1 Introducción a la Estadística

2 Introducción a la EstadísticaDescripción de los conjuntos de datos Uso de la Estadística para sintetizar conjuntos de datos Probabilidad Variables aleatorias discretas Variables aleatorias normales

3 Descripción de los conjuntos de datos

4 Descripción de los conjuntos de datos2.1 Introducción 2.2 Tablas y gráficas de frecuencias 2.3 Datos agrupados e histogramas 2.4 Gráficas de tallos y hojas 2.5 Conjuntos de datos apareados

5 Descripción de los conjuntos de datosEs muy importante que los resultados numéricos de cualquier estudio se presenten en forma clara y concisa, de modo que rápidamente se pueda tener una idea de las características esenciales de los datos.

6 Descripción de los conjuntos de datosEsto es particularmente necesario cuando se trata de un gran conjunto de datos, como frecuentemente ocurre en las encuestas o en los experimentos controlados.

7 Descripción de los conjuntos de datosRealmente, una presentación efectiva de los datos a menudo revela con rapidez elementos tales como su categoría, su grado de simetría, lo concentrados o dispersos que están, dónde se concentran, etcétera.

8 Descripción de los conjuntos de datos2.1 Introducción 2.2 Tablas y gráficas de frecuencias 2.3 Datos agrupados e histogramas 2.4 Gráficas de tallos y hojas 2.5 Conjuntos de datos apareados

9 Tablas de frecuencias

10 Frecuencia La frecuencia es el número de veces que un dato aparece en el conjunto total de datos.

11 Tabla de frecuencias Cuando se tiene un conjunto de datos que contiene un número relativamente pequeño de valores diferentes, conviene representarlo en una tabla de frecuencias, la cual incluye cada valor distinto junto con su frecuencia de ocurrencia.

12 Tabla de frecuencias En dicha tabla, la columna de frecuencias representa el número de ocurrencias de cada valor distinto del conjunto de datos.

13 Ejemplo El experimento consiste en tirar un dado 200 veces. La variable aleatoria es la cara del dado que queda hacía arriba; le podemos asignar el número que dicha cara tiene, pero igual podría tener un gatito, un color o lo que sea.

14 Ejemplo: Tirar un dado 200 veces# 3 5 2 4 1 6 La tabla muestra los resultados obtenidos:

15 # 1 2 3 4 5 6 La tabla muestra los resultados obtenidos ordenados en orden creciente:

16 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36 Número obtenido Frecuencia Total 200 # 1 2

17 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36 Total 200 Esta es la tabla de frecuencias:

18 En un grupo de 75 alumnos se pone un examen. Ejemplo En un grupo de 75 alumnos se pone un examen. La variable aleatoria, que es cuantitativa, es la calificación obtenida por el estudiante. La siguiente tabla muestra la frecuencia observada de las diferentes calificaciones:

19 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos 1 2 4 3 7 12 5 23 6 8 9 10 TOTAL 75 Esta es la tabla de frecuencias:

20 Ejemplo En un estudio sociológico, con la participación de un grupo minoritario, se registró el nivel educativo de los participantes. El nivel educativo se codificó de la siguiente manera: menos de la escuela secundaria fue codificada como 1, la escuela secundaria fue codificado como 2, graduado de la universidad fue codificado como 3, y de postgrado que se cifraron como 4. Los resultados fueron:

21 Ejemplo: Estudio del nivel educativo1 2 3 4 Menos de la escuela secundaria fue codificada como 1, la escuela secundaria fue codificado como 2, graduado de la universidad fue codificado como 3, y de postgrado que se cifraron como 4.

22 1 2 3 4 1 2 3 4

23 1 2 3 4 Escolaridad Número de personas 1 12 2 26 3 7 4 Total 46

24 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas 1 12 2 26 3 7 4 Total 46 Esta es la tabla de frecuencias:

25 Gráficas de líneas

26 Gráficas de líneas Se pueden mostrar gráficamente los datos de una tabla de frecuencias mediante un gráfico de líneas, en el que los valores sucesivos se representan sobre el eje horizontal y sus correspondientes frecuencias se representan mediante la altura de una línea vertical.

27 Gráfico de una tabla de frecuencias. Gráficas de líneas Gráfico de una tabla de frecuencias. La abscisa especifica el valor de un dato, y la frecuencia de ocurrencia de tal valor se identifica con la altura de una línea vertical.

28 Ejemplo El experimento consiste en tirar un dado 200 veces. La variable aleatoria es la cara del dado que queda hacía arriba; le podemos asignar el número que dicha cara tiene, pero igual podría tener un gatito, un color o lo que sea.

29 Ejemplo: Tirar un dado 200 veces# 3 5 2 4 1 6 La tabla muestra los resultados obtenidos:

30 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36 Total 200

31 Gráficas de líneas de tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36

32 ¿Cómo hace uno la gráfica con papel, lápiz y unas escuadras

33 ¿Cómo hace uno la gráfica con papel, lápiz y unas escuadras

34 ¿Cómo hace uno la gráfica con papel, lápiz y unas escuadras

35 ¿Cómo hace uno la gráfica con papel, lápiz y unas escuadras

36 ¿Cómo hace uno la gráfica con papel, lápiz y unas escuadras

37 ¿Cómo hace uno la gráfica con papel, lápiz y unas escuadras

38 ¿Cómo hace uno la gráfica con papel, lápiz y unas escuadras

39 ¿Cómo hace uno la gráfica con papel, lápiz y unas escuadras

40 ¿Cómo hace uno la gráfica con papel, lápiz y unas escuadras

41 ¿Cómo hace uno la gráfica con papel, lápiz y unas escuadras

42 Ejemplo En un estudio sociológico, con la participación de un grupo minoritario, se registró el nivel educativo de los participantes. El nivel educativo se codificó de la siguiente manera: menos de la escuela secundaria fue codificada como 1, la escuela secundaria fue codificado como 2, graduado de la universidad fue codificado como 3, y de postgrado que se cifraron como 4. Los resultados fueron:

