1 Inversión sísmica con redes bayesianasAlumno: Fidel Reyes Ramos Asesor: Dr. Guillermo Morales Luna

2 Contenido Introducción Objetivo Descripción Presentación de modelosPerspectivas

3 Motivación La predicción de propiedades de rocas es importante debido a que: Se describe la estructura geológica de los yacimientos Con ello, se planea su exploración, producción y costo.

4 Objetivos Encontrar relaciones de dependencia entre:Propiedades físicas de las rocas A) Determinar la incertidumbre en los cálculos B) Mediante modelos dinámicos Propiedades físicas entre diferentes pozos A) Dirigidas por la proximidad entre los pozos B) Mediante Redes Bayesianas

5 Metodología Construir redes bayesianas que describan las relaciones de dependencia entre Propiedades físicas de las rocas Propiedades entre diferentes pozos petroleros

6 Registros de pozos

7 Cálculo de propiedades de roca (1/2)Las propiedades de roca se determinan por modelos bien conocidos. Tales modelos Son escogidos de acuerdo a la hipótesis de la geología subyacente Tienen parámetros que dependen de esta geología Se les calcula algorítmicamente como se muestra enseguida.

8 Cálculo de propiedades de roca (2/2)VCL Rt Mineralogía Porosidad Litofacies IFr K SW F

9 Inversión Es todo aquel procedimiento que hace corresponder un modelo a una serie de datos dados (Scales, 2000)

10 Métodos de estudio Determinación de propiedades mediante formulamientos de geofísica El que aquí se propone: Resolver el problema inverso por medio de redes bayesianas

11 Incertidumbres por modelarEl modelo probabilístico es apropiado debido a que ahí se expresa factores inciertos como: Ruido en los datos Criterios para decidir si los factores modelados son suficientes para el caso de estudio.

12 Problemas al estudiar un yacimientoLos datos que se toman tienen ruido y su apreciación un nivel de incertidumbre, debido al gran número de factores que intervienen en su adquisición La fluctuación de los datos parece aleatoria ya que hay procesos involucrados que no se conocen con certeza

13 Expresión probabilística de un modelo geofísicoTarantola (1987) propone incluir esta incertidumbre mediante la expresión: donde g(D) es el modelo geofísico y CD es la matriz de covarianza que incluye las incertidumbres del modelo

14 Antecedentes de la aplicación de este enfoqueLoures, Luiz G., Bayesian porosity inference using rock physics and geostatistical modeling, Geophysics, CSEG, 2002. Mukerji, T., Jorstad, A., Makvd, G, Granil, J., Applying statistical rock physics and seismic inversion to map lithofacies and pore fluid probabilities in a North Sea reservoir, URE, Norgewian University of Science and Technology , 2002 Peres Gouveia, W., Bayesian Seismic Waveform Inversion, Ph. D. Doctoral dissertation, Colorado School of Mines, 1996.

15 Propiedad concreta: Cálculo de volúmenes de mineralesVolúmenes de minerales: Describen la composición de minerales en las rocas Entradas: Datos del pozo: Densidad, Porosidad, Sónico

16 Centroides Son los valores característicos de Densidad, Porosidad y Sónico medidos en el laboratorio de minerales puros En un “crossplot” de los datos del pozo, estos datos representan “centroides” calcita dolomita lutita fluido Densidad Sónico Porosidad

17 Ejemplo: Sea una sección de roca que se compone de: 20% Calcita (Azul)60% Dolomita (Rosa) 15% Lutita (Verde) 5% Porosidad (Blanco) Reproducción de datos: Multiplicar la matriz de centroides por los volúmenes

18 Cálculo de volúmenes de mineralesVi y “Phi” son las incógnitas Los otros términos en las ecuaciones son datos de los “centroides” Los términos independientes son los datos del pozo Restricción:

19 Definiciones Espacio latente: El espacio de soluciones posibles del simplejo positivo de dimensión 4 con K elementos. : un conjunto de datos de un pozo : un conjunto de centroides de los minerales supuestos : una matriz para realizar una trans-formación lineal entre X y Y

