1 Introducción Programación Matemática Objetivos:Estudio de problemas de Optimización Objetivos: Planteamiento Caracterización Resolución

2 Introducción Modelos matemáticos de sistemas reales Objeto:Estudio de sistemas reales en condiciones de operación atípicas Diseño de sistemas Desarrollos teóricos

3 Introducción Partes de un problema de optimización:Variables: representación de alternativas Función objetivo: criterio de selección Restricciones: condiciones sobre alternativas Limitaciones de recursos Condiciones técnicas

4 Formulación de problemasEjemplos: Generar ofertas en mercados eléctricos Gestión de carteras Planificación de la producción Asignación de turnos/tripulaciones Problemas de transporte Modelos de teoría económica

5 Formulación de problemasOptimización de carteras Cambios en la cotización de activos

6 Formulación de problemasPlanteamiento del problema Variable: proporción de cartera en activo, x Función objetivo: riesgo de la cartera xTR x Restricciones: rentabilidad, rTx   normalización, eTx = 1, x  0

7 Formulación de problemasDatos del problema: Rentabilidades medias: r = ( ),  = 5 Matriz de covarianzas: R =

8 Formulación de problemasPreguntas a responder: ¿Es el siguiente punto una solución? x = ( ) ( f = ) x = ( ) ( f = ) x = ( ) ( f = 93.3 ) ¿Cuál es la solución del problema? x = ( ) ( f = 70.0 ) ¿Cómo identificar y calcular soluciones?

9 Consideraciones generalesProceso de estudio Planteamiento del problema Caracterización de soluciones Dada una alternativa, ¿es solución? Cálculo de soluciones Encontrar la mejor alternativa Estudio para diferentes tipos de problemas

10 Consideraciones generalesFormulación para estudio del problema Problema a considerar: minx f (x ) s.a c (x )  0 Funciones f y c diferenciables

11 Consideraciones generalesCondiciones de extremo A partir de la definición del problema: condiciones basadas en valores de f y c Ineficiente para problemas con muchas alternativas A partir de propiedades de las funciones del problema, f y c Derivadas de dichas funciones

12 Consideraciones generalesPropiedades de funciones Simple para funciones sencillas Lineales, cuadráticas En otro caso, aproximar las funciones del problema mediante funciones sencillas Aproximaciones locales Desarrollos en serie de Taylor

13 Consideraciones generalesInconvenientes aproximaciones locales No detectan estructuras alejadas Soluciones locales y soluciones globales facilidad de cálculo frente a suboptimalidad solución global: mejor punto de todos solución local: mejor punto entre próximos

14 Consideraciones generalesCaracterización de soluciones Soluciones globales f (x )  f (y ) y { z : c (z )  0 } Soluciones locales f (x )  f (y ) y { z : c (z )  0 ,  x - z  <  }

15 Consideraciones generalesSoluciones locales y globales Mínimo global Mínimo local

16 Consideraciones generales¿Cuando coinciden extremos locales y globales? Bajo hipótesis de convexidad Función objetivo convexa Región factible convexa Restricciones cóncavas Ejemplo: problemas lineales