43 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas 1 12 2 26 3 7 4 Total 46

44 Gráfica de líneas del estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas 1 12 2 26 3 7 4 Total 46

45 Gráficas de barras

46 Estas gráficas, llamadas gráficas de barras, se utilizan muy a menudo.En ocasiones, las frecuencias no se representan mediante líneas sino mediante barras de una cierta anchura. Estas gráficas, llamadas gráficas de barras, se utilizan muy a menudo.

47 Gráficas de barras La abscisa especifica el valor de un dato, y la frecuencia de ocurrencia de tal valor se identifica con la altura de una barra vertical.

48 Ejemplo Las principales causas de muerte no natural en Inglaterra están resumidas en la siguiente tabla: Causa de muerte Número Coche 30,500 Otros accidentes 27,500 Suicidio 20,234 Homicidio 8,342

49 Ejemplo: Causas de muerte violenta en InglaterraCausa de muerte Número Coche 30,500 Otros accidentes 27,500 Suicidio 20,234 Homicidio 8,342

50 Causa de muerte Número Coche 30,500 Otros accidentes 27,500 Suicidio 20,234 Homicidio 8,342

51

52 Ejemplo El experimento consiste en tirar un dado 200 veces. La variable aleatoria es la cara del dado que queda hacía arriba; le podemos asignar el número que dicha cara tiene, pero igual podría tener un gatito, un color o lo que sea.

53 Ejemplo: Tirar un dado 200 veces# 3 5 2 4 1 6 La tabla muestra los resultados obtenidos:

54 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36 Total 200

55 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36

56 Ejemplo: Tirar un dado 200 veces

57 En un grupo de 75 alumnos se pone un examen. Ejemplo En un grupo de 75 alumnos se pone un examen. La variable aleatoria, que es cuantitativa, es la calificación obtenida por el estudiante. La siguiente tabla muestra la frecuencia observada de las diferentes calificaciones:

58 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos 1 2 4 3 7 12 5 23 6 8 9 10 TOTAL 75

59 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos 1 2 4 3 7 12 5 23 6 8 9 10 TOTAL 75

60 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnos

61 Ejemplo En un estudio sociológico, con la participación de un grupo minoritario, se registró el nivel educativo de los participantes. El nivel educativo se codificó de la siguiente manera: menos de la escuela secundaria fue codificada como 1, la escuela secundaria fue codificado como 2, graduado de la universidad fue codificado como 3, y de postgrado que se cifraron como 4. Los resultados fueron:

62 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas 1 12 2 26 3 7 4 Total 46

63 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas 1 12 2 26 3 7 4 Total 46

64 Ejemplo: Estudio del nivel educativo

65 Ejemplo: La población en México

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69 Densidad de población por entidad federativa

70 Polígono de frecuencias

71 Polígono de frecuenciasOtro tipo de gráfica utilizada para representar una tabla de frecuencias es el polígono de frecuencias, en el que se muestran gráficamente las frecuencias de los diferentes valores de los datos y luego se conectan los puntos de la gráfica mediante líneas rectas.

72 Ejemplo El experimento consiste en tirar un dado 200 veces. La variable aleatoria es la cara del dado que queda hacía arriba; le podemos asignar el número que dicha cara tiene, pero igual podría tener un gatito, un color o lo que sea.

73 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36 Total 200

74 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36

75 Ejemplo: Tirar un dado 200 veces

76 En un grupo de 75 alumnos se pone un examen. Ejemplo En un grupo de 75 alumnos se pone un examen. La variable aleatoria, que es cuantitativa, es la calificación obtenida por el estudiante. La siguiente tabla muestra la frecuencia observada de las diferentes calificaciones:

77 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos 1 2 4 3 7 12 5 23 6 8 9 10 TOTAL 75

78 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos 1 2 4 3 7 12 5 23 6 8 9 10 TOTAL 75

79 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnos

80 Ejemplo En un estudio sociológico, con la participación de un grupo minoritario, se registró el nivel educativo de los participantes. El nivel educativo se codificó de la siguiente manera: menos de la escuela secundaria fue codificada como 1, la escuela secundaria fue codificado como 2, graduado de la universidad fue codificado como 3, y de postgrado que se cifraron como 4. Los resultados fueron:

81 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas 1 12 2 26 3 7 4 Total 46

82 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas 1 12 2 26 3 7 4 Total 46

83 Ejemplo: Estudio del nivel educativo

84 Conjuntos de datos simétricos

85 Conjunto de datos simétricos

86 Conjunto de datos simétricos

87 En un grupo de 75 alumnos se pone un examen. Ejemplo En un grupo de 75 alumnos se pone un examen. La variable aleatoria, que es cuantitativa, es la calificación obtenida por el estudiante. La siguiente tabla muestra la frecuencia observada de las diferentes calificaciones:

88 Conjunto de datos simétricos. EjemploCalificación Número de alumnos 1 2 4 3 7 12 5 23 6 8 9 10 TOTAL 75

89 Conjunto de datos simétricos. Ejemplo

90 Conjunto de datos simétricos. Ejemplo

91 Conjunto de datos aproximadamente simétricosLos datos "próximos" a ser simétricos se dice que son aproximadamente simétricos.