20 Transformación entre espaciosEspacio de Soluciones (Latente) Espacio de Datos

21 Definiciones 2 p : la probabilidad uniforme sobre todos los elementos del espacio latente Probabilidad condicional de cada por cada Probabilidad marginal:

22 Problema Maximizar el logaritmo de la probabilidad conjunta:

23 Solución Sea una densidad de de probabilidad (no-nula), entonces (1)Desigualdad de Jensen (1) La probabilidad posterior es La cota (1) se maximiza usando la probabilidad posterior

24 Solución Al sumar (1) sobre todos los datos , se obtiene donde

25 Solución Al derivar por los miembros del conjunto de parámetros y despejar cuando las derivadas son cero, se tiene Para obtener W se utilizó la “Descomposición de Valor Singular”

26 Comentarios A este método de solución se le denomina “varacional” (Grahramani et al, 1999) Al experimetar con probabilidad a priori, convergió más rápido, si una de ellas es mucho más grande que las otras Se está trabajando para un número arbitrario de minerales

27 Algoritmo implementado para calcular volúmenesAlgoritmo CalculaVolumenes Entradas Conjunto X Conjunto Y Matriz de Centroides A Tolerancia Eps Salida: Para cada encontrar un tal que sea máxima Parámetros

28 Algoritmo BEGIN Inicializar parámetros, Lant y LMientras fabs (Lant - L) > Eps PASO E: Calcular L y para cada y Paso M: Calcular Lant = L END

29 Convergencia (Neal and Hinton, 1998) Probaron que:Maximizar por una parte, L con respecto a Y luego maximizar L con respecto a Maximiza la probabilidad conjunta (Dempster et al, 1977) Probaron que cada iteración de este algoritmo es no decreciente (y es acotada) por tanto debe converger. ATENCION: Probaron la convergencia, mas no la tasa de convergencia!

30 Resultados

31 Resultados

32 Método Tradicional de Cálculo

33 Incorporación de conocimiento previoSea la base canónica en Sea una probabilidad dada sobre cada vector La probabilidad de cada ahora es: Y la probabilidad marginal es:

34 Incorporación de conocimiento previoLa probabilidad de cada ahora es: La probabilidad posterior es:

35 Incorporación de conocimiento previoUna nueva cota para L es: Que tendría las mismas soluciones que para el caso anterior excepto que la probabilidad a posteriori y para cada dato se calcula diferente

36 Convergencia: L

37 Convergencia: W

38 Convergencia: Varianza

39 Px = (.3,.1,.3,.3)

40 Publicaciones presentadasPóster: Reyes Ramos, Fidel y Molina Félix, Luis Carlos, Lithofacies characterization by means of Generative Topographic Maps, IJCAI, Acapulco, Agosto de 2003 Sometido como: Reyes-Ramos Fidel Conditional Inversion for Mineral Volumen Characterization, 2004 International Conference and Exhibition of the AAPG, Cancún 2004

41 Problemas por resolverCondicionamiento automático Maximizar Sujeto a: Método de solución: Multiplicadores de Lagrange

42 Aceleración de ConvergenciaAplicar algún método de optimización (de direcciones conjugadas o gradiente) con el fin de acelerar la convergencia

43 Volúmenes condicionalesDefinición: Sea un conjunto de variables aleatorias que representan volúmenes de minerales Una red bayesiana de U es el par donde G es un grafo dirigido, un conjunto de parámetros La red bayesiana expresa: un nodo es independiente de sus no descendientes dado sus padres (???) La red bayesiana expresa una probabilidad conjunta de las variables aleatorias Pozo 1 Pozo 2 Pozo 5 Pozo 3 Pozo 6 Pozo 4

44 Método para generar modelos: Triangulación de DelaunayDefinición: Dado una serie de puntos en el plano, una triangulación de Delaunay se forma de triángulos cuyo ángulo mínimo sea el mayor posible Los vértices de cada triángulo caen en el perímetro de un círculo, el cual no incluye a otro punto. Su construcción se realiza en tiempo de O(nlogn) (Knuth et al)