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1: En el punto x=2:

41 Introducción a Funciones de una variableEs decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1: En el punto x=2: En el punto x=3:

42 Introducción a Funciones de una variableEs decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1: En el punto x=2: En el punto x=3: Observamos que las tasas de variación instantánea o las derivadas de la función dada en cada uno de los puntos han dado valores muy distintos: negativo, cero y positivo. Si dibujamos la gráfica de la función podremos comprobar este hecho:

43 Introducción a Funciones de una variableVemos que en x=1 la pendiente es negativa, en x=2 la pendiente es cero y en x=3 la pendiente es positiva. Observamos, además que la pendiente, en valor absoluto, es mayor en x=3 que en x=1

44 Introducción a Funciones de una variableOtras aplicaciones son los conceptos marginales. Así, si suponemos una empresa que produce un único bien en un número de unidades igual a “x”, entonces si llamamos C(x) al coste de producción de dicho bien y I(x) al ingreso por la venta del mismo, el beneficio: B(x) = I(x) – C(x) Pues bien, a las derivadas de estas funciones se llaman: B’(x) beneficio marginal, I’(x) ingreso marginal y C’(x) coste marginal. Sea F(x) y x un punto donde F(x) es derivable con La elasticidad de F con respecto a x es:

45 Introducción a Funciones de una variableEjemplo: Demostrar que

46 Introducción a Funciones de una variableEjemplo: Demostrar que Solución:

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48 Introducción a Funciones de una variableMini-video 4 de 5 Materia: Derivadas de orden superior Derivación de funciones compuestas Aproximación de una función. Fórmula de Taylor Prácticas con