92 Conjunto de datos aproximadamente simétricosLos datos "próximos" a ser simétricos se dice que son aproximadamente simétricos. La forma más fácil de determinar si un conjunto de datos es aproximadamente simétrico consiste en representarlos gráficamente.

93

94 La frecuencia relativa

95 Frecuencias relativasFrecuencia de un valor dividida entre el número total de datos del conjunto.

96 Frecuencias relativas

97 Gráficas de frecuencias relativasEn ocasiones, es más conveniente considerar y representar gráficamente las frecuencias relativas que las frecuencias absolutas de los datos.

98 Gráficas de frecuencias relativas

99 Gráficas de frecuencias relativasUna gráfica de frecuencias relativas tiene la misma apariencia que la gráfica análoga de frecuencias absolutas, aunque los valores del eje vertical se han dividido entre el número total de observaciones del conjunto de datos.

100 Para construir una tabla de frecuencias relativas de un conjunto de datos

101 Para construir una tabla de frecuencias relativas de un conjunto de datos

102 Para construir una tabla de frecuencias relativas de un conjunto de datos

103 Para construir una tabla de frecuencias relativas de un conjunto de datos

104 Ejemplo El experimento consiste en tirar un dado 200 veces. La variable aleatoria es la cara del dado que queda hacía arriba; le podemos asignar el número que dicha cara tiene, pero igual podría tener un gatito, un color o lo que sea.

105 Ejemplo: Tirar un dado 200 veces# 3 5 2 4 1 6 La tabla muestra los resultados obtenidos:

106 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36 Total 200

107 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36

108 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36

109 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia 1 35 2 45 3 30 4 5 24 6 36

110 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia Frecuencia relativa 1 35 0.175 2 45 0.225 3 30 0.150 4 5 24 0.120 6 36 0.180 Total 200 1.000

111 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia Frecuencia relativa 1 35 0.175 2 45 0.225 3 30 0.150 4 5 24 0.120 6 36 0.180 Total 200 1.000

112 Ejemplo: Tirar un dado 200 veces

113 Ejemplo: Tirar un dado 200 vecesNúmero obtenido Frecuencia Frecuencia relativa 1 35 0.175 2 45 0.225 3 30 0.150 4 5 24 0.120 6 36 0.180 Total 200 1.000

114 Ejemplo: Tirar un dado 200 veces

115 En un grupo de 75 alumnos se pone un examen. Ejemplo En un grupo de 75 alumnos se pone un examen. La variable aleatoria, que es cuantitativa, es la calificación obtenida por el estudiante. La siguiente tabla muestra la frecuencia observada de las diferentes calificaciones:

116 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos 1 2 4 3 7 12 5 23 6 8 9 10 TOTAL 75

117 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos 1 2 4 3 7 12 5 23 6 8 9 10 TOTAL 75

118 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos 1 2 4 3 7 12 5 23 6 8 9 10 TOTAL 75

119 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos Frecuencia relativa 1 0.013 2 0.027 4 0.053 3 7 0.093 12 0.160 5 23 0.307 6 8 9 10 TOTAL 75 1.000

120 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos Frecuencia relativa 1 0.013 2 0.027 4 0.053 3 7 0.093 12 0.160 5 23 0.307 6 8 9 10 TOTAL 75 1.000

121 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnos

122 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnosCalificación Número de alumnos Frecuencia relativa 1 0.013 2 0.027 4 0.053 3 7 0.093 12 0.160 5 23 0.307 6 8 9 10 TOTAL 75 1.000

123 Ejemplo: Las calificaciones de 75 alumnos

124 Ejemplo En un estudio sociológico, con la participación de un grupo minoritario, se registró el nivel educativo de los participantes. El nivel educativo se codificó de la siguiente manera: menos de la escuela secundaria fue codificada como 1, la escuela secundaria fue codificado como 2, graduado de la universidad fue codificado como 3, y de postgrado que se cifraron como 4. Los resultados fueron:

125 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas 1 12 2 26 3 7 4 Total 46

126 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas 1 12 2 26 3 7 4 Total 46

127 Ejemplo: Estudio del nivel educativo

128 Ejemplo: Estudio del nivel educativo

129 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas Frecuencia relativa 1 12 0.261 2 26 0.565 3 7 0.152 4 0.022 Total 46 1.000

130 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas Frecuencia relativa 1 12 0.261 2 26 0.565 3 7 0.152 4 0.022 Total 46 1.000

131 Ejemplo: Estudio del nivel educativo

132 Ejemplo: Estudio del nivel educativoEscolaridad Número de personas Frecuencia relativa 1 12 0.261 2 26 0.565 3 7 0.152 4 0.022 Total 46 1.000

133 Ejemplo: Estudio del nivel educativo

134 Ejemplo Los siguientes datos representan los tiempos de progresión, medidos en meses, de un tipo particular de tumor cerebral, llamado glioblastoma, en 65 pacientes: 6, 5, 37, 10, 22, 9, 2, 16, 3, 3, 11, 9, 5, 14, 11, 3, 1, 4, 6, 2, 7, 3, 7, 5, 4, 8, 2, 7, 13, 16, 15, 9, 4, 4, 2, 3, 9, 5, 11, 3, 7, 5, 9, 3, 8, 9, 4, 10, 3, 2, 7, 6, 9, 3, 5, 4, 6, 4, 14, 3, 12, 6, 8, 12, 7

135 Meses 6 7 8 5 9 37 4 10 22 2 3 13 16 15 11 14 1 12 6, 5, 37, 10, 22, 9, 2, 16, 3, 3, 11, 9, 5, 14, 11, 3, 1, 4, 6, 2, 7, 3, 7, 5, 4, 8, 2, 7, 13, 16, 15, 9, 4, 4, 2, 3, 9, 5, 11, 3, 7, 5, 9, 3, 8, 9, 4, 10, 3, 2, 7, 6, 9, 3, 5, 4, 6, 4, 14, 3, 12, 6, 8, 12, 7

136 Meses 6 7 8 5 9 37 4 10 22 2 3 13 16 15 11 14 1 12 Meses 1 4 9 2 5 3 10 6 11 12 7 13 14 15 16 8 22 37

137 Meses 1 4 9 2 5 3 10 6 11 12 7 13 14 15 16 8 22 37 Meses Pacientes Frecuencia relativa 1 0.015 2 5 0.077 3 10 0.154 4 7 0.108 6 0.092 8 0.046 9 0.031 11 12 13 14 15 16 22 37 Total 65 1.000

138 Meses Pacientes Frecuencia relativa 1 0.015 2 5 0.077 3 10 0.154 4 7 0.108 6 0.092 8 0.046 9 0.031 11 12 13 14 15 16 22 37 Total 65 1.000

139 Meses Pacientes 1 2 5 3 10 4 7 6 8 9 11 12 13 14 15 16 22 37 Total 65

140 Meses Pacientes 1 2 5 3 10 4 7 6 8 9 11 12 13 14 15 16 22 37 Total 65

141 Meses Pacientes Frecuencia relativa 1 0.015 2 5 0.077 3 10 0.154 4 7 0.108 6 0.092 8 0.046 9 0.031 11 12 13 14 15 16 22 37 Total 65 1.000

142 Meses Pacientes Frecuencia relativa 1 0.015 2 5 0.077 3 10 0.154 4 7 0.108 6 0.092 8 0.046 9 0.031 11 12 13 14 15 16 22 37 Total 65 1.000

143 Frecuencia absoluta

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145 Gráficas de pastel

146 Gráficas de pastel Es una gráfica que representa las frecuencias relativas mediante la división de un círculo en sectores.

147 Gráficas de pastel Las gráficas de pastel suelen utilizarse para representar las frecuencias relativas cuando los datos no son numéricos.

148 Gráficas de pastel Se construye un círculo que luego se divide en sectores, uno por cada valor diferente de los datos.

149 Gráficas de pastel

150 Gráficas de pastel

151 Ejemplo La tabla siguiente muestra el número de muertes que hubo en las carreteras británicas durante 1987 distribuidas por clases: Clases Número de muertes Peatones 1699 Ciclistas 280 Motociclistas 650 Automovilistas 1327

152 Ejemplo: Número de muertes en las carreteras británicasClases Número de muertes % Grados Peatones 1699 0.43 155 Ciclistas 280 0.07 25 Motoristas 650 0.16 59 Automovilistas 1327 0.34 121 Total 3956 1.00 360

153 Clases Número de muertes Peatones 1699 Ciclistas 280 Motoristas 650 Automovilistas 1327 Total 3956

154 Ejemplo: Muertes en las carreteras Británicas

155 Ejemplo La tabla siguiente muestra la composición de la actual cámara de diputados en nuestro país:

156 Ejemplo: Composición de la Cámara de DiputadosPartido Total PRI 237 PAN 143 PRD 71 PVEM 21 PT 13 NA 9 CONV 6 TOTAL 500

157 Ejemplo: Composición de la Cámara de DiputadosPartido Total % Grados PRI 237 0.47 171 PAN 143 0.29 103 PRD 71 0.14 51 PVEM 21 0.04 15 PT 13 0.03 9 NA 0.02 6 CONV 0.01 4 TOTAL 500 1.00 360

158 Ejemplo: Composición de la Cámara de DiputadosPartido Total PRI 237 PAN 143 PRD 71 PVEM 21 PT 13 NA 9 CONV 6 TOTAL 500

159 Ejemplo: Composición de la Cámara de Diputados

160 Ejemplo: Composición de la Cámara de DiputadosPartido Total PRI 237 PAN 143 PRD 71 PVEM 21 PT 13 NA 9 CONV 6 TOTAL 500

161 Ejemplo Las principales causas de muerte no natural en Inglaterra están resumidas en la siguiente tabla: Causa de muerte Número Coche 30,500 Otros accidentes 27,500 Suicidio 20,234 Homicidio 8,342

162 Ejemplo: Principales causas de muerte no natural en InglaterraCausa de muerte Número % Grados Coche 30,500 0.35 127 Otros accidentes 27,500 0.32 114 Suicidio 20,234 0.23 84 Homicidio 8,342 0.10 35 Total 86,576 1.00 360

163 Ejemplo: Causas de muerte violenta en InglaterraCausa de muerte Número Coche 30,500 Otros accidentes 27,500 Suicidio 20,234 Homicidio 8,342

164 Ejemplo: Causas de muerte violenta en Inglaterra

165 Ejemplo: Causas de muerte violenta en Inglaterra

166 Gráficas de pastel. EjemploPoblación cuya lengua materna es el inglés

167 Descripción de los conjuntos de datos2.1 Introducción 2.2 Tablas y gráficas de frecuencias 2.3 Datos agrupados e histogramas 2.4 Gráficas de tallos y hojas 2.5 Conjuntos de datos apareados

168 Agrupación de los datosComo hemos visto, el uso de gráficas de barras o líneas es una forma bastante efectiva de representar las frecuencias de los diferentes valores.

169 Agrupación de los datosSin embargo, en algunos conjuntos de datos el número de valores distintos es demasiado grande para que se puedan utilizar los gráficas citados.

170 Intervalos de clase

171 Intervalos de clase En su lugar, es posible clasificar dichos valores en grupos o intervalos de clase, para luego representar gráficamente el número de datos que corresponden a cada clase.

172 Intervalos de clase En la elección del número de intervalos de clase se debe ponderar entre: elegir pocos a costa de perder mucha información sobre los datos reales de cada intervalo de clase, o elegir muchos, con lo que las frecuencias resultantes de cada intervalo de clase pueden ser demasiado pequeñas para que se reconozcan los patrones de forma.

173 Intervalos de clase Aunque lo más habitual suele ser entre 5 y 10 intervalos de clase, el número apropiado es una elección subjetiva, y uno puede, como es natural, probar distintos números de intervalos de clase para ver cuál de las gráficas resultantes revela más información sobre los datos.

174 Intervalos de clase Es corriente, aunque no esencial, elegir intervalos de clase de igual longitud.

175 Extremos de los intervalos de claseLos puntos inicial y final de cada intervalo de clase se llaman extremos o límites del mismo, extremo inferior y extremo superior respectivamente.

176 Extremos de los intervalos de claseNosotros utilizaremos el convenio de inclusión por la izquierda, lo que significa que el intervalo de clase incluye el extremo de la izquierda pero no el de la derecha.

177 Tamaño o anchura de un intervalo de claseEs la diferencia entre los extremos de clase que la forman.

178 Marca de clase La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase, y se obtiene sumando los extremos inferior y superior de la clase y dividiendo entre 2.

179 Ejemplo Los siguientes datos (en miles de pesos) representan las rentas netas anuales de una muestra de contribuyentes: 47,55,18,24,27,41,50,38,33,29,15,77,64,22,19,35,39,41,67,55,121,77,80,34,41,48,60,30,22,28,84,55,26,105,62,30,17,23,31,28,56,64,88,104,115,39,25,18,21,30,57,4038,29,19,46,40,49,72,70,37,39,18,22,29,52,94,86,23,36

180 Ingreso 47 19 22 88 40 55 35 28 104 49 18 39 84 115 72 24 41 70 27 67 26 25 37 105 50 121 62 21 38 77 30 33 80 17 57 29 34 23 52 15 31 94 48 86 64 60 56 46 36

181 Ingreso 15 25 35 47 67 17 26 36 48 70 18 27 37 49 72 28 38 50 77 52 19 29 39 55 80 84 21 86 22 30 40 56 88 57 94 41 60 104 23 31 62 105 33 64 115 24 34 46 121

182 Ingreso 15 25 35 47 67 17 26 36 48 70 18 27 37 49 72 28 38 50 77 52 19 29 39 55 80 84 21 86 22 30 40 56 88 57 94 41 60 104 23 31 62 105 33 64 115 24 34 46 121

183 15-37 30 37-59 22 59-81 10 81-103 4 103-125 Intervalo FrecuenciaIngreso 15 25 35 47 67 17 26 36 48 70 18 27 37 49 72 28 38 50 77 52 19 29 39 55 80 84 21 86 22 30 40 56 88 57 94 41 60 104 23 31 62 105 33 64 115 24 34 46 121 Intervalo Frecuencia 15-37 30 37-59 22 59-81 10 81-103 4

184 Ingreso 15 25 35 47 67 17 26 36 48 70 18 27 37 49 72 28 38 50 77 52 19 29 39 55 80 84 21 86 22 30 40 56 88 57 94 41 60 104 23 31 62 105 33 64 115 24 34 46 121

185 Intervalo Frecuencia 15-26 15 26-37 37-48 13 48-59 9 59-70 5 70-81Ingreso 15 25 35 47 67 17 26 36 48 70 18 27 37 49 72 28 38 50 77 52 19 29 39 55 80 84 21 86 22 30 40 56 88 57 94 41 60 104 23 31 62 105 33 64 115 24 34 46 121 Intervalo Frecuencia 15-26 15 26-37 37-48 13 48-59 9 59-70 5 70-81 81-92 3 92-103 1 2

186 Ejemplo Tiempo que tardan 124,089,000 gringos en ir al trabajo (Encuesta realizada por la Oficina de censos en el año 2000): Intervalo Ancho Cantidad (miles) 5 4,180 13,687 10 18,618 15 19,634 20 17,981 25 7,190 30 16,369 35 3,212 40 4,122 45 9,200 60 6,461 90 3,435

187 Histogramas

188 Histogramas Una gráfica de barras en la que las barras sean adyacentes se llama histograma.

189 se muestran en una gráfica de barras.Histogramas Gráfica en la que los datos se dividen en intervalos de clase, cuyas frecuencias se muestran en una gráfica de barras.

190 Histogramas El eje vertical de un histograma puede representar, bien las frecuencias de los intervalos de clase o bien sus frecuencias relativas. En el primer caso, el histograma se llama histograma de frecuencias; en el segundo, se trata de un histograma de frecuencias relativas.

191 Histogramas Es importante notar, que una tabla de frecuencias de intervalos de clase o un histograma basado en tal tabla, no contiene toda la información del conjunto de datos originales.

192 Histogramas Ambas representaciones utilizan sólo el número de valores dentro de cada intervalo de clase, y no los valores reales de los datos. Así pues, aunque las tablas y los gráficas citados son un útil reflejo de los datos, el conjunto de datos originales se debe mantener siempre.

193 Histogramas 1. Ordene los datos en forma creciente. 2. Elija los intervalos de clase de manera que todos los datos aparezcan en alguno de ellos. 3. Construya una tabla de frecuencias. 4. Dibuje las barras adyacentes con alturas iguales a las frecuencias del paso 3.

194 Ejemplo Los siguientes datos (en miles de pesos) representan las rentas netas anuales de una muestra de contribuyentes: 47,55,18,24,27,41,50,38,33,29,15,77,64,22,19,35,39,41,67,55,121,77,80,34,41,48,60,30,22,28,84,55,26,105,62,30,17,23,31,28,56,64,88,104,115,39,25,18,21,30,57,40,38,29,19,46,40,49,72,70,37,39,18,22,29,52,94,86,23,36

195 Ingreso 47 19 22 88 40 55 35 28 104 49 18 39 84 115 72 24 41 70 27 67 26 25 37 105 50 121 62 21 38 77 30 33 80 17 57 29 34 23 52 15 31 94 48 86 64 60 56 46 36

196

197 Ingreso 15 25 35 47 67 17 26 36 48 70 18 27 37 49 72 28 38 50 77 52 19 29 39 55 80 84 21 86 22 30 40 56 88 57 94 41 60 104 23 31 62 105 33 64 115 24 34 46 121

198

199 15-37 30 37-59 22 59-81 10 81-103 4 103-125 Intervalo FrecuenciaIngreso 15 25 35 47 67 17 26 36 48 70 18 27 37 49 72 28 38 50 77 52 19 29 39 55 80 84 21 86 22 30 40 56 88 57 94 41 60 104 23 31 62 105 33 64 115 24 34 46 121 Intervalo Frecuencia 15-37 30 37-59 22 59-81 10 81-103 4

200 Intervalo Frecuencia 15-37 30 37-59 22 59-81 10 81-103 4

201

202 Intervalo Frecuencia 15-26 15 26-37 37-48 13 48-59 9 59-70 5 70-81Ingreso 15 25 35 47 67 17 26 36 48 70 18 27 37 49 72 28 38 50 77 52 19 29 39 55 80 84 21 86 22 30 40 56 88 57 94 41 60 104 23 31 62 105 33 64 115 24 34 46 121 Intervalo Frecuencia 15-26 15 26-37 37-48 13 48-59 9 59-70 5 70-81 81-92 3 92-103 1 2

203 Intervalo Frecuencia 15-26 15 26-37 37-48 13 48-59 9 59-70 5 70-81 81-92 3 92-103 1 2

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205

206 Ejemplo Tiempo que tardan 124,089,000 gringos en ir al trabajo (Encuesta realizada por la Oficina de censos en el año 2000): Intervalo Ancho Cantidad (miles) 5 4,180 13,687 10 18,618 15 19,634 20 17,981 25 7,190 30 16,369 35 3,212 40 4,122 45 9,200 60 6,461 90 3,435

207

208 Histogramas La importancia de un histograma estriba en que permite organizar y presentar los datos gráficamente para que se pueda prestar atención a determinadas características importantes de los datos.

209 Histogramas Un histograma puede indicar: 1. La simetría de los datos 2. La dispersión de éstos. 3. Si existen intervalos que tienen un alto nivel de concentración de datos. 4. Si existen brechas entre los datos. 5. Si algunos valores de datos están muy separados de otros.

210 Histogramas

211 Histogramas

212 Histogramas

213 Histogramas

214 Histogramas

215 Histogramas

216 Histogramas Un histograma es, en esencia, un diagrama de barras que muestra gráficamente las frecuencias o las frecuencias relativas de los datos que aparecen dentro de los distintos intervalos de clase.

217 Polígonos de frecuencia

218 Polígonos de frecuenciaDichas frecuencias de clase también se pueden representar gráficamente mediante polígonos de frecuencias absolutas o de frecuencias relativas.

219 Polígonos de frecuenciaCada intervalo de clase es identificado por un valor, que generalmente coincide con el punto medio del intervalo.

220 Polígonos de frecuenciaDespués, estos valores se representan gráficamente frente a las frecuencias de los intervalos de clase que representan y los puntos de la gráfica se conectan mediante líneas rectas para conseguir el polígono de frecuencias.

221 Polígonos de frecuenciaEstas gráficas son especialmente útiles para comparar conjuntos de datos, puesto que en una misma gráfica se pueden mostrar varios polígonos de frecuencias.

222 Migración a los Estados UnidosEjemplo Intervalo Europa México 1821–1830 98,797 4,817 1831–1840 495,681 6,599 1831–1850 1,597,442 3,271 1851–1860 2,452,577 3,078 1861–1870 2,064,141 2,191 1871–1880 2,271,925 5,162 1881–1890 4,735,484 1,913 1891–1900 3,555,352 971 1901–1910 8,056,040 49,642 1911–1920 4,321,887 219,004 1921–1930 2,463,194 459,287 1931–1940 347,566 22,319 1941–1950 621,147 60,589 1951–1960 1,325,727 299,811 1961–1970 1,123,492 453,937 1971–1980 800,368 640,294 1981–1990 761,550 1,655,843 1991–2000 1,359,737 2,249,421 Migración a los Estados Unidos

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229 Descripción de los conjuntos de datos2.1 Introducción 2.2 Tablas y gráficas de frecuencias 2.3 Datos agrupados e histogramas 2.4 Gráficas de tallos y hojas 2.5 Conjuntos de datos apareados

230 Gráficas de tallos y hojasUna forma eficiente de representar un conjunto de datos de tamaño pequeño o moderado consiste en utilizar las gráficas de tallos y hojas.

231 Gráficas de tallos y hojasTales gráficas se obtienen dividiendo cada valor de dato en dos partes, su tallo y su hoja.

232 Gráficas de tallos y hojasPor ejemplo, si todos los datos son de dos dígitos, el tallo de un valor podría ser el dígito de las decenas y su hoja, el dígito de las unidades. Es decir, el valor 73 se expresaría como Tallo Hoja Y dos valores, digamos el 73, y 78 se representarán como , 8

233 Gráficas de tallos y hojasEs similar a un histograma, con la excepción que las frecuencias se indican en una lista con los últimos dígitos (las hojas) de los datos.

234 Gráficas de tallos y hojas. EjemploLos siguientes datos representan las edades, redondeadas al año más próximo, de 43 pacientes de emergencia en un hospital de adultos: 23,18,31,79,44,51,24,19,17,25,27,19,44,61,22,18,14,17,29,31,22,17,15,40,55,16,17,19,20,32,20,45,53,27,16,19,22,20,18,30,20,33,21

235 Gráficas de tallos y hojas. EjemploEdad 23 15 18 40 31 55 79 16 44 17 51 19 24 20 32 25 45 27 53 61 22 14 30 29 33 21 Los siguientes datos representan las edades, redondeadas al año más próximo, de 43 pacientes de emergencia en un hospital de adultos:

236 Gráficas de tallos y hojas. EjemploEdad 14 22 15 23 16 24 25 17 27 29 30 18 31 32 19 33 40 44 20 45 51 53 55 21 61 79 Los siguientes datos representan las edades, redondeadas al año más próximo, de 43 pacientes de emergencia en un hospital de adultos:

237 Gráficas de tallos y hojas. EjemploEdad 14 22 15 23 16 24 25 17 27 29 30 18 31 32 19 33 40 44 20 45 51 53 55 21 61 79 1 4 (1) 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9 (14) 2 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4 (10) 5, 7, 7, 9 (4) 3 0, 1, 1, 2, 3 (5) 0, 4, 4 (3) 5 1, 3 (2) 6 7 9

238 Gráficas de tallos y hojasLas gráficas de tallos y hojas son bastante útiles para mostrar todos los valores de los datos mediante una representación clara que puede ser un primer paso en la descripción, el resumen y el aprendizaje a partir de los datos.

239 Gráficas de tallos y hojasResulta más adecuado para conjuntos de datos de tamaño moderado. Si el tamaño del conjunto de datos fuera muy grande, desde un punto de vista práctico, los valores de las hojas podrían ser excesivos y puede que las gráficas de tallos y hojas no fueran más informativas que un histograma.

240 Gráficas de tallos y hojasEn cuanto a su forma, estas gráficas se parecen a un histograma girado, con el adicional que presenta todos los valores existentes dentro de cada clase. Estos valores dentro de cada clase pueden ser de gran utilidad para detectar patrones en los datos, (tales como ver que todos los datos son múltiplos de algún valor), o para encontrar qué valores suceden con mayor frecuencia dentro de cada tallo.

241 Gráficas de tallos y hojasEn ocasiones, si una gráfica de tallos y hojas tiene demasiadas hojas por tallo resulta excesivamente desordenada. Una posible solución es la de duplicar el número de tallos, generando dos tallos nuevos por cada uno de los antiguos.

242 Gráficas de tallos y hojasSupongamos que tenemos un tallo 3 0, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9 lo dividimos en dos tallos 0, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 4 3 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9

243 Gráficas de tallos y hojas

244 Descripción de los conjuntos de datos2.1 Introducción 2.2 Tablas y gráficas de frecuencias 2.3 Datos agrupados e histogramas 2.4 Gráficas de tallos y hojas 2.5 Conjuntos de datos apareados

245 Conjuntos de datos apareadosEn ocasiones, los conjuntos de datos consisten en pares de valores con algún tipo de relación entre ellos.

246 Conjuntos de datos apareadosEn ocasiones, los conjuntos de datos consisten en pares de valores con algún tipo de relación entre ellos.

247 Conjuntos de datos apareados. EjemploPara determinar la relación entre la temperatura que hay al mediodía (medida en grados Celsius) y el número de piezas defectuosas producidas dicho día, una compañía registró los datos siguientes correspondientes a 22 días laborables:

248 Temperatura Piezas defectuosas 24.2 25 22.7 31 30.5 36 28.6 33 25.5 19 32.0 24 27 26.5 25.3 16 26.0 14 24.4 22 24.8 23 20.6 20 25.1 21.4 23.7 23.9 25.2 30 27.4 28.3 32 28.8 35 26.6 Total 569 Para determinar la relación entre la temperatura que hay al mediodía (medida en grados Celsius) y el número de piezas defectuosas producidas dicho día, una compañía registró los datos siguientes correspondientes a 22 días laborables:

249 Para determinar la relación entre la temperatura que hay al mediodía (medida en grados Celsius) y el número de piezas defectuosas producidas dicho día, una compañía registró los datos siguientes correspondientes a 22 días laborables. En este caso los pares de datos son la temperatura y el numero de piezas defectuosas. Tenemos un conjunto de 22 parejas de datos, cuya primera componente es la temperatura y la segunda componente el número de piezas defectuosas encontradas en ese momento. Por ejemplo, el tercer día la temperatura era de 30.5 grados centígrados y el número de piezas defectuosas halladas fue de 36.

250 Conjuntos de datos apareadosUna posibilidad de representación de esos conjuntos de datos consiste en considerar separadamente cada uno de los datos apareados y en representar cada uno de ellos mediante histogramas o gráficas de tallos y hojas.

251 Conjuntos de datos apareadosSin embargo, dicha representación por separado, en general no nos dicen nada acerca de la relación existente entre ambas variables. Así por ejemplo, no son útiles por sí mismas para ayudar a discernir si existe algún tipo de correlación o dependencia entre las dos variables.

252 Conjuntos de datos apareadosPara responder a cuestiones de este tipo, es preciso considerar simultáneamente los valores apareados de cada dato puntual.

253 Conjuntos de datos apareados. EjemploTemperatura Piezas defectuosas 24.2 25 22.7 31 30.5 36 28.6 33 25.5 19 32.0 24 27 26.5 25.3 16 26.0 14 24.4 22 24.8 23 20.6 20 25.1 21.4 23.7 23.9 25.2 30 27.4 28.3 32 28.8 35 26.6 Total 569 Para determinar la relación entre la temperatura que hay al mediodía (medida en grados Celsius) y el número de piezas defectuosas producidas dicho día, una compañía registró los datos siguientes correspondientes a 22 días laborables:

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256 Diagramas de dispersión

257 Diagrama de dispersiónUna posibilidad para considerar simultáneamente los valores apareados de cada dato puntual, es mediante un diagrama de dispersión.

258 Diagramas de dispersiónUna forma útil de mostrar un conjunto de datos con valores apareados es la de representarlos mediante un gráfico cartesiano con dos ejes perpendiculares.

259 Tales gráficas se denominan diagramas de dispersión.En el eje X aparecerían los valores x de los datos, mientras que los valores y estarían en el eje Y. Tales gráficas se denominan diagramas de dispersión.

260 Ejemplo Temperatura Piezas defectuosas 24.2 25 22.7 31 30.5 36 28.6 33 25.5 19 32.0 24 27 26.5 25.3 16 26.0 14 24.4 22 24.8 23 20.6 20 25.1 21.4 23.7 23.9 25.2 30 27.4 28.3 32 28.8 35 26.6 Total 569 Para determinar la relación entre la temperatura que hay al mediodía (medida en grados Celsius) y el número de piezas defectuosas producidas dicho día, una compañía registró los datos siguientes correspondientes a 22 días laborables:

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262 Diagramas de dispersiónAparte de que representan los patrones conjuntos de dos variables y de que nos permiten hacer predicciones, los diagramas de dispersión resultan útiles para detectar outliers, los datos puntuales que aparentemente no siguen los patrones de los demás datos.

263 Diagramas de dispersión. EjemploEl tiempo de espera entre las erupciones y la duración de la erupción del géiser Old Faithful en el Parque Nacional Yellowstone, Wyoming, EE.UU.. Esta gráfica sugiere que por lo general hay dos "tipos" de erupciones en cuanto a la espera: cortos y largos.

264 Diagramas de dispersión. Ejemplo

265 Ejemplo

266 Comprensión de lecturaMatemáticas Comprensión de lectura 750 700 710 720 790 780 680 620 610 640 630 540 550 570 600 580

267 Matemáticas Lectura 750 700 710 720 790 780 680 620 610 640 630 540 550 570 600 580

268 Matemáticas Lectura 750 700 710 720 790 780 680 620 610 640 630 540 550 570 600 580

269 Matemáticas Lectura 750 700 710 720 790 780 680 620 610 640 630 540 550 570 600 580

270 Matemáticas Lectura 750 700 710 720 790 780 680 620 610 640 630 540 550 570 600 580

271 A pesar de algunas pequeñas incongruencias, lectura y matemáticas tienen una fuerte relación lineal: personas con altos niveles de comprensión de lectura tienden a tener altas calificaciones en matemáticas y viceversa, y aquellos con puntuaciones más bajas en un área tienden a tener peores puntuaciones en la otra.

272 Ejemplo Los datos siguientes relacionan el periodo de atención (en minutos) y la puntuación en un test de inteligencia (IQ) de 18 niños en edad preescolar. Periodo de atención Puntuación IQ 2.0 82 6.3 105 5.5 118 3.0 88 5.4 108 3.6 128 4.4 86 6.6 112 5.2 94 7.0 116 3.8 130 4.9 90 6.5 122 2.7 140 6.1 99 7.2 110 2.2 142

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